Урок по алгебре и началам
анализа в 10 классе
Тема:
Решение упражнений на построение графиков функций
Цель:
Повторение и систематизация знаний студентов по построению графиков функций.
Воспитание усидчивости в ходе учебного труда. Развитие гибкости логического
мышления.
Ход урока
1.
Орг.момент
2. Актуализация опорных знаний.
3.
Фронтальный опрос (№23-28)
4.
Проверка домашнего задания.
Индивидуально
5.
Восприятие и осмысливание
нового материала. Сообщаю тему и дид.цель урока.
Дано:. Построить эскиз графика функции (без ).
Решение: 1. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции
на них.
Это делается так: находим корни числителя и корни знаменателя . Получим три интервала. Методом
пробной точки определяем знак на каждом из них (Рис. 2).
2. Построить эскиз
в окрестности: а. каждого корня ; б.каждой точки разрыва ; в. бесконечно
удаленных точках. Что это означает
и как это выполнять?
У нас только один корень – . Ясно, что функция в ее окрестности
будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3. Это обусловлено тем,
что слева от этой точки функция отрицательна, а справа – положительна.
То есть в окрестности этой точки функция возрастает.
Теперь рассмотрим точку разрыва . В окрестности этой точки события
развиваются следующим образом: если очень мал, то дробь очень большая, его значения
в окрестности этой точки отрицательны. Значит, кривая будет выглядеть
так, как изображено на рисунке 3.
Далее, разберем, что означает рассмотреть в окрестности бесконечно
удаленных точек:
Следовательно,
график функции в окрестности этой точки будет выглядеть так, как изображено
на рисунке 3.
1. Использовать непрерывность на ОДЗ. То есть соединить те линии, которые на рисунке 3 изображены
пунктиром.
Дано:. Построить эскиз графика функции (с ).
Решение: 2. Следует выделить интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них.
Найдем производную.
Определим интервалы знакопостоянства.
Для этого найдем корни числителя и корни знаменателя . Мы получили три интервала. Точка – точка максимума, поскольку
справа функция убывает, а слева – возрастает. Значение функции в этой
точке можем вычислить .
. Найти точки экстремума,
уточнить график, выписать ответ.
Мы готовы сформулировать этапы построения
функции и выписать ответ.
Ответ: функция : - убывает при ;
- возрастает при ; - имеет точку максимума при
5.Закрепление
материала.
Задача 1: Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет: а. хотя бы один корень;
б. только
один корень.
Методика решения подобных задач состоит
в следующем: построить график функции . Мы этот график построили, функцию исследовали
и все про нее знаем. Далее нам необходимо рассечь наш график семейством функций при различных . Нужно найти количество точек пересечения
и выписать ответ.
а. Нам нужно найти такие , при которых наше уравнение имеет
хотя бы один корень. Множество значений функции . Поэтому ответ в этом пункте – .
б. Нам нужно такое значение , чтобы уравнение имело только один
корень. Из графика видно, что при и = будет только один корень.
Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке .
Эта задача проще, чем просто исследовать
функцию. Для решения нужно сделать следующие действия. Найти значение
функции на концах отрезка и в критических точках, которые расположены
на этом отрезке.
Таким образом,
если аргумент меняется в пределах , то функция меняется .
Ответ: .
Задача 3: Исследовать функцию .
Решение: 1. Построить эскиз графика функции без .
Для
начала надо выделить интервалы знакопостоянства функции (Рис. 5).
То есть функция
может изменить знак, только когда аргумент проходит через 0 или 2. Далее
построим эскиз графика в окрестностях точек 0 и 2. Заметим, что точка
0 является точкой максимума. Производная должна это подтвердить. Если , то функция тоже стремится к плюс бесконечности.
Если , то функция тоже стремится к минус бесконечности.
Таким образом, график функции угадывается и выглядит,
2. Построение графика с .
Определим знакопостоянство – точка максимумА – точка
минимума
Итак, график мы
обосновали. Он имеет вид, как на рисунке 7. Запишем ответ.
Ответ: 1. возрастает при ;
2. убывает при ;
3. – точка минимума, ;
4. – точка максимума, .
6.
Рефлексия. На этом занятии мы вспомнили,
как исследовать функцию с помощью производной. На следующем занятии
мы вспомним, как находить касательную к графику в точке.
Домашнее задание
1. Постройте график функции
2. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет:
а. хотя бы одно решение;
б. имеет единственное решение.
3. Алгебра
и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 769, 776, 777, 781.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.