Урок
алгебры в 11 классе с использованием интерактивной доски.
ТЕМА:
«Решение иррациональных уравнений»
Где
есть желание, найдется путь. Пойя Д.
Цели урока:
1.
ОБУЧАЮЩИЕ.
Продолжить отрабатывать навык решения иррациональных уравнений различными
способами и применять их при решении тестовых заданий.
2.
РАЗВИВАЮЩИЕ.
Развивать логическое мышление, развивать навыки самоконтроля, уметь
пользоваться интерактивной доской.
Этапы урока:
1.
Организационный
момент.
2.
Устная
работа.
3.
Работа
по вариантам.
4.
Обобщение
методов.
5.
Закрепление.
6.
Самостоятельная
работа по классификации уравнений.
7.
Решение
этих уравнений.
8.
Дополнительное
задание- творческое.
9.
Подведение
итогов урока. Выставление оценок.
10.
Домашнее
задание.
1
этап. Здравствуйте,
ребята, садитесь. Тема нашего урока: Решение иррациональных уравнений.
Эпиграфом служат слова Пойя: «Где есть желание, найдется путь». Думаю,
что желание необходимо в любом деле.
2 этап. Начнем. Задание:
Выберите из данных уравнений иррациональные.
А) х + = 2,
Б) = 2 + х,
В) у2 –
2у = 2,
Г) = 4,
Д) = -5,
Е) - 2х = х,
Ж) =
Сверили
ответы (ответы закрашены, открываются ручкой), объяснили. Это была разминка.
Дайте определение иррациональных уравнений.
-Иррациональным
уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, а
также под знаком возведения в дробную степень.
Что значит решить иррациональное уравнение?
-Решить
иррациональное уравнение- значит найти все такие значения переменной, при
подстановке которых в уравнение получится верное числовое равенство, либо
доказать, что таких значений переменных не существует.
3
этап. В
листах самоконтроля подпишите фамилию, имя, класс, вариант. Посмотрите на
критерий оценок. За дополнительный устный ответ: 0,5 б., за дополнительный
письменный – 2б. Оценка зависит от количества набранных балов. Три задания.
Лист
самоконтроля
Ф.И._________________________________________
кл.______________Вариант___________
|
№
задания
|
1
|
2
|
3
|
Доп.
|
Доп.
|
ИТОГО
|
ОЦЕНКА
|
Кол-во
баллов
|
|
|
|
|
|
|
|
1 задание - по 1 б.
(максимум – 4 б.)
2 задание - по 1 б. (максимум-3 б.)
3 задание - по 2; 2.5; 3б.(максимум
– 6; 7.5; 9 б.)
15 баллов и выше- оценка «5»
13-14 баллов- оценка «4»
10-12 баллов- оценка «3»
Ниже 10 баллов- без оценки,
доп.задание (карт.).
1 задание: Решить
уравнения. Время выполнения 5-6 мин:
Вариант
1
№
|
Решить
уравнение
|
Верный
ответ
|
1
|
=
-2
А)1; В)-7; С)нет; D)-1;
E)5.
|
|
2
|
(х-
4) =
0
А)0; В)4; С)-4; Д)1; Е)4;1.
|
|
3
|
=
х
А)-1; В)-1;-2; С)2; Д)нет; Е)3.
|
|
4
|
=
х-1
А)7; В)8; С)9; Д)4; Е)11.
|
|
Вариант
2.
№
|
Решить
уравнение
|
Верный
ответ
|
1
|
=2
А)0; В)-1; С);
Д)нет; Е)5.
|
|
2
|
(-9) =
0
А)3; В)3; 2; С)3; -3; 2; Д)-3; 2; Е)3; -2.
|
|
3
|
=
А)2; -1; В)2; С)-2; 1; Д)-1; Е);
0.
|
|
4
|
=
А)4; В)2; С)1; Д)5; Е)6.
|
|
Вариант 3
№
|
Решить
уравнение
|
Верный
ответ
|
1
|
х
+ 3 – =
2
А)-2; В)1; С)1;2; Д)5; Е)-1;2.
|
|
2
|
=
А)1; В)4; С)5; Д)6; Е)0.
|
|
3
|
=
6
А)9;6; В)-6; 5; С)-4; 2; Д)-7; 3; Е)-10; 3.
|
|
4
|
(х-5)(х+2) =
0
А)2; В)7;-2; С)5; Д)7; Е)5; -2; 7.
|
|
Стоп. Сверили с ответами (ответы
также открываются ручкой). Максимум 4 балла. Занесли результаты в лист
самоконтроля. У кого меньше 3 б.? Разобрать ошибки.
4 этап. При решении данных уравнений вы использовали
различные методы.
Назовите
их. И в чем идея каждого метода?
-Возведение
в степень (общий метод);
-Введение
новой переменной (метод замены);
-Разложение
на множители (правило расщепления).
ОТВЕТЫ:
1)
Возведение
в степень.
а)
Сначала изолируют (уединяют) 1 радикал, затем обе части возводят в одну и ту
же степень, чтобы получилось рациональное уравнение.
б)
Если 2 или более радикала, то сначала изолируют 1 из радикалов, затем обе части
уравнения возводят в одну и ту же степень, и повторяют операцию до тех пор,
пока не получится рациональное уравнение.
Что
важно помнить?
-
При возведении в четную степень возможно появление постороннего корня, в
нечетную степень – нет.
2) Введение новой переменной.
Если
в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от
неизвестной величины, принимают его за новую переменную и решают относительно
новой переменной. Затем найти исходную величину.
3)
Метод разложения на множители.
Пользуемся
правилом: Произведение равно нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Мы
разбирали следующие СХЕМЫ РАВНОСИЛЬНОГО ПЕРЕХОДА, при котором
выполнять проверку не нужно:
Но все же чаще решаем
иррациональные уравнения путем замены уравнения его следствием. Пожалуйста,
перечислите пункты АЛГОРИТМА решения иррациональных уравнений:
1.
Найти ОДЗ переменной, содержащейся под знаком корня.
2.
Перейти от уравнения к его следствию.
3.
Найти корни полученного уравнения.
4.
Проверить, являются найденные корни, корнями исходного. (Проверяются те корни,
которые входят в ОДЗ!)
Выслушали
ответы. За верные ответы по 0,5 б. дополнительно.
5 этап. К доске идут 2 ученика решать
уравнения средней сложности. Остальные решают самостоятельно.
1)
–
=
2 – ученик
решает у доски
2)
=
2 - –
ученик решает на доске
3)
(х - 1) =
0 - самостоятельно
у доски, под шторкой верное решение.
1
уравнение.
(решение под шторкой, которая открывается ручкой)
ОДЗ:
↔
х -1
ОТВЕТ: 15, -1
2
уравнение.
(решение под шторкой)
Введем
замену: =
t, t ОТВЕТ:
4.
3
уравнение.
Решают у доски.
х-1 = 0 или =
0 ОТВЕТ: -1; 2
Проверить
решения. Найти ошибки, если они есть.
6 этап. 2 задание: Итак, разобрали 3 метода,
а теперь самостоятельно разбейте в 3 колонки по методам решения (на доске
разбросаны уравнения). Только букву соответствующего уравнения.
1
метод 2
метод 3 метод
Возведение в степень Введение переменной
Разложение на множители
И)
(х2 - 5х - 6) =
0 3) -
2 =
1 Д) +
=
12
Ж) =
-
Г)
=
1
Е) (х+1) =
х +1,3 А) -
1=х
Б) х2 +11+ =
42
В) (х2-9) =
0
Проверим.
Уравнения перетягиваются ручкой по колонкам. Максимум-3б.
1
метод 2
метод 3 метод
Возведение в степень Введение
переменной Разложение на множители
А)
-
1 = х Б) х2 +11+ =
42 В) (х2-9) =
0
Г)
=
1 Д) +
=
12 Е) (х+1) =
х +1
Ж)
=
-
З) -2 =
1 И) (х2 - 5х - 6) =
0.
7
этап. 3
задание:
Решите
уравнения, выбрав уровень сложности. Ответы открываются.
1
уровень- по 2б. 2 уровень- по 2,5б 3
уровень- по 3б.
А)
-
1 = х, Г) =
1, Ж) =
-
2
1
4
Б)
+11+ =
42, Д) +
=
12, З)-
2 =
1
5 76 2,5
В)
(-9) =
0, Е) (х+1) =
х +1, И) ( -
5х - 6) =
0.
2; -3 -2;6
8 этап. Кто справился с заданием, получит дополнительное
задание (творческое):
Самостоятельно разобрать
метод анализа уравнения (пристального взгляда).
МЕТОД
АНАЛИЗА УРАВНЕНИЯ
1)
=
-1,
2)
,
3)
=
1.
4)
=
1,
5)
=
3,
6)
=
2,
7)
8)
+
=
4,
9) =
-2,
10)
,
11)
–
2. Затем,
учащиеся разобравшие новый метод, объясняют остальным.
9 этап. Подводится итог урока.
Подсчитываются
баллы. Согласно критериям, выставляются оценки в листах ответов.
10 этап. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1)
§ 8 с.61, № 124,130 (п.34 с.208 авт. Колмогоров). Разбор нового метода «Метод
исследования монотонности функции», который будет рассмотрен на прикладном
курсе.
2)
Домашнее задание, для кто не набрал баллы на «4» и «5». Решить уравнения:
1.
Возведением в степень:
1)
х + =
6
2)
3)
2.
Введением новой переменной:
4)
х + =
2
5)
=
6
3.
Разложением на множители:
6)
(25-х2) =
0
7)
(х2
-9) = 0.
Для самостоятельного изучения.
МЕТОД
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ. Использование монотонности функции, входящих в
уравнение, упрощает техническую часть решения.
Свойства
монотонных функций и теорема о корне:
1.
Сумма возрастающих функций- функция возрастающая на их общей области
определения. Сумма
убывающих
функций- функция убывающая.
2.
Разность возрастающей и убывающей функций- функция возрастающая на из общей
области определения. Соответственно, разность убывающей и возрастающей-
убывающая.
3.
Теорема о корне: Пусть у = f(x)- монотонная на некотором промежутке
функция. Тогда при любом значении а уравнение f(x)=а имеет на этом промежутке не более
одного корня. Наглядный смысл теоремы: горизонтальная прямая у=а может
пересечь график монотонной функции у=f(x) не более чем в одной точке (т.е.
либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке).
а)
–
=
2. Первый радикал при увеличении х возрастает, а второй- убывает, но он
вычитается из первого, поэтому их разность возрастает. Следовательно, уравнение
имеет не более одного решения. Легко найти, что х = 1.
б)
+=8.
Левая часть- возрастающая функция. Поэтому существует не более одного решения
данного уравнения. Подбором найдем этот корень х=10.
в)
++ =
6. Левая часть- возрастающая функция. Единственный корень х = 7.
МОНОТОННОСТЬ
ФУНКЦИИ
1)
2)
=
3,
3)
4)
Спасибо
за урок! Все хорошо поработали!
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.