Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Урок по алгебре в 8 классе на тему "Теорема Виета"

Урок по алгебре в 8 классе на тему "Теорема Виета"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

http://fs00.infourok.ru/images/doc/243/240389/10/310/img0.jpghello_html_52a915a.gifhello_html_52a915a.gif



















http://ppt4web.ru/images/1469/47866/640/img3.jpg

































http://fs00.infourok.ru/images/doc/162/186467/640/img12.jpg






















http://fs00.infourok.ru/images/doc/162/186467/640/img12.jpg



http://www.uchportal.ru/_ld/98/93604849.jpg


























ДАТА:____________ КЛАСС: 8 в ПРЕДМЕТ:алгебра

УРОК № 39

ТЕМА: теорема Виета

Цели урока:

1) Обобщить знания по решению квадратных уравнений с использованием теоремы Виета; уметь применять при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней уравнения, при проверке правильности нахождения корней квадратных уравнений.

2) Развивать логическое  мышление, навыки сравнения и анализа; развивать коммуникативные навыки; навыки  самостоятельной  работы.

План урока:

1) Повторение теоремы Виета. Ее применение для любого квадратного уравнения.

2) Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.

3) Тест на проверку усвоения темы.

4) Задание для разбора классом.

Ход урока:


1. Организационный момент

Приветствие, проверка присутствующих, готовности к уроку. Оглашение плана урока.

Проверка домашнего задания.

2. Работа по теме урока

Учитель: С какой теоремой познакомились на прошлом уроке?

Как она звучит для приведенного квадратного уравнения?

Как можно ее записать для неприведенного квадратного

уравнения.

Задание1: решить уравнения и сделать проверку с помощью теоремы Виета

1. х2 – 9 = 0;

2. 3х2 + 15х = 0;

3. х2 – 4х – 11 = 0;

4. 2х2 + 5х – 3 = 0.

Задание 2: Составить квадратное уравнение, корни которого известны

а) х1 = 2; х2 = - 7 Решение:

p = - ( 2 – 7) = - (- 5) = 5http://edcommunity.ru/upload/iblock/65d/2.jpg

q = 2 · (-7) = - 14

х2 + 5х – 14 = 0

б) х1 = - 2; х2 = - 5 Решение:

p = - (- 2 – 5)= 7

q = -2 · (-5) = 10

х2 + 7х + 10 = 0



Проверка задания 1:

1. х2 – 9 = 0; а = 1; в= p = 0; с =q = - 9.

(х – 3)(х+3) = 0; х1 + х2 = 3 + (-3) = 0 = - p

х1 = 3; х2 = - 3. х1 · х2 = 3 · (-3) = - 9 = q

2. 3х2 + 15х = 0; а = 3; в = 15; с = q = 0.

3х(х + 5) = 0; p = 5;

х1 = 0; х2 = - 5. х1 + х2 = 0 + (-5) = - 5 = - p

х1 · х2 = 0 · (-5) = 0 = q

3. х2 – 4х – 11 = 0; а = 1; в= p = - 4; с =q = - 11.

Х1 = √15; х2 = 3 √15. х1 + х2 = 2 + √15+ 2 - √15 = 4 = -p

х1 · х2 =(2 + √15)( 2 - √15) = 4 – 15 = - 11 = q

4. 2х2 + 5х – 3 = 0. а = 2; в = 5; с = - 3;

х1 = 0,5; х2 = - 3. p = 2,5; q = - 1,5.

Х1 + х2 = 0,5 + (-3) = - 2,5 = - p

х1 · х2 = 0,5 · (-3) = - 1,5 = q

Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.

Учитель: Можно ли находить корни квадратного уравнения без вычисления дискриминанта?

Ответ – да, но при условии, если уравнение приведенное, а корни целочисленные. Теорема, обратная теореме Виета гласит: если найдутся два числа, сумма которых равна числу противоположному коэффициенту при х, а их произведение есть свободное слагаемое приведенного квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения.

Такой способ решения называется способом подбора, и этим способом можно пользоваться наиболее результативно, если уловить связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов. Попробуем эту связь объединить в таблицу:

х2 + pх + q = 0

q > 0

p > 0

х1 < 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀

х2 < 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀

q > 0

p < 0

х1 > 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀

х2 > 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀

q < 0

p > 0

х1 < 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀

х2 > 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ - ׀ х2 ׀

q < 0

p < 0

х1 < 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀

х2 > 0 ׀p׀ = ׀ х2 ׀ - ׀ х1 ׀


1) х2 – х – 6 = 0

х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 6; х1 = 3; х2 = - 2.

2) х2 + 5х + 4 = 0

х1 + х2 = - 5; х1 · х2 = 4; х1 = - 1; х2 = - 4.

3) х2 – 11х + 18 = 0

х1 + х2 = 11; х1 · х2 = 18; х1 = 9; х2 = 2.

4) х2 + 7х – 18 = 0

х1 + х2 = - 7; х1 · х2 = - 18; х1 = 2; х2 = - 9.

5) х2 – х – 30 = 0

х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 30; х1 = 6; х2 = - 5.

6) х2- 5х + 6 = 0

х1 + х2 = 5; х1 · х2 = 6; х1 = 3; х2 = 2.

7) х2 + 11х + 30 = 0

х1 + х2 = - 11; х1 · х2 = 30; х1 = - 5; х2 = - 6.

Задание для разбора классом.


Не решая уравнения 5х2 – 13х – 6 = 0 найдите сумму квадратов его корней.

Решение: 5х2 – 13х – 6 = 0


Подведение итогов урока.

Домашнее задание.№139 стр 54



Краткое описание документа:

ДАТА: 02.12 КЛАСС: 8 в ПРЕДМЕТ: АЛГЕБРА

УРОК № 39

ТЕМА: Теорема Виета

Цели:

1.изучение, формирование и первичное закрепление новых знаний, умений и навыковпо теме Теорема Виета; формировать умение применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений

2.развитие умения анализировать, сравнивать, выделять главное, применять знания на практике

3.воспитание культуры умственного труда, дисциплинированности, пунктуальности, аккуратности и ответственности.

Тип урок - урок изучения нового материала

Вид урока - комбинированный

Прогнозируемый результат

Знать: основные понятия и определения по указанной теме

Уметь: применять полученные знания на практике

Оборудование урока: учебник, доска, дидактический, раздаточный материал.

ПЛАН УРОКА.

1.Организация начала урока. Подготовка учащихся к работе на уроке. Постановка целей урока.

2. Подготовка к основному этапу урока, к активному усвоению нового учебного материала. Актуализация опорных знаний и умений. Вопросно-ответная беседа

3.Усвоение новых знаний и способов действий. Объяснение нового материала.

4.Первичная проверка понимания учащимися нового материала. Установление правильности и осознанности усвоения нового материала, выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция

5.Закрепление знаний и способов действий на уровне применения в знакомой ситуации.

6.Подведение итогов урока. Анализ и оценка успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы. Рефлексия.

7.Информация о домашнем задании. Обеспечения понимания цели, способов выполнения домашнего задания. Проверка соответствующих записей.

ХОД УРОКА

  • Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные уравнения:

а) 3х2 – 2х = 0; е) –21х2 + 16х = 0;

б) 7х2 – 16х + 4 = 0; ж) х2 = 0;

в) х2 – 3 = 0; з) х2 + 4х + 4 = 0;

г) –х2 + 2х – 4 = 0; и) х2 = 4;

д) 2 – 6х + х2 = 0; к) –7х2 + 6 = 0.

2. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) 3х2 + 6х – 12 = 0; г) х2 + х – 2 = 0;

б) 2х2 = 0; д) 3х2 – 7 = 0;

в) –х2 – 2х + 16 = 0; е) –5х2 + 10х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. «О т к р ы т и е» теоремы Виета.

Целесообразно организовать лабораторную исследовательскую работу. Для этого разбить класс на пять групп, каждой из которых дать решить приведённое квадратное уравнение. После его решения один представитель от каждой группы выходит к доске и заполняет соответствующую строку в таблице:

Уравнение

b

c

Корни

Сумма корней

Произведение корней

х2 – 3х + 12 = 0

х2х – 12 = 0

х2 + 5х + 6 = 0

х2 + 3х – 10 = 0

х2 – 6х – 7 = 0

После этого учитель предлагает учащимся сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c и выдвинуть гипотезу. Учитель подтверждает сделанное предположение, сообщая, что данное утверждение называется теоремой Виета, обращая внимание учащихся, что эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений.

Можно привести краткий исторический материал о жизни и деятельности Франсуа Виета.

Рассмотреть доказательство теоремы можно как по учебнику (с. 127– 128), так и привлекая учащихся, поскольку оно не является сложным. После доказательства на доску выносится запись:

Т е о р е м а В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0,

то х1 + х2 = –р; х1х2 = q.

Для первичного усвоения теоремы Виета можно предложить учащимся выполнить устно упражнение на нахождение суммы и произведения корней квадратного уравнения:

1) № 580 (а, б, в, г) – устно.

2) х2х – 5 = 0.

3) х2 + 3х + 5 = 0.

При выполнении этого задания необходимо предотвратить формальное применение теоремы Виета. Нужно убедиться, что квадратное уравнение имеет корни. Если учащиеся сами не выскажут эту мысль, то при решении третьего задания предложить им найти дискриминант уравнения и сделать соответствующий вывод.

2. Т е о р е м а В и е т а для неприведённого квадратного уравнения.

При выполнении устной работы в начале урока учащиеся вспомнили, как преобразовать квадратное уравнение в приведённое. Следует предложить им самостоятельно вывести формулы для неприведённого квадратного уравнения, используя теорему Виета. После этого на доску выносится запись:

Т е о р е м а В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения аx2 + bx + c = 0,

то х1 + х2 = ; х1х2 = .

3. Т е о р е м а, обратная теореме Виета.

Обращаем внимание учащихся, что по теореме Виета мы можем только убедиться в правильности нахождения корней с помощью дискриминанта. Возникает вопрос, а если мы подберем такие числа, которые в сумме будут равны второму коэффициенту с противоположным знаком, а в произведении – свободному члену, то не будут ли они являться корнями уравнения? Подчеркиваем, что мы хотим воспользоваться утверждением, обратным теореме Виета, значит, мы должны его доказать. Работа с теоремой Виета и обратной ей теоремой позволяет формировать элементы математической культуры учащихся.

После рассмотрения (по учебнику) доказательства теоремы привести примеры нахождения корней квадратного уравнения подбором.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, выполняемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение теоремы Виета.

2-я г р у п п а. Упражнения на нахождение подбором корней приведённого квадратного уравнения.

1. № 147 – устно.

2. № 148 у доски

3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:

а) х2 + 7х – 8 = 0; в) х2 – 4х – 5 = 0;

б) х2 – 5х – 14 = 0; г) х2 + 8х + 15 = 0.

4. № 150

5. Найдите подбором корни уравнения:

а) х2 – 11х + 28 = 0; г) х2 + 3х – 28 = 0;

б) х2 + 11х + 28 = 0; д) х2 + 20х + 36 = 0;

в) х2 – 3х – 28 = 0; е) х2 + 37х + 36 = 0.

V. Проверочная работа.

Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значение выражений х1 + х2 и х1х2:

В а р и а н т 1

а) х2 – 7х – 9 = 0; в) 5х2 – 7х = 0;

б) 2х2 + 8х – 19 = 0; г) 13х2 – 25 = 0.

В а р и а н т 2

а) х2 + 8х – 11 = 0; в) 4х2 + 9х =0;

б) 3х2 – 7х – 12 = 0; г) 17х2 – 50 = 0.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему Виета.

– Что необходимо проверить, прежде чем находить сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения?

– Как можно применить теорему Виета для неприведённого квадратного уравнения?

– В чём состоит теорема, обратная теореме Виета? Когда она применяется?

Домашнее задание: № 149, 153

Д о п о л н и т е л ь н о: найти подбором корни уравнения:

а) х2 – 12х + 27 = 0; в) х2 + 9х – 36 = 0;

Автор
Дата добавления 05.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров524
Номер материала ДВ-308936
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх