Инфоурок / Математика / Презентации / Урок по геометрии "Исследование полярных координат"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Урок по геометрии "Исследование полярных координат"

библиотека
материалов
Исследование полярных координат Балашова Елена Владимировна
Цель урока: Рассмотрение полярных координат и нахождение их взаимосвязи с пря...
Введение. Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощ...
Определение полярных координат Под системой координат на плоскости понимается...
Связь прямоугольных координат с полярными. Если на плоскости дана полярная си...
Как же связаны между собою координаты x, y и ,r? Если наряду с полярными коор...
Зная эти форму мы можем представить уравнения прямой, окружности, эллипса, ги...
В полярной системе координат существуют кривы, характерные только этой систем...
Строфоида Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-пор...
Спираль Архимеда Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка,...
Кардиоида По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно н...
Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль или изогональная спираль — о...
Семейство роз Гранди В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742)...
Построение графиков функции в полярной системе координат. В полярной системе...
Итоги урока Выяснили откуда появилось понятие полярная система (полярные коор...
15 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Исследование полярных координат Балашова Елена Владимировна
Описание слайда:

Исследование полярных координат Балашова Елена Владимировна

№ слайда 2 Цель урока: Рассмотрение полярных координат и нахождение их взаимосвязи с пря
Описание слайда:

Цель урока: Рассмотрение полярных координат и нахождение их взаимосвязи с прямоугольными координатами. Задачи урока: 1. Выяснить, когда и в связи с какими потребностями появилось понятие полярные координаты на основе анализа школьных учебников математики, математической справочной литературы, литературы по истории математики. 2. Исследовать взаимосвязь полярных и прямоугольных координат 3. Исследовать виды полярных координат 4. Изучить построение графиков функции в полярной системе координат 5. Построить графики функции в полярной системе координат

№ слайда 3 Введение. Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощ
Описание слайда:

Введение. Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой–либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Наглядность представления окончательного ответа иногда тоже сильно зависит от выбора системы координат.

№ слайда 4 Определение полярных координат Под системой координат на плоскости понимается
Описание слайда:

Определение полярных координат Под системой координат на плоскости понимается способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом ОР, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч ОР. Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (рис.1). Рис. 1 Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком [0;2π), а полярный радиус r - [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ.

№ слайда 5 Связь прямоугольных координат с полярными. Если на плоскости дана полярная си
Описание слайда:

Связь прямоугольных координат с полярными. Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за начало координат в этой прямоугольной системе берём начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с её направлением ). Так как в определение полярной системы координат входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдёт ось абсцисс при повороте её на угол в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой определённой данной полярной системой ( рис.2). •Каждой полярной системе координат соответствует вполне определённая прямоугольная система, и обратно. •

№ слайда 6 Как же связаны между собою координаты x, y и ,r? Если наряду с полярными коор
Описание слайда:

Как же связаны между собою координаты x, y и ,r? Если наряду с полярными координатами (r,φ) точки плоскости (например, точки М) ввести также ее прямоугольные координаты, как это было показано на рис. 2, то связь между ними выразится очевидными формулами, которые позволяют перейти от полярных координат точки M к прямоугольным. Также можно сделать обратный переход, от прямоугольных координат к полярным, по формулам:

№ слайда 7 Зная эти форму мы можем представить уравнения прямой, окружности, эллипса, ги
Описание слайда:

Зная эти форму мы можем представить уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Уравнение прямой: Уравнение окружности: Уравнение эллипса, гиперболы и параболы: Различие между Эллипсом, гиперболой и параболой будут значения угла ,которые они принимают.

№ слайда 8 В полярной системе координат существуют кривы, характерные только этой систем
Описание слайда:

В полярной системе координат существуют кривы, характерные только этой системе: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др. Рассмотрим каждую из них. Кохлеоида – трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах: Кохлеоида имеет бесчисленное множество завитков, проходящих через полюс и касающихся полярной оси (рис.7). Кохлеоида Рис.7

№ слайда 9 Строфоида Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-пор
Описание слайда:

Строфоида Строфоида (от греч. στροφή — поворот) — алгебраическая кривая 3-порядка. Строится так (рис.9): даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек Мi, i = 1, 2, таких, что BМ1 = BМ2 = AB. Уравнение строфоиды: Из истории: Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — "птероида" (от греч. πτερον— крыло). Название "строфоида" было введено в 1849 году.

№ слайда 10 Спираль Архимеда Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка,
Описание слайда:

Спираль Архимеда Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед. Ему (Архимеду), в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2π (рис. 10). Пусть а>0. Будем задавать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами и (т.е. множество всех точек с координатами , где пробегает все значения ), образует кривую, называемую спиралью Архимеда. Уравнение кривой: Рис.10

№ слайда 11 Кардиоида По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно н
Описание слайда:

Кардиоида По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos — сердцеобразная) Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма. Уравнение:

№ слайда 12 Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль или изогональная спираль — о
Описание слайда:

Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, "удивительная спираль". Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств: •расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию; •последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию; •образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу. Уравнение:

№ слайда 13 Семейство роз Гранди В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742)
Описание слайда:

Семейство роз Гранди В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как , то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1. Наиболее красивые "цветы" получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза) (рис.12). Уравнение: где k - положительная постоянная

№ слайда 14 Построение графиков функции в полярной системе координат. В полярной системе
Описание слайда:

Построение графиков функции в полярной системе координат. В полярной системе координат так же, как и в декартовой, по графику функции можно построить график функции . Это построение сводится к простым геометрическим преобразованиям графика функции согласно перечисленным ниже свойствам. Основные свойства графиков функции в полярной системы координат: 1. График функции симметричен графику функции относительно полюса. 2. График функции симметричен графику функции относительно полярной оси. 3. График функции , где m>0, - это растянутый или сжатый вдоль полярной оси в m раз график функции 4. График функции - это график, полученный из графика функции с помощью поворота последнего на угол . 5. График функции - это график функции параллельно перенесённый вдоль полярной оси на величину b.

№ слайда 15 Итоги урока Выяснили откуда появилось понятие полярная система (полярные коор
Описание слайда:

Итоги урока Выяснили откуда появилось понятие полярная система (полярные координаты), что они представляют собой. Исследовали как взаимосвязаны декартовая и полярная системы координат. Изучили какие существуют виды полярных координат и их свойства. На основе всего исследования построили некоторые из видов полярных кривых. Гипотеза моего исследования подтвердилась, существует прямая взаимосвязь между декартовой и полярной системами координат.

Общая информация

Номер материала: ДБ-263618

Похожие материалы