Урок по геометрии для 10 класса на тему"Предмет стереометрии. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Аксиомы стереометрии."

Урок

Тема: Предмет стереометрии.  Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Аксиомы стереометрии.

Цель: рассмотреть основные свойства плоскости.

Ход урока

I. Вступительная беседа.

В планиметрии все фигуры, которые рассматривались при доказательстве  каждой  теоремы  или  при  решении  задач, располагались на плоскости (на листе бумаги или на доске и т. д.). Таким образом, мы имели дело только с одной плоскостью, и все точки, линии, углы, вообще геометрические фигуры лежали только на ней.

В курсе стереометрии нам предстоит рассматривать такие случаи, когда не все точки, линии и углы данной или данных фигур будут располагаться на одной плоскости. Будем считать, например, поверхность стола моделью плоскости Р; возьмем куб и поставим его одной гранью на стол. Легко видеть, что в данном кубе:

1) имеются  точки,  ребра,  углы,  лежащие на данной плоскости Р (на столе);

2) имеются точки, которые находятся вне плоскости Р;

3) имеются ребра, пересекающие плоскость Р;

4) имеются углы, находящиеся вне плоскости Р;

5) имеются шесть граней, являющиеся моделями шести различных плоскостей.

Вывод. Плоскости могут вступать во взаимодействие с другими элементами фигур и друг с другом.

Отсюда вытекает необходимость изучать различные случаи комбинаций плоскостей между собой, комбинации плоскостей с линиями и другими геометрическими объектами. Это изучение является одной из задач курса стереометрии. В первую очередь надо выяснить основные свойства плоскостей по отношению друг к другу, к точкам и прямым.

Введем обозначения:

точки – А, В, С и т. д.

прямые – a, b, с и т. д. или (АВ, СD и т. д.)

плоскости – α, β, γ и т. д.

                     

                  

          

II. Основные свойства плоскости.

Всем знакома ситуация: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, то есть опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Этот пример служит наглядным подтверждением того факта, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Так как три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость, то можно обозначать плоскость как (АВС), (BCD) и т. д.

Можно ли провести плоскость через три точки, лежащие на одной прямой? Сколько существует таких плоскостей?

Верно ли, что:

а) любые три точки лежат в одной плоскости;

б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;

в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

Ответы: а) да; б) нет; в) нет; г) нет.

Рассмотрим следующую ситуацию: для проверки «ровности» при укладке тротуарной плитки используют брусок, который прикладывают к поверхности дорожки. Если на дорожке есть ложбинки или бугорок, то в каких-то местах между бруском и плоскостью дорожки образуется просвет. Если поверхность дорожки ровная, то между бруском и дорожкой никакого просвета нет, то есть брусок всеми своими точками прилегает к ее поверхности.

Можно встретить и обратную ситуацию, когда проверяют «ровность» линейки при помощи проверенной модели плоскости.

Эти примеры служат наглядным подтверждением того факта, что если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:

а) пересекает две стороны треугольника;

б) проходит через одну из вершин треугольника?

Ответ обоснуйте.

Обратимся к модели куба.

Учащимся прелагается на модели куба указать:

1) точку, принадлежащую одновременно двум данным пересекающимся граням;

2) точку, принадлежащую трем данным пересекающимся граням;

3) грани,  которым  принадлежит  точка,  взятая на каком-нибудь ребре куба;

4) грани, которым принадлежит данная вершина куба.

Вывод. Точка, лежащая на линии пересечения двух плоскостей, лежит на каждой из этих плоскостей, и обратно: точка, лежащая одновременно на двух каких-нибудь плоскостях, лежит на линии пересечения этих плоскостей.

На вопрос, что является линией пересечения двух плоскостей (в теоретико-множественном смысле: если прямые имеют хотя бы одну общую точку), отвечает третья аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через данную точку.

Наглядной иллюстрацией третьей аксиомы является пересечение двух смежных сторон классной комнаты, пересечение двух листов книги и т. д.

Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Прямые а и b пересекаются в точке С. Через прямую а проходит плоскость α, а через прямую b – плоскость β, отличная от α. Как проходит линия пересечения этих плоскостей?

Следует обязательно отметить, что в пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.

III. Решение задач.

№ 9 (перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики).

Постройте изображение куба АВСDА₁В₁С₁D₁:

а) назовите плоскости, в которых лежат точка М, точка N;

б) найдите точку F – точку пересечения прямых MN и ВС. Каким свойством  обладает  точка  F?  (Принадлежит  и  прямой MN, и плоскости (АВС));

в) найдите точку пересечения прямой KN и плоскости (АВС).

Домашнее задание: теория (п. 1 – 2), № 1 (перечертите чертеж и ответы запишите с помощью символики), №№ 3, 10, 12, 13.