Урок по алгебре и началам анализа на тему "Применение производной к построению графиков функций" (10 класс)

Урок: Применение производной к исследованию функций и построению графиков функций

Цель урока: Научить проводить исследование функций; строить их графики.

Форма: урок-беседа.

Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.

Оборудование: ИКТ, таблицы.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

2. Устная работа.

Работа устно:

1. Дайте определение критической точки функции. (Критической точкой называется внутренняя точка области определения, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.)

2. Как найти критические точки? (1) Найти производную функции; 2) Решить уравнение: f '(x)=0. Корни этого уравнения являются критическими точками.)

3. Найдите критические точки функций: f(x)= 4 - 2x + 7x²

1) Найдем производную данной функции:

f '(x)= (4 - 2x + 7x²)' = -2+14x

2) Решим уравнение f '(x)=0 <=> -2+14x =0 <=> x=1/7

3) Так как уравнение f '(x)=0 имеет один корень, то данная функция имеет одну критическую точку х = 1/7.

Повторим основные вопросы, которые нужны для изучения новой темы. Для этого рассмотрим таблицы с рисунками (приложение 1).

• Укажите точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. Как называются эти точки?

Ответ: На рисунке а) - точка К-это точка максимума, на рисунке б) - точка М - это точка максимума.

• Назовите точки минимума функции.

Ответ: Точка К на рисунке в) и г) - точка минимума функции.

• Какие точки могут быть точками экстремума функции?

Ответ: Критические точки могут быть точками экстремума функции.

• Какие необходимые условия вы знаете?

Ответ: Существует теорема Ферма. Необходимое условие экстремума: Если точка х₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю: f '(x)=0.

• Какие достаточные условия существования экстремума в точке вы знаете?

Ответ: Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х₀ , а f '(x)>0 на интервале (а;х₀) и f '(x) <0 на интервале (х₀ ; в), то точка х₀ является точкой максимума функции f.

То есть если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума.

Признак минимума: Если функция f непрерывна в точке х₀ , а f '(x) <0 на интервале (а;х₀) и f '(x) >0 на интервале (х₀ ; в), то точка х₀ является точкой минимума функции f.

То есть если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума.

Обобщим на графиках (ответы с объяснениями):

И немного юмора: сопоставьте график функции с подходящей к ней пословицей

III. Объяснение нового материала.

- Тема сегодняшнего урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

На этом уроке мы должны научиться проводить исследование функций и строить их графики. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Для полного исследования функции f и построения ее графика удобно пользоваться общей схемой исследования, которая состоит из следующих пунктов (приложение ):

Найти области определения и значений данной функции f.

Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f:

а) четной или нечетной;

б) периодической.

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.

8. Построить график функции.

Эта схема имеет примерный характер.

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x⁵-5х³+2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ') =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x)⁵-5(-x)³+2 = -3x ⁵+5х³+2= -( 3x⁵-5х³-2) f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x⁵-5х³+2 = 0.

С помощью схемы Горнера или теоремы Безу найдём x = 1. Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а ) f '(x)= 15x⁴ -15х² = 15х² (х²-1)

D (f ') =IR, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х²(х²-1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Рис.1 (знаки f ')

Из рисунка 1 видно, что: f  возрастает на интервалах (-; -1) и (1; +);

f убывает на (-1 ; 0) и (0; 1).

Так как функция непрерывна в точках -1; 0; 1, то f   возрастает на (-; -1] и [1; +);

f  убывает на [-1; 0] и [0; 1].

6. Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках. Рассматривая рисунок 1 знаков f’видим, что:

x =-1 - точка max, f (-1) =4;

x = 1 - точка min, f (1) =0.

Полученные результаты занесем в таблицу (приложение)

и построим график (приложение )

.

3. Закрепление новой темы. Решение задач.

В тетрадях и на доске выполнить № 927, № 928(1)

Правильность построения графика функции на отрезке можно проверить с помощью компьютерных технологий, а именно с помощью прикладной программы EXCEL.

4. Самостоятельная работа.

№928(2) с проверкой на компьютере;

№930

VI. Домашнее задание.

Выучить схему исследования функции.

№926, №931 и задача практического содержания:

Спасибо, ребята. До свидания. Оценки за урок:

• 1 слайд

  Применение производной к построению графиков функций

• 2 слайд

  Приложение 1 Приложение 1

• 3 слайд

• 4 слайд

• 5 слайд

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

  f(x)= 3x5-5х3+2 x (-∞; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; ∞) f´(x) + 0 - 0 - 0 + f(x) ↑ 4 ↓ ↓ 2 ↑ max min Приложение 10

• 13 слайд

  График функции f(x)= 3x5-5х3+2 y y=3x5-5х3+2 2 1 -1 4 0 x Приложение 11 Приложение 11

• 14 слайд