Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии 10 класс

Урок по геометрии 10 класс

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Урок 10

Тема: «Решение задач на применение теорем Чевы и Менелая».

Создать условия для того, чтобы учащиеся могли научиться применять теоремы Чевы и Менелая при решении задач

Основное содержание темы, термины и понятия

Треугольник, пропорциональные отрезки в треугольнике, теорема Чевы, теорема Менелая.

Планируемый результат

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Предметные: усвоение систематических знаний о треугольниках, формулировать и доказывать теоремы Чевы и Менелая и использовать их при решении задач

Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры.

Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)

Образовательные ресурсы

  1. 1. Геометрия. 10–11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).

I этап. Актуализация опорных знаний.

Цель: систематизировать знания учащихся по теме

(Ф).

1). Проверить решение домашней работы. К доске приглашается двое учащихся для доказательства теорем Чевы и Менелая.

2). Пока учащиеся готовятся можно провести опрос по теории ранее повторенных тем.

II этап. Решение задач.

Цель: применять доказанные теоремы при решении задач

(Ф)

Решить задачи:

  1. hello_html_m572428a8.png


 




 

Дано: ABC;

A1BC; B1 AC;

C1 AB. SABC= S,

PKN ограничен прямыми:AA1, BB1, CC1.

Найти: SPKN


Решение:

1 способ

Рассмотрим ACC1 и секущую BB1 (точки пересечения B1, K, B). Применим теорему Менелая hello_html_7199217.gif.

hello_html_720ea2f5.gif; hello_html_7850aae6.gif из этого следует hello_html_8f84934.gif=3. Подставим в равенство

hello_html_431c32e8.gif, отсюда, hello_html_m3ab1a483.gif


Рассмотрим ABA1 и секущую CC1 (Точки пересечения C1, N, C) По теореме Менелая: hello_html_30f7e5f7.gif

hello_html_m1e82da53.gif; hello_html_1151a6cc.gif, отсюда, hello_html_m649ed4f7.gif, подставим в равенство, hello_html_1fecbbdc.gif, отсюда, hello_html_m316cfec0.gif


Рассмотрим BB1C и секущую AA1 (точки пересечения A, P, A1) По теореме Менелая: hello_html_2fc53d0b.gif

hello_html_4943d0cf.gif; hello_html_720ea2f5.gif, отсюда, hello_html_m69e90af5.gif. Подставим в равенство hello_html_4dff9787.gif, отсюда, hello_html_df4adf2.gif

Далее будем использовать свойство площадей частей треугольника

hello_html_m762f9116.gif, где Dhello_html_44dad3c8.gifAChello_html_55ef3068.png




Действительно, hello_html_m4f103059.gif


Обратимся к рисунку к задаче


В hello_html_938bd05.gifC1BChello_html_m3ab1a483.gif, следовательно, S3+S4=6S2

В hello_html_938bd05.gifAA1Chello_html_m316cfec0.gif, следовательно, S5 +S6 =6S4

В hello_html_938bd05.gifABB1hello_html_df4adf2.gif, следовательно, S2+S7=6S6.

т.к. BA1 = 2 A1C, следовательно, SABA1 = 2SAA1C, следовательно, S1+S2+S3+S7=2S6+2S5+2S4 (1)

т.к. AC1 = 2BC1, следовательно, SACC1 = 2SBCC1, следовательно, S1+S5+S6+S7=2S2+2S3+2S4 (2)

т.к. SB1BC = 2SABB1 (B1C = 2 B1A)

S1+S3+S4+S5=2S2+2S6+2S7 (3)

Сложим равенства (1), (2), (3) почленно:

3S1+S2+2S3+S4+2S5+S6+2S7=4S2+4S4+2S3+2S5+4S6+2S7.

После упрощения получим:

3S1=3S2+3S4+3S6; S1=S2+S4+S6

Из доказанного, что S3+S4=6S2 следует, что hello_html_m3b908bdd.gif, так же hello_html_mde98f80.gif и hello_html_3e4d28ab.gif, подставим,

S1=hello_html_me832a3d.gif + hello_html_m7985f7f0.gif + hello_html_m2dc5aaea.gifт.е. S1=hello_html_m7a29a526.gif(S2+S3+S4+S5+S6+S7)=hello_html_671c38ae.gif, следовательно, S=7S1, где S=SABC; S1=SPKN.

Ответ: S=7S1

 






III этап. Решение задач.

Цель: уметь применять доказанные теоремы при решении задач.

(Г).

Для первой задачи предложить второй способ решения.

2 способ

По теореме Менелая:hello_html_m3a01b974.gif, следовательно, hello_html_m31e8ac35.gif.

Значит, SC1KB = hello_html_m6c67006d.gifSC1BC

Аналогично SAB1P=hello_html_m6c67006d.gifSAB1B, SA1NC=hello_html_m6c67006d.gifSACA1

По условию A1C=hello_html_m1378ce14.gifCB, следовательно, SACA1=hello_html_m1378ce14.gifSABC, следовательно, SA1NC=hello_html_49790f57.gifSABC


AB1=hello_html_m1378ce14.gifAC, следовательно, SABB1=hello_html_m1378ce14.gifSABC, следовательно, SAPB1=hello_html_49790f57.gifSABC

C1B=hello_html_m1378ce14.gifAB, следовательно, SC1BC=hello_html_m1378ce14.gifSABC, следовательно, SC1BK=hello_html_49790f57.gifSABC

SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.

S=hello_html_m1378ce14.gifS+hello_html_m1378ce14.gifS-hello_html_49790f57.gifS+hello_html_72232968.gifS+SKPN

S=hello_html_m6e15a667.gifS+ SKPN, откуда SKPN=(1-hello_html_m6e15a667.gif)S= hello_html_m638399d5.gifS; SKPN=hello_html_m6c67006d.gifS

Ответ: SKPN=hello_html_m6c67006d.gifS


IV этап. Итог урока. Рефлексия

(Ф/И).

- Какие теоремы доказали на уроке?

- Что вызвало наибольшее затруднение?

(И). Домашнее задание: п. 95, 96 учебника на стр.206-209, решить задачи:

1). Дано: ABCD – четырёхугольник. M – середина AD; N – середина BC. MP=PK=KN

Доказать: ABCD – трапеция;


hello_html_m1ee915ee.png









  1. Дано: треугольник ABC

Доказать: биссектрисы ABC пересекаются в одной точкеhello_html_m4ff852d8.png









Общая информация

Номер материала: ДБ-222251

Похожие материалы