Инфоурок Математика Другие методич. материалыУрок по алгебре на тему "Решение квадратных уравнений" (8 класс)

Урок по алгебре на тему "Решение квадратных уравнений" (8 класс)

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение квадратных уравнений@SEP@Конспект урока. Решение квадратных уравнений..doc

 

                                  Значок звезда - щелчок ЛКМ

                  

                  Тема:   Решение квадратных уравнений.

Цель: Систематизация знаний по теме “ Решение квадратных уравнений”.

Задачи:

-) закрепить основные методы и навыки решения квадратных  уравнений;

-)  совершенствовать вычислительные навыки учащихся;

-) развивать логическое и творческое мышление;

-) воспитывать чувство ответственности за качество и результат  

   выполняемой работы;

 -) прививать интерес к предмету через игровые формы работы, повышение

       активности учащихся.

 

Форма проведения: Урок – игра: «Математический марафон по квадратным уравнениям».  (Класс разбит на команды)

                 «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать   случаев, делать его немного занимательным».

                                                                                                            Паскаль.

Ход урока:

     I.            Организационный момент.

  II.            Вводная часть. 

Ребята, вы, наверное, уже прочитали на экране слова французского учёного Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным».

  Поэтому сегодня мы проведем не просто урок, а урок – игру. Класс разделён на 5 команд. Названия, которым вы придумаете и выберете капитана, который является и консультантом. Задача капитана координировать действия команды, по возможности, проверить правильность выполнения заданий.

  И прежде чем назвать тему, я предлагаю вам решить анаграмму, которая и поможет нам определить, чем же мы с вами будем  заниматься.

звезда  Решите  анаграмму:

аневинуре

      рсимандтикин

           китфэнфиоыце

      ронки

     атероме

Ответ:

звезда уравнение, звезда дискриминант, звезда коэффициенты, звезда корни          звезда  теорема

 

 

Найдите связь между этими понятиями и определите тему нашего урока.  Действительно, тема  урока «Решение квадратных уравнений».

звездаНа экране:

                  Повторительно-обобщающий урок по теме:

                   «Решение квадратных  уравнений»

 

III.            Ход игры:

звезда1.Разминка (устный опрос)

 

звезда1)Какое уравнение называют квадратным?

звездаОпределение: Квадратным уравнением называют уравнение вида

ах2+ bх + с = 0, где коэффициенты а, Ь, с — любые действитель­ные числа,

причем  а ≠ 0.

 

звезда2) Какие квадратные уравнения вы знаете?

звездаОпределение: Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

    Определение: Полное квадратное урав­нение — это квадратное   уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными слова­ми, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.  

   Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в кото­ром присутствуют не все  

   три  слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из   

   коэффициентов  b , с равен  нулю.

 

звездазвезда 3) Корень квадратного уравнения.

звездаОпределение: Корнем квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называют всякое

        значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bх + с обращается в   

       нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

 

звезда    4) Что значит решить квадратное уравнение? Сколько решений может быть?  звезда      Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что   корней нет. Квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

 

звезда5)С помощью чего можно определить количество корней квадратного уравнения?

звездаКоличество корней квадратного уравнения можно определить с помощью дискриминанта.

 

звездазвезда6) Как с помощью дискриминанта выяснить, сколько решений имеет квадратное уравнение?

звезда Если Д<0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

 Если Д=0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0  имеет один корень, который  

 находится по формуле .

Если Д>0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0  имеет 2 корня.

 

звезда7) По какой формуле можно найти дискриминант?

   звезда    D=b2 - 4ac                             

звездазвезда8)Формулы корней квадратного уравнения.

          (если b=2k, то          

 

звезда9). Теорема Виета

звездаПусть x1, x2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно       x1 + x2 =,    x1 x2 =.

(если квадратное уравнение приведённое, т.е. х2 + pх + q = 0, то x1 + x2= -px1 x2 = q).

 

 

 

 

звезда2. Конкурс художников:

Каждой команде дано 6 квадратных уравнений. Решив уравнения, вы найдёте на рисунке такие же значения. Но каждому ответу соответствует свой цвет, которым и необходимо закрасить соответствующие участки рисунка.

звезда

                                  

звездах2- 4х + 4= 0 - чёрный цвет                    

          2х2+ 3х + 1= 0 - жёлтый цвет    

         х2- 5х + 6 = 0 - коричневый цвет

        5х2- 8х + 3 = 0 - зелёный цвет

        4х2+ 10х – 6 = 0 – синий цвет

        х2+ 8х + 7 = 0 - красный цвет  

Ответ:

звезда

 

звезда3. Конкурс «Проверим местность»

 Команды должны решить 13 уравнений. И это не всё. Ответы вам необходимо соединить отрезками в том порядке, в каком даны уравнения. Вам дан  лист, на котором отмечены точки и каждой точке соответствует пара чисел. Вы соединяете только те, которые являются корнями данных уравнений.

звезда

 

                

звезда

1)      х2 – х = 0                   2) 2х2 –8х – 10 = 0             3 )х2 – 7х + 10 = 0

4)  х2 – 8х = 0                  5) 2 – 12х -14 = 0          6) - х2 + 6 х + 16 = 0

7) 3х2 – 24х – 60 = 0       8)  х2 – 8х - 9 = 0               9) - х2 + 7х +8 = 0

      10) -2х2 + 20х = 0             11) х2 – 10х -11 = 0          12) 2 – 28х - 30 = 0

      13)2х2 – 16х = 0 .

Ответ:

 

звезда

 

звездазвезда4.  Конкурс «Сыграем в домино?»

Правила такие же, как и при игре в домино. На каждой последующей карточке содержится ответ уравнения, записанного на предыдущей карточке. 1-ая карточка содержит слово – «начало», последняя – «конец».

Ответ: звезда

  1

начало

  х2 – 7х + 12 = 0

2

  х =3,

  х = 4

 х2 + 18х + 32 = 0

3

х = -16,

х = -2

х2 –5х - 14 = 0

4

х = -2,

х = 7

х2 + 5х + 6 = 0

5

х = - 3,

х = - 2

х2 – 8х + 12 = 0

  6

  х = 2,

  х = 6

х2 + 5х + 4 = 0

7

 х = - 4,

  х = - 1

х2 – 5х - 6 = 0

8

 х = -1,

  х = 6

х2 – 5х + 4 = 0

9

х = 1,

х = 4

х2 + 7х - 8 = 0

10

х = - 8,

х = 1

х2 + 5х - 14 = 0

11

х = - 7,

х = 2

х2 + 5х - 6= 0

12

х = - 6,

х = 1

х2 – х - 20 = 0

13

х = -4,

 х = 5

х2 – 12х + 11 = 0

14

х = 1,

х = 11

х2 + 7х + 12 = 0

15

х = - 4,

х = - 3

х2 + 3х - 4 = 0

16

х = - 4,

х = 1

х2 + 9х + 14 = 0

17

х = -7,

 х = - 2

х2 – х - 12 = 0

18

х = - 3,

 х = 4

х2 – 7х + 10 = 0

19

х = 5,

 х = 2

х2 – 7х - 8 = 0

20

х = -1,

 х = 8

х2 + 14х - 32= 0

21

х = -16,

 х = 2

х2 – 2х - 3 = 0

22

х = -1,

 х = 3

х2 + 2х - 8 = 0

23

х = - 4,

 х = 2

х2 + 5х - 24 = 0

24

х = - 8,

 х = 3

       конец

 

 

IV.             Самостоятельная работа .

 

      1 вариант     а)  х2+ х - 6 = 0,         б) х2- 3х  = 0,    в) х2- 14х + 33 = 0,       г) 2х2+ 3х  +1 = 0.

     2 вариант      а)  х2+ 4х - 5 = 0,       б) х2- 4х = 0,      в) х2-  10х - 39 = 0,      г) 3х2- 3х  + 4 = 0.

     3 вариант      а)  х2+ 3х + 2 = 0,      б) х2- 7х = 0,      в) х2+ 12х - 28 = 0,      г) 5х2- 8х  + 3 = 0.

     4 вариант      а)  х2+ 7х + 12= 0,     б) х2- 12х = 0,    в) х2+ 8х + 7 = 0,         г) 6х2+ 7х  - 5 = 0.

     5 вариант      а)  х2+ 8х - 9 = 0,       б) х2-  9х = 0,     в) х2+ 7х  + 2 = 0,        г) 2х2 + 3х  - 1 = 0.

    6 вариант       а)  х2-  15х + 14 = 0,  б) х2+ 11х = 0,   в) х2- 5х  + 3 = 0,         г) 3х2  - 8х  + 5 = 0.

 

  V.            Итоги урока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок по алгебре на тему "Решение квадратных уравнений" (8 класс)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Овощевод

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Решение квадратных уравнений@SEP@Приложения.docx

Конкурс художников

Задания:

х2- 4х + 4= 0 - чёрный цвет

2+ 3х + 1= 0 - жёлтый цвет

х2- 5х + 6 = 0 - коричневый цвет

2- 8х + 3 = 0 - зелёный цвет

2+ 10х – 6 = 0 – синий цвет

х2+ 8х + 7 = 0 - красный цвет

  

Конкурс   «Проверим местность»

1.      х2 – х = 0

2.      2 –8х – 10 = 0

3.      х2 – 7х + 10 = 0

4.      х2 – 8х = 0

5.      2 – 12х -14 = 0

6.      - х2 + 6 х + 16 = 0

7.      2 – 24х – 60 = 0

8.      х2 – 8х - 9 = 0

9.      - х2 + 7х +8 = 0

10.  -2х2 + 20х = 0

11.  х2 – 10х -11 = 0

12.  2 – 28х - 30 = 0

13.  2 – 16х = 0

 

 

 

 

Конкурс «Сыграем в домино?»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

начало

 

 

  х2 – 7х + 12 = 0

 

2

  х =3,

  х = 4

 

 

 х2 + 18х + 32 = 0

 

3

х = -16,

х = -2

 

 

х2 –5х - 14 = 0

 

4

х = -2,

х = 7

 

 

х2 + 5х + 6 = 0

5

х = - 3,

х = - 2

 

х2 – 8х + 12 = 0

  6

  х = 2,

  х = 6

 

х2 + 5х + 4 = 0

7

 х = - 4,

  х = - 1

 

х2 – 5х - 6 = 0

8

 х = -1,

  х = 6

 

х2 – 5х + 4 = 0

9

х = 1,

х = 4

 

х2 + 7х - 8 = 0

10

х = - 8,

х = 1

 

х2 + 5х - 14 = 0

11

х = - 7,

х = 2

 

х2 + 5х - 6= 0

12

х = - 6,

х = 1

 

х2 – х - 20 = 0

13

х = -4,

 х = 5

 

 

х2 – 12х + 11 = 0

14

х = 1,

х = 11

 

х2 + 7х + 12 = 0

15

х = - 4,

х = - 3

 

х2 + 3х - 4 = 0

16

х = - 4,

х = 1

 

х2 + 9х + 14 = 0

17

х = -7,

 х = - 2

 

 

 

х2 – х - 12 = 0

18

х = - 3,

 х = 4

 

х2 – 7х + 10 = 0

19

х = 5,

 х = 2

 

х2 – 7х - 8 = 0

20

х = -1,

 х = 8

 

х2 + 14х - 32= 0

21

х = -16,

 х = 2

 

 

 

х2 – 2х - 3 = 0

22

х = -1,

 х = 3

 

х2 + 2х - 8 = 0

23

х = - 4,

 х = 2

 

х2 + 5х - 24 = 0

24

х = - 8,

 х = 3

 

       конец

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Самостоятельная работа .

 

 

1 вариант

а) х2+ х - 6 = 0,

б) х2- 3х  = 0,

в) х2- 14х + 33 = 0,

г) 2х2+ 3х  +1 = 0.

 

2 вариант

а) х2+ 4х - 5 = 0,

б) х2- 4х = 0,

в) х2-  10х - 39 = 0,

д) 3х2- 3х  + 4 = 0

 

3 вариант

а) х2+ 3х + 2 = 0,

б) х2- 7х = 0,

в) х2+ 12х - 28 = 0,

д) 5х2- 8х  + 3 = 0

 

 

4 вариант

а) х2+ 7х + 12= 0,

б) х2- 12х = 0,

в) х2+ 8х + 7 = 0,

д) 6х2+ 7х  - 5 = 0

 

5 вариант

а) х2+ 8х - 9 = 0,

б) х2-  9х = 0,

в) х2+ 7х  + 2 = 0,

д) 2х2 + 3х  - 1 = 0

 

6 вариант

а) х2-  15х + 14 = 0,

б) х2+ 11х = 0,

в) х2- 5х  + 3 = 0,

д) 3х2  - 8х  + 5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 вариант

а) х2+ х - 6 = 0,

б) х2- 3х  = 0,

в) х2- 14х + 33 = 0,

г) 2х2+ 3х  +1 = 0.

 

2 вариант

а) х2+ 4х - 5 = 0,

б) х2- 4х = 0,

в) х2-  10х - 39 = 0,

д) 3х2- 3х  + 4 = 0

 

3 вариант

а) х2+ 3х + 2 = 0,

б) х2- 7х = 0,

в) х2+ 12х - 28 = 0,

д) 5х2- 8х  + 3 = 0

 

 

4 вариант

а) х2+ 7х + 12= 0,

б) х2- 12х = 0,

в) х2+ 8х + 7 = 0,

д) 6х2+ 7х  - 5 = 0

 

5 вариант

а) х2+ 8х - 9 = 0,

б) х2-  9х = 0,

в) х2+ 7х  + 2 = 0,

д) 2х2 + 3х  - 1 = 0

 

6 вариант

а) х2-  15х + 14 = 0,

б) х2+ 11х = 0,

в) х2- 5х  + 3 = 0,

д) 3х2  - 8х  + 5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок по алгебре на тему "Решение квадратных уравнений" (8 класс)"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Решение квадратных уравнений@SEP@Решеие квадратных уравнений..ppt

Скачать материал "Урок по алгебре на тему "Решение квадратных уравнений" (8 класс)"

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать  случаев, де...

    1 слайд

    «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным».

    Паскаль


  • аневинуре 

рсимандтикин 

китфэнфиоыце 

ронки

атеромеУравнениеДискримин...

    2 слайд





    аневинуре

    рсимандтикин

    китфэнфиоыце

    ронки

    атероме
    Уравнение
    Дискриминант
    Коэффициенты
    Корни
    Теорема
    Решите анаграмму:

  • Повторительно-обобщающий 
урок по теме
«Решение квадратных  уравнений»

    3 слайд

    Повторительно-обобщающий
    урок по теме
    «Решение квадратных уравнений»


  • 1.Разминка 1)Какое уравнение называют квадратным?Определение:   Квадратным ур...

    4 слайд

    1.Разминка
    1)Какое уравнение называют квадратным?
    Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида
    ах2+ bх + с = 0, где коэффициенты а, Ь, с — любые действитель­ные числа, причем а ≠ 0.
    2) Какие квадратные уравнения вы знаете?
    Определение: Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент
    отличен от 1.
    Определение: Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
    Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b , с равен нулю.

  • 4) Что значит решить квадратное уравнение? Сколько решений может быть?Решить...

    5 слайд

    4) Что значит решить квадратное уравнение?
    Сколько решений может быть?
    Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.
    5)С помощью чего можно определить
    количество корней квадратного уравнения?

    Количество корней квадратного уравнения можно определить с помощью дискриминанта.
    3) Корень квадратного уравнения.
    Определение: Корнем квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bх + с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

  • Если Д0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0  имеет 2 корня.7) По како...

    6 слайд

    Если Д<0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
    Если Д=0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет один корень, который находится по формуле:

    Если Д>0, то квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет 2 корня.
    7) По какой формуле можно найти дискриминант?
    D= b2 - 4ac

    6) Как с помощью дискриминанта выяснить, сколько решений
    имеет квадратное уравнение?

  • 8)Формулы корней квадратного уравнения.       (если b=2k, то     9). Теорема...

    7 слайд

    8)Формулы корней квадратного уравнения.
    (если b=2k, то
    9). Теорема Виета
    Пусть x1, x2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

    Тогда сумма корней равна
    а произведение корней равно
    x1 + x2 =
    x1 x2 =
    (если квадратное уравнение приведённое, т.е. х2 + pх + q = 0,
    то x1 + x2= -p, x1 x2 = q).

  • 2. Конкурс художниковх2- 4х + 4= 0 - чёрный цвет

2х2+ 3х + 1= 0 - жёлтый цве...

    8 слайд

    2. Конкурс художников
    х2- 4х + 4= 0 - чёрный цвет

    2х2+ 3х + 1= 0 - жёлтый цвет

    х2- 5х + 6 = 0 - коричневый цвет

    5х2- 8х + 3 = 0 - зелёный цвет

    4х2+ 10х – 6 = 0 – синий цвет

    х2+ 8х + 7 = 0 - красный цвет

  • 3 . Конкурс  «Исследуем местность»х2 – х = 0
2х2 –8х – 10 = 0
х2 – 7х + 10 =...

    9 слайд

    3 . Конкурс «Исследуем местность»
    х2 – х = 0
    2х2 –8х – 10 = 0
    х2 – 7х + 10 = 0
    х2 – 8х = 0
    2х2 – 12х -14 = 0
    - х2 + 6 х + 16 = 0
    3х2 – 24х – 60 = 0
    х2 – 8х - 9 = 0
    - х2 + 7х +8 = 0
    -2х2 + 20х = 0
    х2 – 10х -11 = 0
    2х2 – 28х - 30 = 0
    2х2 – 16х = 0

  • 4 конкурс «Сыграем в домино»

    10 слайд

    4 конкурс «Сыграем в домино»

  • Спасибо за работу!

    11 слайд

    Спасибо за работу!

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Французский учёный Паскаль писал:"Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным". Тема "Решение квадратных уравнений" очень важна. Учащимся придётся на неё опираться ещё  много раз, изучая другие виды уравнений. Данный урок проводится в виде игры - марафона по квадратным уравнениям. Это командная игра. Цель урока - систематизация знаний по данной теме. Закрепляются навыки решения уравнений данного вида. Развиваются логическое и творческое мышление. Играя в команде, у ребят воспитывается чувство ответственности за качество, результат выполняемой работы. В разработке представлены конспект, презентация и приложения.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 698 103 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 07.01.2015 963
    • RAR 1.3 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Смирнова Ирина Георгиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Смирнова Ирина Георгиевна
    Смирнова Ирина Георгиевна
    • На сайте: 9 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 27160
    • Всего материалов: 12

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Няня

Няня

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 18 регионов
  • Этот курс уже прошли 104 человека

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 37 человек из 18 регионов
  • Этот курс уже прошли 199 человек

Курс повышения квалификации

Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС

72/144/180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 89 человек из 39 регионов
  • Этот курс уже прошли 757 человек

Мини-курс

Применение семантического ядра в SEO и рекламе

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Музыкальная журналистика: история, этика и авторское право

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Особенности и механизмы манипуляции в различных сферах жизни

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе