Урок по геометрии для 11 класса ,,Взаимное расположение сферы и плоскости"

Урок по геометрии в 11 классе

Тема: ,,Взаимное расположение сферы и плоскости”

Продолжительность урока: 40 минут

Учебник: «Геометрия, 10-11 классы», Л.С.Атанасян

На уроке применяются элементы следующих современных образовательных технологий:

• Групповые технологии

• Здоровьесберегающие технологии

• Информационные компьютерные технологии

Цели урока:

• Образовательные:

- изучение видов взаимного расположения сферы и плоскости (сечения сферы плоскостью);
- формирование навыка решения задач.

• Развивающие:

- развитие способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности

• Воспитательные:

- воспитание познавательного интереса к математике;
- воспитание информационной культуры и культуры общения;
- воспитание наблюдательности, самостоятельности, способности к коллективной работе.

Оборудование: карточки с заданиями для групп, для рефлексии настроения и результативности; компьютер, проекционный экран, проектор.

Формы работы: фронтальная, работа в парах, групповая работа.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Структура урока:

1. Постановка цели

2. Актуализация знаний, умений, навыков

3. Формирование знаний, умений и навыков

4. Физминутка

5. Закрепление нового материала

6. Подведение итогов

7. Домашнее задание

8. Рефлексия

Ход урока:

1. Организационный момент

- приветствие, сообщение основных этапов урока.

Начать урок я хочу с вопроса: «Что самое ценное на Земле?» Этот вопрос

волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный

Ал - Бируни:

«Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно

не приходит».

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень

хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока

ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться

можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

2. Актуализация знаний учащихся

Работа по вопросам

- определение сферы

- определение центра, радиуса и диаметра сферы

- определение шара

- определение центра, радиуса и диаметра шара

- уравнение сферы

Выполнение заданий

1. Дано уравнение сферы + + = 25. Найти координаты центра и радиус сферы

2. Дано уравнение сферы + + = 0. Найти координаты центра и радиус сферы

3. Написать уравнение сферы с центром в точке (3;-2; 4) и радиусом 6

4. Написать уравнение сферы с центром в точке (0; 0; -5) и радиусом

Решим устно задачу по готовому чертежу (показ на проекционном экране):

Дано: сфера, точки

А и В принадлежат сфере,

Доказать: АМ=МВ

Доказательство:

Рассмотрим АМО и МВО. Эти треугольники прямоугольные, т.к. ОМ АВ (по условию задачи).

АМО = ВМО. Так как ОМ – общий катет, ОА=ОВ=R – гипотенузы. Значит АМ=МВ.

Что и требовалось доказать.

III. Формирование знаний, умений и навыков учащихся

Ребята, посмотрите на проекционный экран. Вы видите три чертежа, на каждом из которых изображены шар и плоскость. Скажите, пожалуйста, каково расположение шара и плоскости относительно друг друга на каждом чертеже? (ученики отвечают)

а) d>R, тогда R² - d² <0 и уравнению x² + y² = R² - d² не удовлетворяют координаты никакой точки.

– если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

б) d=R, тогда R² - d² =0 и уравнению x² + y² = R² - d² удовлетворяют только значения х=0, у=0

– если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

в) d<R, тогда R² - d² >0 и уравнение x² + y² = R² - d² является уравнением окружности радиуса r = √ R² - d² с центром в точке О на плоскости Оху

– если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

- сечение шара плоскостью есть круг.

- большой круг – круг, радиус которого равен радиуса шара.

Как вы думаете, какая фигура является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара? (Круг).

Запишем в тетрадь 3 возможных случая взаимного расположения сферы и плоскости, сделаем к ним рисунки. Запишем формулировку теоремы о сечении шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара “Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость”.

После работы с проекционным экраном необходимо провести физкультурную минутку.

IV. Физминутка

1. Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

2. Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

3. Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.

4. Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх - налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1 -6; затем налево вверх - направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

V.Закрепление изученного материала

Работа в парах

Заполните таблицу, где R- радиус сферы, d- расстояние от центра сферы до плоскости

Проверка. Обсуждение решений.

Работа в группах (элемент применения здоровьесберегающих технологий – работа по профилактике стрессов): каждой группе выдается задание для работы.

Задание 1 группе:

Сфера, радиус которой равен 13 см, пересечена плоскостью. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 5 см. Найдите длину окружности, получившейся в сечении.

(24p см)

Задание 2 группе:

Шар, радиус которого 30 дм, пересечен плоскость на расстоянии 15 дм от центра. Найдите площадь сечения. (675p дм² )

Задание 3 группе:

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга. (3/4)

Три ученика (по одному от каждой группы) представляют решение своей задачи у доски, остальные ученики оформляют решение в тетрадях.

Вопросы для закрепления (задается по два-три вопроса, ученику, отвечающему у доски; при возникновении затруднений своему представителю может помогать группа):

• Что такое шар? (тело, ограниченное сферой)

• Что такое шаровая поверхность или сфера? (поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки)

• Что такое радиус, диаметр, хорда шара? (любой отрезок, соединяющий центр и любую точку (шара) сферы; отрезок, две точки сферы (шара) и проходящий через ее центр; диаметр, не проходящий через центр шара)

• Записать уравнение сферы ((x-xₒ)² + (y-yₒ)² + (z-zₒ)² =R² )

• Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?

• Назовите три случая взаимного расположения сферы и плоскости. (d>R, d=R, d<R)

• Что такое большой круг? (если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 и в сечении получается круг радиуса R, т.е. круг, радиус которого равен радиусу шара.)

VI. Подведение итога урока Подведение итогов. Выставление оценок.

VII. Домашнее задание

п.58-60, №586, 587

Инструкция по выполнению домашнего задания

VIII. Рефлексия (оценка своей деятельности на уроке)

Ребята, я оценила вашу работу на уроке. Когда вы будете после урока выходить из класса, оцените каждый самостоятельно свою работу на уроке с помощью соответствующего смайлика на листе бумаги, помещённом на крыле магнитной доски.

Урок окончен, спасибо за урок, до свидания.