Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по алгебре на тему "Свойства тригонометрических функций" (10 класс)

Урок по алгебре на тему "Свойства тригонометрических функций" (10 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Урок-судебное заседание.


Тема. Свойства тригонометрических функций.

Цель: обобщить и систематизировать знания учеников о свойствах функции вообще и свойствах тригонометрических функций отдельно; продолжать формировать умение и навыки учеников исследовать тригонометрические функции; развивать познавательный интерес, внимание, расширять познавательные возможности учеников, побуждать к творческой коллективной и индивидуальной работе.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Оборудование: кодоскоп, изображенные на таблицах графики тригонометрических функций, макет единичной окружности, таблица значений тригонометрических функций.

Разделение ролей: судья – учитель, прокурор, адвокат – ученики класса, присяжные – гости, свидетели – ученики класса.


Ход урока


Секретарь. Встать. Суд идет!


Судья. Уважаемые присутствующие в этом зале! Сегодня мы проведем судебное заседание, на котором обвиняют свойства тригонометрических функций. Что ж привело их на лавку подсудимых? Это мы и стараемся выяснить. Нам помогают прокурор, адвокат и многочисленные свидетели. Прошу свидетелей положит руку на основной закон (учебник), согласно которого будет вестись сегодняшний процесс, и пообещать ничего не утаивать от суда, говорить правду и только правду и все, что знаете.


Все вместе. Обещаем!


Судья. Слово имеет прокурор.


Прокурор. Многоуважаемый суд, господа присяжные! В то время, как ученики начали изучать свойства тригонометрических функций, прошло много времени, они даже смогли написать контрольную работу и сдать зачет. Полученные результаты показывают, что часть учеников не может усвоить свойства тригонометрических функций. Поэтому я утверждаю, что известные мировые открытия испытают крах, и предлагаю со всей строгостью великого закона «Алгебры и начало анализа» признать свойства тригонометрических функций как такие, которые не поддаются изучению.


Судья. Я думаю, что позиция прокурора нам понятна. Слово имеет адвокат.


Адвокат. Господа присяжные! Подсудимые имеют право на оправдание и с моей помощью воспользоваться правом защиты. Я собираюсь довести (с помощью многочисленных свидетелей) невинность свойств тригонометрических функций. Для этого предлагаю ознакомиться с вещевыми доказательствами защиты. Это единичная окружность, математические словари, графики тригонометрических функций, которые любезно согласились принести свидетели защиты. И главное мое доказательство – это качественные знания учеников, которые являются свидетелями.


Судья. В деле тригонометрических функций слушаются их свойства – область определения. Слово имеет прокурор.


Прокурор. Господа присяжные, многоуважаемый судья! Как всем давно известно, областью определения какой-либо функции называют множество значений независимых переменных. Если область определения функции у = sin x и у = cos x есть все множество действительных чисел (что я допускаю, есть целиком принятым), то, как можно оправдать область определения функций у = tgx и y = ctgx?

Ведь есть значения аргументов + п/2, +3П/2, 5П/2 и т.д. для функций у = tgx и 0, +П, + 2П и т.д. для функции у = ctgx, для которых функции не определены. А это означает, что эти числа не принадлежат к области определения! Какая еще из раньше определенных важных функций такое себе позволяла, спрашиваю я вас? У меня все.


Адвокат. Господа присяжные, уважаемый суд! Обратили ли вы внимание, на чем берется строить свое обвинение прокурор? Ученикам известны и другие функции, например у = √х, у = 1/х, областью определения которых является не все множество действительных чисел. Так разве это доказательство для обвинения? Прошу судью вызвать свидетелей, которые докажут, что знают, что такое область определения функции и умеют ее находить.


Судья. Прошу свидетелей выполнить такие задания.


  1. Для каждой названной функции указать ее область определения.

а) у = sinx;

б) у = cosх;

в) у = tgx ;

г) y = ctgx.


Варианты ответов:

  1. (0; +∞);

  2. (πn; + π/2 + πn), n € Z;

  3. (-∞; + ∞);

  4. (πn; π+ πn), n € Z;

  5. ( - π/2 + πn; π/2 + πn), n € Z.;

  6. Другой ответ.


  1. Какой четверти принадлежат углы:

425°; 13π/4; - 2870° ; 10π/3; 15,2°?


  1. Найти область определение функции:

а) у = cosх;

х

б) у = cosх /1 – sinx.


(Ученики выполняют задание, и ответы записывают в тетрадях и на отдельных листах, которые сдают для проверки).


Судья. В деле тригонометрических функций рассматривается их свойство – область значений. Слово имеет прокурор.


Прокурор.Ваша честь! Область значения – это множество значений зависимых от переменной. Преступление этого свойства тригонометрических функций в том, что для функции у = sinx и у = cosх это всего отрезок [-1;1], не удается выйти за границы замкнутого пространства отрезка [-1;1] на всей области значений! Разве это не преступление?


Адвокат. Господа присяжные! Обратите внимание, что не все тригонометрические функции так ограничены по оси у. такими являются функции у = tgx или y = ctgx.

Кроме того, давно известно всем функция у=х2 – также ограничена по оси у интервалом [0; +∞), а для функции у = b (b - будет число) вообще областью значения является только одно число b. Разве это называлось преступлением? Прошу допросить свидетелей.


Судья. Прошу свидетелей показать, что они умеют находить значения тригонометрических функций. Предлагаю вам дифференцированное задание, соответствующее среднего, достаточного и высокого уровня.


  1. Пользуясь таблицей значений тригонометрических функций, вычислить:


Sin30° + tg π/4 + cos90° - Sin3π/4 + ctg45° – ctg90° - sin π - cosπ/3.


  1. Выписать неправильные равенства:

а) sinx = 8;

б) tgx = 1/0.3;

в) cosх = -2,3;

г) cosх = 2 π;

д) ctgx = 0,7;

е) sinx = π – 3;.


3. Найти область значений функций:


а) у = 1 + | ctgx|;

б) у = 5 + sin2x;

в) у = 2 + ½ | cosх|;

г) у = sinx + ½.


Судья. В деле тригонометрических функций слушается их свойство – периодичность. Есть ли по этому поводу размышления у прокурора?


Прокурор. Согласно великого закона «Алгебры начало анализа», функция у = f(х) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для какого-нибудь х с области определения функции числа х + T и х – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f (х – T) = f(х) = f (х + T).

Путем несложных размышлений можно доказать , что функции ) у = sinx и у = cosх имеют бесконечное количество периодов. Это числа вида ±2 π, ±4 π, ±6 π….

А для функций у = tgx и у = ctgx периодами являются числа ± π, ±2 π, ±3 π…. Такое количество периодов приводит к тому, что это просто не входит ни в одни рамки. Кто может это запомнить?


Адвокат. Уважаемый суд. В том самом законе, на который так подступне ссылается прокурор, сказано, что во время вычисления пользоваться наименьшим периодом. Для функций у = sinx и у = cosх – это число 2 π, а для функций у = tgx и у = ctgx – это число π. Для тригонометрических функций вида у = а f (kх + b), где а, k, b – числа, f – тригонометрическая функция, период вычисляется по формуле T0 = Т/ |k|, где Т – период данной тригонометрической функции f.


Судья. А усвоили свидетели понятие периодичности функции и умеют вычислять период тригонометрической функции? Это несложно проверить, оценив выполнение ими следующих заданий.

    1. Используя свойства периодичности тригонометрических функций, вычислите значения суммы


sin1860° + ½ ctg960° + tg1305° + cos21 π/3.


    1. Найти наименьший период функции:

а ) у = (tgx + tg2x ) / (1 - tgx tg2x);

б) у = sin2,5x sinx + cos2,5х cosх.

(Задания проверяются устным комментированием способов решения и ответов.)

Судья. В деле тригонометрических функций слушается их свойство – монотонность. Считает ли прокурор это свойство преступлением?

Прокурор. Уважаемые присяжные, уважаемый суд! Обращаю ваше внимание, что это свойство, как каждое другое заслуживает судимость, ведь графики функций у = sinx и у = cosх ведут себя непристойно: они то убывают, то возрастают, что похоже на волны. Напомню при этом, что такая важная функция, как у = √х, только возрастает на всей области определения, а функция у = 1/х только убывает на ней. Я думаю, что сказанное переубедит присяжных.

Адвокат. Ваша честь! Я протестую, прокурор пользуется незаконными методами. К чему тут функции у = √х и у = 1/х? Почему тогда прокурор так многозначно промолчал про монотонность функций у = tgx и у = ctgx, одна из которых только возрастает, а другая только убывает на всей области определения? Но и функции у = sinx и у = cosх то возрастают, то убывают благодаря свойству периодичности. Но вместе с тем каждый десятиклассник, который себя уважает, может четко установить границы возрастания и убывания функций у = sinx и у = cosх.

Судья. Правда, сказанное можно проверить. Пусть свидетели выполнят задание, которое касается монотонности функций вообще и тригонометрических в отдельности.

Сравнить значения тригонометрических функций:

а) cosπ/5, cosπ/4;

б) sin π/5 , sin π/4;

в) tg π/5 ,tg π/4;

г) ctg π/5 , ctg π/4.

Вынесение приговора: тригонометрические функции считать оправданными. Их свойства судом доказаны.




Автор
Дата добавления 06.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров217
Номер материала ДВ-233246
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх