Инфоурок / Математика / Презентации / Урок по алгебре и началам анализа на тему "Применение производной к построению графиков функций" (10 класс)

Урок по алгебре и началам анализа на тему "Применение производной к построению графиков функций" (10 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Применение производной.docx

библиотека
материалов

Урок: Применение производной к исследованию функций и построению графиков функций

Цель урока: Научить проводить исследование функций; строить их графики.

Форма: урок-беседа.

Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.

Оборудование: ИКТ, таблицы.

Ход урока

  1. Проверка домашнего задания.

  2. Устная работа.

Работа устно:

  1. Дайте определение критической точки функции. (Критической точкой называется внутренняя точка области определения, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.)

  2. Как найти критические точки? (1) Найти производную функции; 2) Решить уравнение: f '(x)=0. Корни этого уравнения являются критическими точками.)

  3. Найдите критические точки функций: f(x)= 4 - 2x + 7x2

1) Найдем производную данной функции:

f '(x)= (4 - 2x + 7x2)' = -2+14x

2) Решим уравнение f '(x)=0 <=> -2+14x =0 <=> x=1/7

3) Так как уравнение f '(x)=0 имеет один корень, то данная функция имеет одну критическую точку х = 1/7.

Повторим основные вопросы, которые нужны для изучения новой темы. Для этого рассмотрим таблицы с рисунками (приложение 1).

hello_html_4304195d.gif

  • Укажите точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. Как называются эти точки?

Ответ: На рисунке а) - точка К-это точка максимума, на рисунке б) - точка М - это точка максимума.

  • Назовите точки минимума функции.

Ответ: Точка К на рисунке в) и г) - точка минимума функции.

  • Какие точки могут быть точками экстремума функции?

Ответ: Критические точки могут быть точками экстремума функции.

  • Какие необходимые условия вы знаете?

Ответ: Существует теорема Ферма. Необходимое условие экстремума: Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю: f '(x)=0.

  • Какие достаточные условия существования экстремума в точке вы знаете?

Ответ: Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0 , а f '(x)>0 на интервале (а;х0) и f '(x) <0 на интервале (х0 ; в), то точка х0 является точкой максимума функции f.

То есть если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Признак минимума: Если функция f непрерывна в точке х0 , а f '(x) <0 на интервале (а;х0) и f '(x) >0 на интервале (х0 ; в), то точка х0 является точкой минимума функции f.

То есть если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Обобщим на графиках (ответы с объяснениями):

hello_html_44034dad.gif



hello_html_32c5f753.gif

hello_html_b79e8c5.gif

hello_html_m2354fc74.gif

hello_html_m3ce543b9.gif

hello_html_m21785d36.gif

И немного юмора: сопоставьте график функции с подходящей к ней пословицей

hello_html_m5d6937e5.gif

hello_html_730ae260.gif

III. Объяснение нового материала.

- Тема сегодняшнего урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

На этом уроке мы должны научиться проводить исследование функций и строить их графики. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Для полного исследования функции f и построения ее графика удобно пользоваться общей схемой исследования, которая состоит из следующих пунктов (приложение ):

hello_html_58738f9b.gif

Найти области определения и значений данной функции f.

Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f:

а) четной или нечетной;

б) периодической.

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.

8. Построить график функции.

Эта схема имеет примерный характер.

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x5-5х3+2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ') =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x)5-5(-x)3+2 = -3x 5+5х3+2= -( 3x5-5х3-2) http://festival.1september.ru/articles/581739/img4.giff(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x5-5х3+2 = 0.

С помощью схемы Горнера или теоремы Безу найдём x = 1. Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а ) f '(x)= 15x4 -15х2 = 15х22-1)

D (f ') =IR, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х22-1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

http://festival.1september.ru/articles/581739/img5.gif

Рис.1 (знаки f ')

Из рисунка 1 видно, что: f  возрастает на интервалах (-img3.gif (67 bytes); -1) и (1; +img3.gif (67 bytes));

f убывает на (-1 ; 0) и (0; 1).

Так как функция непрерывна в точках -1; 0; 1, то f   возрастает на (-img3.gif (67 bytes); -1] и [1; +img3.gif (67 bytes));

f  убывает на [-1; 0] и [0; 1].

6. Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках. Рассматривая рисунок 1 знаков f’видим, что:

x =-1 - точка max, f (-1) =4;

x = 1 - точка min, f (1) =0.

Полученные результаты занесем в таблицу (приложение)

hello_html_mc717e9c.gif

и построим график (приложение )

hello_html_m6bda154f.gif.



  1. Закрепление новой темы. Решение задач.

В тетрадях и на доске выполнить № 927, № 928(1)

Правильность построения графика функции на отрезке можно проверить с помощью компьютерных технологий, а именно с помощью прикладной программы EXCEL.

  1. Самостоятельная работа.

928(2) с проверкой на компьютере;

930

VI. Домашнее задание.

Выучить схему исследования функции.

926, №931 и задача практического содержания:

hello_html_6cb7f83f.gif

Спасибо, ребята. До свидания. Оценки за урок:





Выбранный для просмотра документ применение производной.pptx

библиотека
материалов
Применение производной к построению графиков функций
 Приложение 1 Приложение 1
f(x)= 3x5-5х3+2 x (-∞; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; ∞) f´(x) + 0 - 0 - 0 + f...
График функции f(x)= 3x5-5х3+2 y y=3x5-5х3+2 2 1 -1 4 0 x Приложение 11 Прило...
14 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Применение производной к построению графиков функций
Описание слайда:

Применение производной к построению графиков функций

№ слайда 2  Приложение 1 Приложение 1
Описание слайда:

Приложение 1 Приложение 1

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 f(x)= 3x5-5х3+2 x (-∞; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; ∞) f´(x) + 0 - 0 - 0 + f
Описание слайда:

f(x)= 3x5-5х3+2 x (-∞; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; ∞) f´(x) + 0 - 0 - 0 + f(x) ↑ 4 ↓ ↓ 2 ↑ max min Приложение 10

№ слайда 13 График функции f(x)= 3x5-5х3+2 y y=3x5-5х3+2 2 1 -1 4 0 x Приложение 11 Прило
Описание слайда:

График функции f(x)= 3x5-5х3+2 y y=3x5-5х3+2 2 1 -1 4 0 x Приложение 11 Приложение 11

№ слайда 14
Описание слайда:

Общая информация

Номер материала: ДВ-494094

Похожие материалы