Урок по алгебре на тему " Арифметический квадратный корень" ( 8 класс)

        Урок по алгебре для 8 класса:

« Арифметический квадратный корень».

Цели и задачи урока:

Образовательные:

учащиеся должны знать:

• Что такое квадратный корень из числа;
• Что такое арифметический квадратный корень из неотрицательного числа;
• Свойства квадратных корней;

Учащиеся должны уметь:

• Вычислять арифметический квадратный корень из числа;
• Применять свойства корней в решении задач;
•  Решать вычислительные задачи с квадратными корнями;

Развивающие:  

• развивать интерес к предмету;
• усвоить  материал по теме урока;
• развивать у учащихся умение концентрироваться, слушать, а так же логическое мышление, речь, внимание, воображение.

Воспитательные:

 воспитывать  системность, самостоятельность, этику взаимоотношений.

Оборудование: Компьютер. Материалы  к уроку:  « Арифметический квадратный корень» из интерактивного учебника «Школьный помощник». Видео урок по графическому нахождению квадратного корня из числа. Иллюстрации по теме урока.

 Тип урока: комбинированный.            

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока. Сообщение темы урока.

Вопрос 1. Вспомним, что такое квадрат числа ?

Ответ: Квадратом числа  называется произведение двух одинаковых натуральных чисел.

Вопрос 2.  Какие числа мы будем называть натуральными?

Ответ: Это числа, начиная  с единицы,  образуют ряд чисел для счёта предметов.

Вопрос 3.Может ли натуральное число быть равным -5?

Ответ: Нет, так как отрицательное число не является натуральным.

Вопрос 4. А отрицательные числа входят в какое- то  подмножество чисел, которое нами ранее изучалось?

Ответ: Отрицательные числа входят в подмножество целых чисел, а целые числа входят в подмножество рациональных чисел.

Вопрос 5. А что такое рациональные числа?

Ответ: Рациональные числа – это все положительные, все отрицательные и число 0. Но можно дать более точное определение рациональных чисел, чтобы было понятно, что туда входят не только целые, но и дробные числа. Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби m/n, где m является целым числом,  а    - натуральным.

Далее нами будут изучаться и другие множества чисел- иррациональные и действительные, а пока перейдём к Теме урока:

          Арифметический квадратный корень.

3. Объяснение нового материала. Историческая справка.

Ещё с древних времён люди, умея находить площадь квадратного участка земли, задавались вопросом: как найти сторону  участка, зная его площадь. Вначале эта задача решалась практическим измерением стороны участка квадратной формы. (см рис.1)

Впоследствии эта задача получила название задачи нахождения  квадратного корня из числа.  Вавилонские математики первыми научились находить приближённое значение квадратного корня из любого натурального числа.                                                                      Они составили таблицу квадратов чисел и таблицу квадратных корней из числа.(см рис.2)

Знак арифметического квадратного корня появился не сразу. В 13 веке  европейские математики стали перед числом, из которого извлекался квадратный корень, писать слово Radix – что значит корень. В 15-16 веке немецкие математики стали обозначать квадратный корень точкой, стоящей впереди числа. Затем точку заменила буква V впереди числа. И только в 1637г. Р. Декарт ввёл знакомый нам знак квадратного корня.  

 

Но широко использоваться математиками этот знак, обозначающий квадратный корень из числа,  стал только в 18 веке.

рис. 1

На рис.1 мы видим, как участки земли измеряются и делятся  при помощи колышка и верёвки на равные части, а зная стороны правильных геометрических фигур, можно определять их площади.

 

 

 

 

 

 Вавилонская таблица умножения, по которой можно определить квадрат числа: 

 

Рис. 2

3.1 Постановка задачи, из которой следует определение квадратного корня.

 Рис.3

Рассмотрим рис.3.Если сторона квадрата 1 см,то чтобы найти его диагональ,нужно воспользоваться т. Пифагора,по которой 1² + 1² = 2.Но 2 см – это квадрат диагонали. А чтобы найти диагональ, мы должны извлечь квадратный корень из двух.

Рассмотрим рисунок 4. На ним изображён квадрат со стороной Х.  Пусть сторона решётки составляет, например, 1 см. Тогда по теореме Пифагора получаем:

 

    Рис. 4

Теперь, если нам надо найти Х, то можно попытаться сделать это методом подбора:

1*1 = 1 – мало. 2*2 =4 – много. Это говорит о том, что целых чисел у Х точно нет.

Так какое же число мы будем называть квадратным корнем?

Обратим внимание, что в определении говорится о квадратном корне из неотрицательного числа. Квадратный корень – это  тоже неотрицательное число. Нельзя найти, например, квадратный корень из числа -2.

Такой корень не существует. 

Теперь рассмотрим другие неотрицательные квадратные корни. Например:  

Теперь посмотрим, что собой представляет график функции y(x) :

 

3.2 Графическое нахождение квадратного корня из неотрицательного числа.

А что собой будет представлять графическое решение нахождения квадратного  корня ?

Рис.4

На рис.4 видно, что кв. корень из числа 2 это число, близкое к 1,4. Это графический способ определения корня квадратного из неотрицательного числа.  ( По этой причине  мы видем на рис.4 только одну ветвь парабалы, так как Х не может быть отрицательным по определению).

Вот общий случай  нахождения  графически  квадратного корня из неотрицательного числа  а :

 

Рис.5

3.3 Свойства квадратных корней.

4. Решение заданий по теме урока.

Далее обратимся к интерактивному учебнику « Школьный помощник» и решим несколько заданий:  1 задание:

 

2 задание:

3 задание :

                                     

 

 

                                                                                                                                                                         

                                                                                                                                              

                                                                                                                                                             

 

                                                                                                                                                      

    

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

                                                                          

4 задание:                        

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

                                                                                                                                                                                                       

 

     

                       

5. Подведение итогов урока и закрепление нового материала. 

1. Что такое квадратный корень?

2. Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

3. Какие свойства квадратных корней мы изучили?

4. Почему, строя график зависимости у = х ², мы брали для решения только одну ветвь парабалы?

Сегодня на уроке мы познакомились с понятием арифметического  квадратного корня. Узнали,  как ещё  3 тыс. лет назад  люди пытались  вычислить квадратный корнень, рассмотрели « вавилонский способ»  определения стороны квадрата, зная его площадь. Сформулировали чёткое определение, что такое квадратный корень из неотрицательного числа,  так же  узнали, что отрицательных значений у квадратного  корня не бывает. Далее рассмотрели, что собой представляет функция квадратного корня на чертеже, рассмотрели графический способ определения квадратного корня . Познакомились со свойствами квадратных корней и решили ряд примеров, применяя эти свойства.

 

Учитель Дедова Э.А.