Урок по алгебре 8 класс на тему "Теорема Виета"

Ход урока

Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация

1)Учитель: Добрый день, ребята. Сегодня у нас урок алгебры. На протяжении нескольких последних уроков мы работаем над квадратными уравнениями. Назовите общий вид квадратного уравнения?

Ученики: Уравнение вида  называется квадратным уравнением.

Учитель: Чем являются  в это уравнении?

Ученики: Коэффициентами,

Учитель: Отлично! С какими уравнениями мы ещё работали?

Ученики: С неполными.

Учитель: Дайте мне определение неполного квадратного уравнения.

Ученики: Неполным квадратным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Учитель: Хорошо! На предыдущем уроке мы познакомились с ещё одним интересным видом квадратного уравнения. С каким?

Ученики: Мы познакомились с приведёнными квадратными уравнениями.

Учитель: Пожалуйста, Полина, скажи мне определение приведённого квадратного уравнения?

Ученики: Уравнение вида  называется приведенным квадратным уравнением .

2)Учитель: Хорошо. А теперь обратим внимание на доску.

На доске:

Среди данных уравнений найти приведённые квадратные   уравнения:

Учитель: А с какой теоремой мы ещё познакомились на прошлом уроке?

Ученики: С теоремой Виета.

Учитель: Хорошо! Сформулируйте мне теорему Виета.

Ученики: Если х₁  и х₂- корни приведённого квадратного уравнения

 , то справедливы следующие равенства:

 

Учитель: А еще мы изучали теорему, обратную теореме Виета. Как она звучит, Катя?

Ученики: не помню.

Учитель: Я начну .Если х₁ , х₂ , в, с, такие числа, что верны равенства ..

Ученики: Если х₁ , х₂ , в, с, такие числа, что верны равенства  то х₁  и  х₂ – корни приведенного квадратного уравнения   .

Учитель: Я вам на перемене раздала карточки. Посмотрим в них. Я попрошу, чтобы вы прокомментировали каждый решённый пример из карточки. Итак, Влад начинает.

Карточка ( см. в приложении ).

Ученики: уравнение   приведённое, так как оно   удовлетворяет определению приведенного уравнения, т. е. старший коэффициент равен 1.

Учитель: Хорошо! Влад, скажи определение приведённого квадратного уравнения?

Ученики: Уравнение вида  называется приведенным квадратным уравнением .

Учитель: Хорошо, следующий пример, Юля.

Ученики: Составить приведённое квадратное уравнение, если  Решение: используя теорему Виета, получим,В нашем примере

 тогда искомое уравнение примет вид:

Ответ:

Учитель: В данном примере мы пользовались теоремой Виета. Сформулируй её .

Ученики:

Учитель: перед тем, как комментировать третий пример, давайте обратим внимание на алгоритм решения квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета. Предлагаю повторить формулировку теоремы, обратной теореме Виета. Даша?

Ученики:

Учитель: Приступаем к алгоритму. Дима, читай.

Ученики:

Алгоритм решения квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета:

1)                Записать уравнение.

2)                Выписать коэффициенты.

3)                Записать теорему, обратную теореме Виета для нашего  уравнения.

4)                Подобрать корни уравнения

5)                Записать ответ

Учитель: Отлично! А теперь, наконец, перейдём к третьему примеру. Марина?

Ученики: Решить уравнение

Учитель: Что значит, решить уравнение?

Ученики: Чтобы решить уравнение надо найти его корни или доказать, что их нет.

Учитель: Верно! Продолжай!

Ученики: Решение: 1)2)Выписываем его коэффициенты: a=1, b=-5,c=-6;3)Записываем теорему, обратную теореме Виета для нашего  уравнения.

4)Методом подбора корней, получаем,

Ответ:

Мотивация.

Учитель: Хорошо! молодцы! Итак, обратим внимание на доску и к себе в карточку. На доске на магнитах прикреплены листы. На обратной стороне этих листов есть слова. Перед вами представлены на карточках примеры. Вы их решаете, а я открываю лист на доске. Полученное слово вы пишете в карточку. Таким образом, открыв все слова, мы получим выражение, которое, может быть вам известно, а , кому не известно, познакомятся с ним.

Операционно-познавательный этап

Учитель: На сегодняшнем уроке мы будем решать примеры на применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Значит, какова цель урока?

Ученики: Укрепить полученные знания на предыдущем уроке.

Учитель: Верно. Итак, открываем тетради, пишем число и тему. Тема:

« Теорема Виета, теорема, обратная теореме Виета».

Учитель: Решаем примеры по алгоритму. Ксюша, иди к доске решать первый пример.

Ученик:

1)  Записываем уравнение. x²-15x-16=0

2)Выписываем коэффициенты. a=1, b=-15,c=-16

3) Записываем теорему, обратную теореме Виета для нашего  уравнения    

4) Подбираем корни уравнения: .

5) Записываем ответ.

На доске:

1)x²-15x-16=0

2) a=1, b=-15,c=-16

3

4).

5)Ответ:.

Учитель: Отлично. Итак, получили 2 корня. Я вам открываю первое слово. Оно звучит так: «УМСТВЕННЫЙ» (на доске появляется это слово, а ученики записывают его в карточке).

Аналогично решаются остальные примеры, записанные в карточке. К доске вызываются 2 человека одновременно. В итоге на доске и в карточке открывается фраза: «Умственный труд на уроках математики - пробный камень мышления».

Учитель: На доске осталась закрытой ещё одна карточка. На этой карточке написана фамилия человека, сказавшего эту фразу. Просто так я вам её тоже не скажу. Вы решите мне №466   из учебника под цифрой 1, только потом узнаете имя этого педагога. Катя, иди к доске. Прочитай задание. Что надо сделать?

Ученик: Не решая уравнение 3x²-8x-15=0 надо найти 

Учитель: Как ты будешь это делать?

Ученик: Не знаю.

Учитель: Хорошо, давайте отвлечёмся немного от квадратных уравнений. Нам нужно сложить две дроби с разными знаменателями. Как мы это делаем?

Ученики: Надо привести к общему знаменателю и сложить.

Учитель: Верно. Давайте и в нашем случае сделаем то же. Только у нас знаменатели не числа, а буквы.

Ученики: Получим тогда, что

Учитель: Что получилось в знаменателе? Что получилось в числителе?

Ученики: произведение корней, сумма корней. Значит можно воспользоваться теоремой Виета.

Учитель: Сформулируй её.

Ученики: Если х₁  и х₂- корни приведённого квадратного уравнения

 , то справедливы следующие равенства:

 

Учитель: А теорема Виета используется для каких уравнений?

Ученики: для приведённых, а наше уравнение не является приведённым.

Учитель: А можем мы его привести?

Ученики: Да! Поделив обе части уравнения на 3, т.е. на старший коэффициент.

Учитель: Верно, что получим?

Ученики: получим x²-8/3x-5=0. Теперь можем применить теорему Виета для нашего уравнения, подставим, получим:

Учитель: А теперь посмотрим, что надо было вычислить?

Ученики: Мы привели к тому, что  надо вычислить. Теперь можно подставить, получим, что.

Учитель: Вычислили, что от нас требовалось? У всех так получилось?

Ученики: Да! Да!

Учитель: Значит, записываем ответ.

На доске:

1)3x²-8x-15=0

2)

3) x²-8/3x-5=0.

4)

5)

6)

7)Ответ:.

Учитель: Всем понятно, как решали пример?

Ученики: Да!

Учитель: Давайте вспомним. Что мы делали первым действием?

Ученики: Привели к общему знаменателю.

Учитель: Потом.

Ученики: Привели уравнение к приведённому. Потом воспользовались теоремой Виета, затем, подставили полученные значения вместо числителя и знаменателя в дроби, получили и записали ответ.

Учитель: Молодцы! Вы получаете за этот пример имя педагога . Это М.А. Сухомлинский.

М.А.Сухомлинский(1918-1970)-педагог, заслуженный учитель. Он занимался вопросами воспитания и обучения молодёжи.

Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель: А теперь подведём итоги урока. Какова была наша цель?

Ученики: Углубить полученные знания.

Учитель: Достигли мы её?

Ученики: Да!

Учитель: Какими теоретическими фактами пользовались на уроке?

Ученики: Теоремой Виета, теоремой, ей обратной, определением  приведённого квадратного уравнения.

Учитель: Отлично! Сформулируйте теорему Виета.

Ученики: Если х₁  и х₂- корни приведённого квадратного уравнения

 , то справедливы следующие равенства:

  

Учитель: Верно, а теорему обратную теореме Виета, кто мне может сказать?

Ученики: Если х₁ , х₂ , в, с, такие числа, что верны равенства  то х₁  и  х₂ – корни приведенного квадратного уравнения   .

Учитель: Вот мы везде пользуемся термином « приведенное квадратное уравнение». Скажите определение этого термина.

Ученики: Уравнение вида  называется приведенным квадратным уравнением  .

Учитель. Отлично! Вам понравился урок?

Ученики: Да!

Учитель: Открываем дневники, записываем домашнее задание:

§29.

1)    Записать квадратные уравнения, если их корни равны :

а) .

в).

 2)Решите уравнения:

         x²+2x-8=0.      x²-16x+48=0.

        x²-8x+15=0.       x²-7x-8=0.

Спасибо за урок.