Урок по алгебре и началам анализа "Признаки возрастания и убывания" (10 класс)

 Тема урока: Признаки возрастания и убывания функции.

Цели урока:

·  Рассмотреть монотонность функции и промежутки монотонности, показать  применение монотонности при решении заданий;

·  развить познавательную активность, интерес к предмету;

·  воспитать точность, логичность в мышлении.

Оборудование:

·  портреты И. Ньютона, Г. Лейбница;

·  карточки с заданиями.

Домашнее задание к уроку: повторить п. 5. Возрастание и убывание функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация прежних знаний

1.     Устная работа.

 Математическая разминка.

устно. Ответы проверяются с помощью таблицы «ответ – буква». Записывают только буквы, из которых получаются фамилии ученых.

Задания: найдите y'(x) или y'(x₀).

I вариант                                        II вариант

1. y = 5x² + 4, x₀ = 6                Н                1. y = 0,5x² – 6x + 1/5                Л
2. y = 15cosx + 3                Ь                2. y = 11 + 8sinx                        Е
3. y = -0,5x² + 6x + 17        Ю                3. y = 2√x + 4x, x₀ = 9                Й
4. y = 1/x + 2√x                Т                4. y = 4/x – √x                        Б
5. y = 2x + cosx                О                5. y = 7,9 + 2x², x₀ = 0                Н
6. y = 60x + 4,8                Н                6. y = sinx – cosx, x₀ = 0                И
7. y = 3,5x² – 12, x₀ = 1/7        И                7. y = cosx + 2sinx, x₀ = 0        Ц

Ответы:

Б: -4/х² – 1/(2√х)

Е: 8соsх

И: 1

Й: 4,3

Л: х – 6

Н: 60

О: 2 – sinх

Т: -1/х² + 1/√х

Ц: 2

Ь: -15sinx

Ю: -x + 6

2.Сообщения  учащихся.

Историческая справка.

Весь мир его узнал по изданным трудам,

Был даже край родной с ним вынужден считаться,

Уроки мудрости давал он мудрецам,

Он был мудрее их: умел он сомневаться.

Вольтер «Надпись к портрету Лейбница»

Готфрид Лейбниц                                                Исаак Ньютон

(1646 – 1716)                                                 (1643 – 1727)

Краткий рассказ двух учащихся о жизни этих ученых и их вкладе в изучение математического анализа (учащиеся сами находят информацию, работая с дополнительной литературой и другими информационными ресурсами). Вывод: они одновременно разработали основы математического анализа; если Ньютон исходил из задач механики, то Лейбниц – из геометрических задач.

2. Индивидуальная работа

4. Индивидуальные задания.

Во время математической разминки 2 человека работают с индивидуальными заданиями у доски.

1 задание. Решить неравенство методом интервалов: х⁴ – 4х² > 0.

2 задание. Указать промежутки возрастания, убывания функций:

у = 2/х;        у = х² – 4;                у = -х² + 3х +6;                у = 0,2х⁵ – 4/3 х³

Выполнив первые три задания, получаем проблему: как найти промежутки монотонности для четвертой функции?

Итак, сформулируйте тему и цель нашего урока.(Учащиеся сами проговаривают тему и ставят цели).

5. Введение нового материала (в ходе фронтальной беседы с элементами исследования).

- Какая функция называется возрастающей, убывающей?

- Для функций, графики которых изображены на рисунках, укажите промежутки возрастания, убывания (на рисунках графики различных функций).

Разбор второго индивидуального задания.

- Как определить промежутки возрастания, убывания функции у = 0,2х⁵ – 4/3 х³

 Для этого исследуем график некоторой функции (предложен на рисунке).

На каждом из промежутков (-∞;х₁), (х₁;х₂), (х₂;х₃), (х₃;+∞) построим касательные.

Задание. Проанализировать расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определить знаки значений производной.

Учащиеся самостоятельно делают вывод.

Вывод:

1. Достаточный признак возрастания функции. Если f '(x) > 0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I.
2. Достаточный признак убывания функции. Если f '(x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Учащиеся вместе с учителем составляют план исследования функции на возрастание (убывание).

План:

1. Найти область определения.
2. Найти производную функции.
3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Определить знаки производной.
5. Вывод о «поведении» функции.

Пример.

у = 0,2х⁵ – 4/3 х³

1.    определена при любом х

2.    у ' = х⁴ – 4х²

3.    у ' существует во всех точках.

у ' = 0;        х⁴ – 4х² = 0;        

х²(х – 2)(х + 2) = 0

4.

Х		-2		0		2
У!(х)	+		-		-		+
У(х)

5.    Функция возрастает на луче (–∞; –2] и на луче [2; +∞).

           Функция убывает на отрезке [–2; +0]и [–0; +2].

6. Практика под руководством учителя.

Учащиеся выполняют задания по порядку (каждый в своем темпе), учитель проверяет, дает рекомендации каждому индивидуально.

На «3» – №280 (б, г)

На «4» + №283 (а, б)

На «5» + исследовать функцию на монотонность

у = 0,25х⁴ – 2х³ + 5,5х² – 6х + 2π

7. Итог урока и

 д/з на выбор : №281(а,б) или № 284 (а,в)