Урок по алгебре и началам анализа "Тригонометрические уравнения"

    Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

    Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений    различных типов, решить тригонометрические неравенства.

Задачи урока.

     1. Образовательные:

 - закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений и неравенств;

- обобщение и систематизация материала;

-  создание  условий для  контроля и самоконтроля  усвоения знаний и умений;

- установление межпредметных связей.

     2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

    3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, групповая.

Методы обучения:

 частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, приложения;бланк самоконтроля.

Технологии: ИКТ, групповая, личностно-ориентированная

Ход урока

    1. Организационный момент.

   Учитель: «Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

    Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

    2. Выполнение теста.

Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений,  повторим основные формулы». Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).

Работа выполняется на листах.

Вариант 1	Вариант 2
1) Каково будет решение уравнения  при ?	1) Каково будет  решение уравнения  при ?
2) При каком значении  уравнение имеет корни?	2) При каком значении  уравнение имеет корни?
3) Какой  формулой  выражается  это  решение?	3) Какой  формулой  выражается  это  решение?
4) На  какой  оси откладывается значение  а  при  решении уравнения  cos x = a ?	4) На  какой  оси откладывается значение  а  при  решении уравнения ?
5) Какому промежутку принадлежат значения ?	5) Какому промежутку принадлежат значения ?
6) В  каком  промежутке      находится  значение  а?	6) В  каком  промежутке      находится  значение  а?
7)Каким  будет  решение      уравнения   cos x = 1?	7)  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = 1?
8) Каким  будет  решение      уравнения   cos x = -1?	8)  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = -1?
9)  Каким  будет  решение      уравнения   cos x = 0?	9)  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = 0?
10) Чему равен ?	10) Чему равен ?
11) В  каком  промежутке       находится  arctg a?	11) В  каком  промежутке       находится  arcctg a?
12) Какой формулой выражается решение уравнения ?	12) Какой формулой выражается решение уравнения ?

 Ученики заносят ответы в бланк самоконтроля в пункт первый результаты проверочной работы, правильность выполнения оценивается самими учащимися  в ходе самопроверки (правильные ответы отмечаются «+», неправильные – «-»). Результаты заносятся в лист учета знаний.

 3. Устная работа.

 Учитель: «Методы решений тригонометрических уравнений ».

Среди уравнений на слайде выберете те, которые решаются методами:

-заменой переменной;

-приведением к квадратному;

-делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные;

-понижением степени;

-с помощью формул суммы или разности;

-методом вспомогательного аргумента

4. Работа в группах.

  Математическая эстафета «Вертушка».

Каждая группа получает набор карточек с уравнением. Решив уравнение, ученик передает карточку своему соседу. Карточки проходят по кругу, поэтому эстафета называется

« Вертушка».

Работа в группах: Решение задания  на соответствие тригонометрических уравнений и методов решения.

 Задание группам: соединить стрелочками метод решения и уравнение. Обсуждают в группах, а затем проверяем, спрашиваю например 1 группу, а остальные проверяют и обсуждаем решение.

Критерии самооценки 1 задания:

2 балла -  за правильно высказанное в группе предположение

1 балл -  за неправильное, но высказанное в группе предположение

(о методах решения.)

1.     2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx

2.     sin²x + cos²(x/ 2) = 3/2.

3.     sin²x - 2sinx – 3 = 0,

4.     √2 cosx – sinx = 0,

5.     sinx + sin3x = sin5x – sinx,

6.     3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0,

7.     sin²x - √3/3 sin2x = cos²x,

8.     cosx- sinx=1

   5 Ученикам предлагается решить тригонометрическое уравнение различными способами, работая в группе.

    1-я группа решает методом приведения к однородному уравнению.

    2-я группа – методом разложения на множители.

    3-я группа-  методом введения вспомогательного угла.

    4-я группа – методом преобразования разности в произведение  (приложение 4)                                                         

6.Решение тригонометрического неравенства

      8. Подведение итогов урока.

      Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение разных типов тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами, решили тригонометрические неравенства».

      Проводится рефлексия. Лист учета знаний ученики сдают учителю, за работу

 на уроке выставляется оценка в журнал.

     9 Домашнее задание.

     Решение уравнений из материалов ЕГЭ:  задание 15 

Приложение 2

Вариант 1

Вопрос	Вариант ответа	Результат
1)     Каково будет решение уравнения  при ?
2)     При каком значении  уравнение имеет корни?
3) Какой  формулой  выражается  это  решение?
4) На  какой  оси откладывается значение  а  при  решении уравнения  cos x = a ?
5) Какому промежутку принадлежат значения ?
6) В  каком  промежутке      находится  значение  а?
7)Каким  будет  решение      уравнения   cos x = 1?
8) Каким  будет  решение      уравнения   cos x = -1?
9)  Каким  будет  решение      уравнения   cos x = 0?
10) Чему равен ?
11) В  каком  промежутке       находится  arctg a?
12) Какой формулой выражается решение уравнения ?

Приложение 2

Вариант 2

Вопрос	Вариант ответа	Результат
1)     Каково будет решение уравнения  при ?
2)     При каком значении  уравнение имеет корни?
3) Какой  формулой  выражается  это  решение?
4) На  какой  оси откладывается значение  а  при  решении уравнения ?
5) Какому промежутку принадлежат значения ?
6) В  каком  промежутке      находится  значение  а?
7)  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = 1?
8)  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = -1?
9)  Каким  будет  решение      уравнения   sin x = 0?
10) Чему равен ?
11) В  каком  промежутке       находится  arcctg a?
12) Какой формулой выражается решение уравнения ?

Приложение 3

Указать методы решений тригонометрических уравнений

Уравнение	Метод решения	Ответ
1.  2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx
2.  sin²x + cos²2x = 3/2.
3.  sin²x - 2sinx – 3 = 0,
4.  √2 cosx – sinx = 0,
5.  sinx + sin3x = sin5x – sinx,
6.  3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0,
7.sin²x - √3/3 sin2x = cos²x
8. cosx - sinx = 1.

Приложение 4

Решить уравнение  cosx - sinx = 1 различными способами

Приложение 5

Дополнительные задания

Уравнение	Ответы

    Проводится взаимопроверка работ. Группы обмениваются тетрадями.

Результаты записываются в лист учета знаний ученика в баллах (по одному баллу за каждое задание).

Приложение 6

    Ответы представителей групп:

    1 способ.  Приведение к однородному уравнению.

              cos x – sin x=1,

               cos²– sin²–2sin  cos=sin²  + cos²  ,

               2sin²+2sin  cos=0.

               sin( sin+ cos)=0.

              1) sin=0,                                    2) sin+ cos=0,

              =πn, n∈Z.                                 tg= –1,

               x=2 πn, n∈Z.                              = –  +  πn, n∈Z,

                                                                     x= – +2 πn, n∈Z. 

           2 способ.                                                          3 способ

            Разложение                                                       Введение

            на множители                                                   вспомогательного угла

               cos x – sin x=1,                                                 cos x – sin x=1,       

               (cos x – 1) - sin x = 0,                                        (cos x– sin x)=1,

               (1- cos x) + sin x = 0,                                         sin cos x – cos sin x=1,

               2sin² + 2sin  cos = 0,                             sin( – x)= .

               sin( sin+ cos) = 0.

                   4 способ. Преобразование разности в произведение.                                                                           

               cos x – sin x=1,

               sin ( - x) - sin x = 1,

               2 sin ( - x) cos = 1,

                sin(x - )= -,

                 x = 2 πn, n∈Z;                              

                 x = – +2 πn, n∈Z.

Краткое описание документа:

урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов, решить тригонометрические неравенства.

Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений и неравенств;

- обобщение и систематизация материала;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- установление межпредметных связей.

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.