Урок по алгебре на тему,,Производная.Решение задач ЕГЭ,,(11 класс)

Предпросмотр материала:

Урок подготовки к ЕГЭ для 11 класса по теме «Производная. Решение прототипов экзаменационных заданий».

Тема урока: Производная. Решение прототипов заданий ЕГЭ (задания №6, 11, 12).
Цель урока: Систематизировать знания о производной и отработать навыки решения типовых экзаменационных задач.
Задачи:

Повторить основные правила и формулы дифференцирования.
Проработать решение прототипов заданий №6 (производная, касательная), №11 (текстовые задачи на оптимизацию и применение производной), №12 (исследование функции с помощью производной).
Сформировать умение анализировать условие задачи и выбирать оптимальный способ решения.

Тип урока: Урок комплексного применения знаний и умений (практикум).

Оборудование: Интерактивная доска, раздаточный материал (карточки с заданиями), проектор, маркеры.

Ход урока (45-60 минут)

1. Организационный момент (2-3 минуты)

Приветствие.
Объявление темы, цели и плана урока.
Мотивация: «Сегодня мы отработаем одну из ключевых тем ЕГЭ по математике (профильный уровень). Умение уверенно работать с производной приносит целых 6 первичных баллов (за №6, 11, 12), а это значительная часть экзамена».

2. Актуализация опорных знаний (7-10 минут)

Фронтальная работа с классом. Краткое повторение теории в формате вопрос-ответ.

На экране/доске появляются ключевые вопросы и формулы:

Что такое производная? (Предел отношения приращения функции к приращению аргумента).
Геометрический смысл производной? (Угловой коэффициент касательной в точке: k = f'(x₀)).
Физический смысл производной? (Мгновенная скорость).
Таблица производных (повторить основные):

(C)' = 0
(xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(eˣ)' = eˣ
(aˣ)' = aˣ * ln a
(ln x)' = 1/x
(logₐ x)' = 1/(x * ln a)

Правила дифференцирования:

(u ± v)' = u' ± v'
(u * v)' = u'v + uv'
(u / v)' = (u'v - uv') / v²

Производная сложной функции: f'(g(x)) = f'(g) * g'(x).
Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).
Связь производной с монотонностью и экстремумами:

f'(x) > 0 → функция возрастает.
f'(x) < 0 → функция убывает.
x₀ - точка экстремума, если f'(x) меняет знак при переходе через x₀.

Методический прием: Можно использовать короткий онлайн-опрос (например, Mentimeter) или устный опрос для быстрой проверки формул.

3. Практическая часть. Решение прототипов (25-30 минут)

Работа ведется по трем блокам, соответствующим номерам заданий в ЕГЭ. Разберем по 1-2 прототипа каждого типа.

БЛОК №6 (ПРОИЗВОДНАЯ, КАСАТЕЛЬНАЯ)

Задача 1 (Базовый уровень): На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции в точке x₀.

Алгоритм решения: Найти две точки с целыми координатами, через которые проходит касательная. Производная равна тангенсу угла наклона касательной: k = Δy/Δx.
Вывод: Задание на геометрический смысл. Внимание к знаку (если касательная убывает – производная отрицательна).

Задача 2 (Сложнее): Прямая y = 4x + 13 параллельна касательной к графику функции y = x² + 5x - 2. Найдите абсциссу точки касания.

Алгоритм: Угловые коэффициенты параллельных прямых равны: k_касат = 4. Производная функции в точке касания: f'(x₀) = 2x₀ + 5. Решаем: 2x₀ + 5 = 4 → x₀ = -0.5.
Вывод: Ключевое слово «параллельна» → равенство угловых коэффициентов.

БЛОК №11 (ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ)

Задача (Типовой прототип): Боковые ребра правильной треугольной пирамиды равны 10, сторона основания 12. Какой должна быть высота цилиндра, объем которого в 3 раза меньше объема пирамиды, если известно, что радиус основания цилиндра в 2 раза меньше радиуса вписанной в основание пирамиды окружности, а ось цилиндра лежит на высоте пирамиды?

Этапы решения (показываем структуру):

Анализ и чертеж. Разбираем условие.
Ввод переменной. Пусть h – искомая высота цилиндра.
Выражение всех величин через переменную. Находим радиус вписанной окружности в правильный треугольник (r = a√3/6 = 2√3). Значит, радиус цилиндра R_цил = √3. Находим высоту пирамиды (из прямоугольного треугольника по т.Пифагора: H_пир = √(10² - (a√3/3)²) = ...).
Составление уравнения/функции. Записываем объем пирамиды (V_пир = 1/3 * S_осн * H_пир), объем цилиндра (V_цил = π * R_цил² * h). Составляем уравнение: V_цил = (1/3) * V_пир.
Решение уравнения. Решаем его относительно h.

Вывод: Главное – правильно перевести текст в математическую модель. Часто в этих задачах производная используется для нахождения максимума/минимума.

БЛОК №12 (ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ)

Задача 1 (Монотонность): Найдите промежутки возрастания функции f(x) = 2x³ - 9x² + 12x.

Алгоритм: 1) Найти f'(x)=6x² -18x+12. 2) Решить неравенство f'(x) > 0. 3) Записать ответ: (-∞; 1] U [2; +∞) (часто требуют включить точки, где производная равна 0).
Вывод: Четкое следование алгоритму.

Задача 2 (Экстремумы): Найдите точку максимума функции y = ln(x+7) - 2x + 3.

Алгоритм: 1) Найти ОДЗ: x > -7. 2) Найти производную: y' = 1/(x+7) - 2. 3) Приравнять к нулю: 1/(x+7) = 2 → x = -6.5. 4) Определить знаки производной на интервалах. При x < -6.5 производная положительна, при x > -6.5 – отрицательна. Значит, x = -6.5 – точка максимума.
Вывод: Не забываем про ОДЗ, особенно для логарифмических и дробных функций.

4. Самостоятельная работа (в мини-группах или индивидуально) (10-12 минут)

Раздаточный материал (карточки с 3 задачами по одному прототипу каждого типа).

(№6) Прямая y = -4x - 9 является касательной к графику функции y = x³ + 7x² + 7x - 6. Найдите абсциссу точки касания.
(№11) Консервная банка (цилиндр) должна иметь объем V. Каковы должны быть радиус основания R и высота H, чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество материала (т.е. площадь полной поверхности была минимальной)?
(№12) Найдите наименьшее значение функции y = 2x³ - 24x + 1 на отрезке [-3; 3].

После решения – краткая проверка и обсуждение ответов.

5. Итог урока. Рефлексия (3-5 минут)

Обобщение: Сегодня мы систематизировали знания по производной и отработали ключевые прототипы заданий ЕГЭ. Главное – понимать, к какому типу относится задача и четко следовать алгоритму.
Домашнее задание: Подборка из 6-9 заданий на платформе «РешуЕГЭ» или в сборнике Ященко: по 2-3 задачи на каждый прототип (№6, 11, 12).
Рефлексия: «Поднимите руку, кто чувствует себя увереннее в решении №6? №11? №12? Какие моменты вызвали наибольшие затруднения?»

Дополнительные рекомендации для учителя:

Дифференциация: Для сильных учеников можно включить задачу с параметром или задание на физический смысл производной.
Ошибкоопасные места: Уделить внимание арифметике, знакам, ОДЗ, корректной записи ответа (в зависимости от требования: абсцисса или координаты точки).
Визуализация: Использовать графики при объяснении №6 и №12 для наглядности связи производной и графика функции.

Урок по алгебре на тему,,Производная.Решение задач ЕГЭ,,(11 класс)

DOCX

04.12.2025

193

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Денисенкова Лариса Николаевна

учитель

На сайте: 3 года и 10 месяцев
Всего просмотров: 3258
Подписчики: 0
Всего материалов: 7

3258
просмотров
7
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Денисенкова Лариса Николаевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.