Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии 9 класс"Синус,косинус и тангенс угла"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по геометрии 9 класс"Синус,косинус и тангенс угла"

библиотека
материалов

hello_html_m1f362546.gif

Конспект урока 9 класс

НА ТЕМУ:






Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла».

Тип урока: изучение нового материала.

Класс: 9.

Цель урока:

- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;

- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный метод.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация.


План урока:

  1. Орг. момент (2 мин);

  2. Актуализация знаний (5 мин);

  3. Изучение нового материала (22 мин);

  4. Первичное закрепление нового материла (13 мин);

  5. Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин).


Ход урока:


  1. Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.

  1. Актуализация знаний.



Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).

Запись в тетрадях:

Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.

Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.

что называют синусом острого угла?

Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 

Учитель: что называют косинусом острого угла?

Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

Учитель: что такое тангенс острого угла?

Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).

1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

http://raal100.narod2.ru/geometriya/sinus_kosinus_tangens/sin_i_cos_v_treugolnike.png?rand=137614985071788

Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.

(ученики самостоятельно решают в тетрадях)


Решение

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

      sin A = hello_html_7d5a4cbe.gif = hello_html_2e647abd.gif = hello_html_6eec8aff.gif.

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

      cos B = hello_html_7d5a4cbe.gif = hello_html_2e647abd.gif = hello_html_6eec8aff.gif.

В итоге получается:

sin A = cos B = hello_html_6eec8aff.gif.

Или:

sin 30º = cos 60º = hello_html_6eec8aff.gif.

3. Изучение нового материала

Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)

Запись в тетрадях:

Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

hello_html_m78786c6a.png

Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 .

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  = hello_html_111eff31.gif , a cos  = hello_html_m49dc7ee3.gif.

Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin  ордината у точки М, cos  это абсцисса х точки М.

Запись на доске и в тетрадях:

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,

sin = hello_html_111eff31.gif , a cos = hello_html_m49dc7ee3.gif.

Но OM = 1, MD = y, OD = x,

поэтому sin  = y, cos  = x. (1)

Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = hello_html_m2875e305.gif, то тангенс будет равен отношению синуса угла  к косинусу угла  tg = hello_html_m4f8b3a7.gif. Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла  к синусу ctg = hello_html_2483c7bf.gif .

Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. tg = hello_html_m2875e305.gif, то tg = hello_html_m4f8b3a7.gif, ctg = hello_html_2483c7bf.gif .

Учитель: если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (1).

Таким образом, для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  - абсцисса х точки М.

Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 справедливы неравенства:

0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.

Запись в тетрадях:

Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180

0 ≤ sin ≤ 1, - 1≤ cos ≤ 1.



Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.

Запись в тетрадях:

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1

Учитель: так как tg = hello_html_m4f8b3a7.gif , то при  = 90 тангенс угла  не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg = hello_html_2483c7bf.gif не определен при  = 0 ,  = 180  , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:

tg 0 = 0, tg 180 = 0.

ctg 90 = 0.

Запишите это в тетради. (слайд 7)

Запись в тетрадях:

Т.к. tg = hello_html_m4f8b3a7.gif , то при  = 90 тангенс угла  не определен.

tg 0 = 0, tg 180 = 0,

т.к. ctg = hello_html_2483c7bf.gif , то при  = 0 ,  = 180  катангенс угла  не определен

ctg 90 = 0.

Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8).

Запись в тетрадях:

http://www.ankolpakov.ru/wp-content/uploads/2012/08/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9-%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9.gif

Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.

Запись в тетрадях:

Основное тригонометрическое тождество.

Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство

sin2 + cos2 = 1, (4)

Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9)

Запись в тетрадях:

Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно

sin2 + cos2 = 1 - основное тригонометрическое тождество.

Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.

Знаки синуса.

Так как sin = hello_html_70e99767.gif , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол  находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол  находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)

Запись в тетрадях:

т.к. sin  = hello_html_70e99767.gif ,

I , II ч - sin  > 0, III, IV ч - sin  < 0

Учитель: знаки косинуса. Так как cos  = hello_html_5bb7eda1.gif , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол  находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол  находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.

Запись в тетрадях:

Так как cos  = hello_html_5bb7eda1.gif

I , IV ч - cos a > 0, II, III ч - cos a < 0

Учитель: знаки тангенса и катангенса.

Так как tg  = hello_html_m2875e305.gif, а ctg  = hello_html_11261596.gif, то знаки tg  и ctg  зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg  > 0 и ctg  > 0, если угол  является углом 1 или 3 четверти; tg  < 0 и ctg  < 0, если угол  является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.

Запись в тетрадях:

tg a = hello_html_m2875e305.gif

I , III ч - tg a > 0, II, IV ч - tg a < 0

ctg = hello_html_11261596.gif

I , III ч - ctg a > 0, II, IV ч - ctg a < 0.

hello_html_4e309e31.png

Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)

sin (90 - ) = cos

cos (90 - ) = sin (5) при 0 ≤  ≤ 90,

sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos  (6) при 0 ≤ 180 .



Запись в тетрадях:

Формулы приведения.

sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin  (5) при 0 ≤ 90hello_html_11852162.gif,

sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos  (6) при 0 ≤ 180hello_html_11852162.gif .



Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)

Запись в тетрадях:

Формулы для вычисления координат точки.

Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

hello_html_7f4250d4.png



Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол  между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin  = y, cos  = x координаты точки М соответственно равны cos  и sin . Вектор hello_html_m241fffd8.gif имеет те же координаты, что и точка М, т.е. hello_html_m241fffd8.gif(cos ; sin ). Вектор hello_html_m3fd87709.gif имеет те же координаты, что и точка А, т.е. hello_html_m3fd87709.gif (х; у). По лемме о коллинеарных векторах hello_html_m3fd87709.gif = ОА ∙ hello_html_m241fffd8.gif, поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

Запишите все в тетрадь со слайда.

Запись в тетрадях:

sin  = y, cos  = x

М(cos ; sin ), hello_html_m241fffd8.gif(cos ; sin ), hello_html_m3fd87709.gif (х; у).

По лемме о коллинеарных векторах hello_html_m3fd87709.gif = ОА ∙ hello_html_m241fffd8.gif, поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)



4. Закрепление изученного материала



Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.

К доске вызываются ученики.

Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 ( hello_html_6eec8aff.gif ; hello_html_1fc87bde.gif), М3 (hello_html_73ca8c00.gif ; hello_html_73ca8c00.gif), М4 (-hello_html_1fc87bde.gif; hello_html_6eec8aff.gif), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.

Запись на доске и в тетрадях:

1012.

Дано: М1(0; 1), М2 ( hello_html_6eec8aff.gif ; hello_html_1fc87bde.gif), М3 (hello_html_73ca8c00.gif ; hello_html_73ca8c00.gif), М4 (-hello_html_1fc87bde.gif; hello_html_6eec8aff.gif), А(1; 0), В(- 1; 0)

Найти: sin, cos, tg углов: АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ

Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х2 + у2 = 1.

Запись на доске и в тетрадях:

М1 (0; 1), 02 + 12 = 0 +1 = 1, следовательно М1 hello_html_m2e28bbd1.gif Окр (0; 1).

М2 ( hello_html_6eec8aff.gif ; hello_html_1fc87bde.gif), hello_html_c6a9c2f.gif +hello_html_m5b33b43d.gif = 1, hello_html_685d8d49.gif + hello_html_m57c90caf.gif = 1, 1 = 1, следовательно М2 hello_html_m2e28bbd1.gif Окр (0; 1).

М3 (hello_html_73ca8c00.gif ; hello_html_73ca8c00.gif), hello_html_m80bb428.gif+ hello_html_m80bb428.gif= 1, hello_html_6eec8aff.gif + hello_html_6eec8aff.gif = 1, 1 = 1, следовательно М3 hello_html_m2e28bbd1.gif Окр (0; 1).

М4 (-hello_html_1fc87bde.gif; hello_html_6eec8aff.gif), hello_html_6f2e1ff5.gif + hello_html_c6a9c2f.gif = 1, hello_html_m57c90caf.gif + hello_html_685d8d49.gif = 1, 1 = 1, следовательно М4 hello_html_m2e28bbd1.gif Окр (0; 1).



А(1; 0), 1 2 + 02 = 1 = 1, следовательно А hello_html_m2e28bbd1.gif Окр (0; 1).

В(- 1; 0), (-1)2 + 02 = 1 = 1, следовательно В hello_html_m2e28bbd1.gif Окр (0; 1).

hello_html_m1f4a75d7.png

Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.

Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. sin  = y, cos  = x, tg = hello_html_m4f8b3a7.gif

sinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0.

sinАОМ2 =hello_html_1fc87bde.gif , cosАОМ2 = hello_html_6eec8aff.gif, tg АОМ2 = hello_html_5909bbae.gif.

sinАОМ3 =hello_html_73ca8c00.gif , cosАОМ3 = hello_html_73ca8c00.gif, tg АОМ3 = 1.

sinАОМ4 =hello_html_6eec8aff.gif , cosАОМ4 =hello_html_538d53cd.gif, tg АОМ4 = hello_html_7a731dc8.gif.

sinАОВ =hello_html_66dffbe2.gif , cosАОВ =hello_html_m4f0ff780.gif, tg АОВ = hello_html_66dffbe2.gif.



Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известнее косинус.

К доске вызывается ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

1013 (а, б)

Дано: а) cos = hello_html_6eec8aff.gif.

б) cos = hello_html_5ffb5354.gif.

Найти: sin

Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.

Запись на доске и в тетрадях:

sin2  + cos2  = 1

a) sin2  = 1 - cos2 ;

sin2 = 1 - hello_html_c6a9c2f.gif = 1 - hello_html_685d8d49.gif = hello_html_m57c90caf.gif;

sin2 = hello_html_m57c90caf.gif

Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен hello_html_1fc87bde.gif.

Запись на доске и в тетрадях:

Так как находится в 1 ч., то sin > 0,

sin = hello_html_1fc87bde.gif

б) sin2 = 1 - hello_html_m1fbfa352.gif = 1 - hello_html_m1ae3d52d.gif = hello_html_138d6a3a.gif;

Ученик: так как угол находится во 2 ч., то sin > 0

Запись на доске и в тетрадях:

Так как находится во 2 ч., то sin > 0,

sin = hello_html_m38eb0b2b.gif .

Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .

К доске вызывается ученик.

Запись на доске и в тетрадях:

1015 (а, в)

Дано: а) cos = 1;

в) sin = hello_html_73ca8c00.gif и 0 < < 90.

Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.

Запись на доске и в тетрадях:

a) tg = hello_html_m4f8b3a7.gif,

sin2  + cos2  = 1;

sin2  = 1 - cos2 ;

sin2  = 1 - hello_html_m775c60a7.gif = 1 - hello_html_m78b015e8.gif = 0; sin  = 0.

tg = hello_html_m4f8b3a7.gif = hello_html_9bfe9f3.gif = 1.



в) sin2  + cos2  = 1;

cos2  = 1 - sin2 ;

cos2  = 1 - hello_html_m80bb428.gif = 1 - hello_html_6eec8aff.gif = hello_html_6eec8aff.gif;

т.к. 0 <  < 90 , cos  > 0, cos  = hello_html_73ca8c00.gif.

tg = hello_html_m4f8b3a7.gif = 1.



5. Подведение итогов урока и домашнее задание



Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:

Что называется синусом угла?

Ученик: синус острого угла  равен ординате у точки.

Учитель: что называется косинусом угла?

Ученик: косинус острого угла  равен абсциссе х точки

Учитель: что такое тангенс угла?

Ученик: тангенс - это отношение синуса угла  к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.

Учитель: А что такое катангенс угла?

Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.

Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?

Ученик: sin2 + cos2 = 1 является основным тригонометрическим тождеством.

Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?

Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OAsin .

Учитель: а как определить знаки синуса или косинуса?

Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .

Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13)



Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)

Учитель: урок окончен. До свидания.





Решение домашней работы.



1014.

Дано: а) sin = hello_html_1fc87bde.gif;

б) sin = hello_html_685d8d49.gif;

в) sin = hello_html_66dffbe2.gif.

Найти: cos .

Решение.

а) Выразим cos из основного тригонометрического тождества sin2 + cos2 = 1.

cos2  = 1 - sin2 ;

cos2  = 1 - hello_html_m5b33b43d.gif = 1 - hello_html_m57c90caf.gif = hello_html_685d8d49.gif;

cos  = ± hello_html_6eec8aff.gif.

б) Аналогично:

cos2  = 1 - hello_html_31dabd0.gif = 1 - hello_html_m12cf78a7.gif = hello_html_2cc3892b.gif;

cos = ±hello_html_m1bdc7217.gif.

в) cos2 = 1 - 0 = 1

cos = ± 1.



1015(б, г).

Дано: б) cos = - hello_html_1fc87bde.gif;

г) sin = hello_html_3b88a430.gif и 90 < < 180 .

Найти: tg .

Решение.

б) tg = hello_html_m4f8b3a7.gif,

sin2  + cos2  = 1;

sin2  = 1 - cos2 ;

sin2  = 1 - hello_html_6f2e1ff5.gif = 1 - hello_html_m57c90caf.gif = hello_html_685d8d49.gif,

sin  = ± hello_html_6eec8aff.gif.

tg = hello_html_m4f8b3a7.gif = hello_html_4e963b77.gif = hello_html_m480c74d4.gif.

г) cos2  = 1 - sin2 ;

cos2  = 1 - hello_html_52e120e.gif = 1 - hello_html_m218da1a7.gif = hello_html_38d2eb41.gif

т.к. 90 <  < 180 , то sin  > 0, sin  =hello_html_36b5a9e0.gif ,

tg = hello_html_m4f8b3a7.gif = hello_html_26125c99.gif = hello_html_m57c90caf.gif.










Автор
Дата добавления 21.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2406
Номер материала ДВ-177166
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх