Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: "Решение упражнений на построение графиков функций"

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе

Тема: Решение упражнений на построение графиков функций

Цель: Повторение и систематизация знаний студентов по построению графиков функций. Воспитание усидчивости в ходе учебного труда. Развитие гибкости логического мышления.

Ход урока

1.      Орг.момент

2.      Актуализация опорных знаний.

3.      Фронтальный опрос (№23-28)

4.      Проверка домашнего задания. Индивидуально

5.      Восприятие и осмысливание нового материала. Сообщаю тему и дид.цель урока.

Дано:. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции (без ).

Ре­ше­ние: 1. Вы­де­лить ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции  и опре­де­лить знаки функ­ции на них.

Это де­ла­ет­ся так: на­хо­дим корни чис­ли­те­ля  и корни зна­ме­на­те­ля . По­лу­чим три ин­тер­ва­ла. Ме­то­дом проб­ной точки опре­де­ля­ем знак на каж­дом из них (Рис. 2).

  2. По­стро­ить эскиз в окрест­но­сти: а. каж­до­го корня ; б.каж­дой точки раз­ры­ва ; в. бес­ко­неч­но уда­лен­ных точ­ках. Что это озна­ча­ет и как это вы­пол­нять?

У нас толь­ко один ко­рень – . Ясно, что функ­ция в ее окрест­но­сти будет вы­гля­деть так, как изоб­ра­же­но на ри­сун­ке 3. Это обу­слов­ле­но тем, что слева от этой точки функ­ция от­ри­ца­тель­на, а спра­ва – по­ло­жи­тель­на. То есть в окрест­но­сти этой точки функ­ция воз­рас­та­ет.

Те­перь рас­смот­рим точку раз­ры­ва . В окрест­но­сти этой точки со­бы­тия раз­ви­ва­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: если  очень мал, то дробь очень боль­шая, его зна­че­ния в окрест­но­сти этой точки от­ри­ца­тель­ны. Зна­чит, кри­вая будет вы­гля­деть так, как изоб­ра­же­но на ри­сун­ке 3.

Далее, раз­бе­рем, что озна­ча­ет рас­смот­реть  в окрест­но­сти бес­ко­неч­но уда­лен­ных точек:

  Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции в окрест­но­сти этой точки будет вы­гля­деть так, как изоб­ра­же­но на ри­сун­ке 3.

1. Ис­поль­зо­вать непре­рыв­ность  на ОДЗ. То есть со­еди­нить те линии, ко­то­рые на ри­сун­ке 3 изоб­ра­же­ны пунк­ти­ром.

Дано:. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции (с ).

Ре­ше­ние: 2. Сле­ду­ет вы­де­лить ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной  и опре­де­лить знаки про­из­вод­ной   на них.

Най­дем про­из­вод­ную.

Опре­де­лим ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства. Для этого най­дем корни чис­ли­те­ля  и корни зна­ме­на­те­ля . Мы по­лу­чи­ли три ин­тер­ва­ла. Точка  – точка мак­си­му­ма, по­сколь­ку спра­ва функ­ция убы­ва­ет, а слева – воз­рас­та­ет. Зна­че­ние функ­ции в этой точке можем вы­чис­лить .

 . Найти точки экс­тре­му­ма, уточ­нить гра­фик, вы­пи­сать ответ.

Мы го­то­вы сфор­му­ли­ро­вать этапы по­стро­е­ния функ­ции и вы­пи­сать ответ.

Ответ: функ­ция : - убы­ва­ет при ;

- воз­рас­та­ет при ; - имеет точку мак­си­му­ма при 

5.Закрепление материала.

За­да­ча 1: Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние  имеет: а. хотя бы один ко­рень;  б. толь­ко один ко­рень.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния по­доб­ных задач со­сто­ит в сле­ду­ю­щем: по­стро­ить гра­фик функ­ции . Мы этот гра­фик по­стро­и­ли, функ­цию ис­сле­до­ва­ли и все про нее знаем. Далее нам необ­хо­ди­мо рас­сечь наш гра­фик се­мей­ством функ­ций  при раз­лич­ных . Нужно найти ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ния и вы­пи­сать ответ.

а. Нам нужно найти такие  , при ко­то­рых наше урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень. Мно­же­ство зна­че­ний функ­ции . По­это­му ответ в этом пунк­те – .

б. Нам нужно такое зна­че­ние , чтобы урав­не­ние имело толь­ко один ко­рень. Из гра­фи­ка видно, что при  и  = будет толь­ко один ко­рень.

За­да­ча 2: Найти наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Эта за­да­ча проще, чем про­сто ис­сле­до­вать функ­цию. Для ре­ше­ния нужно сде­лать сле­ду­ю­щие дей­ствия. Найти зна­че­ние функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в кри­ти­че­ских точ­ках, ко­то­рые рас­по­ло­же­ны на этом от­рез­ке.

       Таким об­ра­зом, если ар­гу­мент ме­ня­ет­ся в пре­де­лах , то функ­ция ме­ня­ет­ся .  Ответ: .

За­да­ча 3: Ис­сле­до­вать функ­цию .

Ре­ше­ние:  1. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции без .  Для на­ча­ла надо вы­де­лить ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции (Рис. 5).

    То есть функ­ция может из­ме­нить знак, толь­ко когда ар­гу­мент про­хо­дит через 0 или 2. Далее по­стро­им эскиз гра­фи­ка в окрест­но­стях точек 0 и 2. За­ме­тим, что точка 0 яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма. Про­из­вод­ная долж­на это под­твер­дить. Если , то функ­ция тоже стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти. Если , то функ­ция тоже стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти. Таким об­ра­зом, гра­фик функ­ции уга­ды­ва­ет­ся и вы­гля­дит,  

2. По­стро­е­ние гра­фи­ка с .

Опре­де­лим зна­ко­по­сто­ян­ство  – точка мак­си­му­мА   – точка ми­ни­му­ма

    Итак, гра­фик мы обос­но­ва­ли. Он имеет вид, как на ри­сун­ке 7. За­пи­шем ответ.

   Ответ:  1.  воз­рас­та­ет при ;

2.  убы­ва­ет при ;   3.  – точка ми­ни­му­ма, ;

4. – точка мак­си­му­ма, .

6. Рефлексия. На этом за­ня­тии мы вспом­ни­ли, как ис­сле­до­вать функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной. На сле­ду­ю­щем за­ня­тии мы вспом­ним, как на­хо­дить ка­са­тель­ную к гра­фи­ку в точке.

До­маш­нее за­да­ние

1. По­строй­те гра­фик функ­ции 

2. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при ко­то­рых урав­не­ние  имеет:

а. хотя бы одно ре­ше­ние;

б. имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

3. Ал­геб­ра и на­ча­ла ана­ли­за, Морд­ко­вич А.Г.: № 769, 776, 777, 781.