Урок по геометрии на тему "Подготовка к ГИА"

Геометрические задачи при подготовке к ГИА

Учитель: Панкратова Н.П.

Задача 1:  Площадь ромба ABCD равна 18.  В треугольник  ABD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла ВАС.                                        Решение:  Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, центр окружности точка  О лежит на диагонали АС. Треугольники АВС и КВЕ подобны. Так как площади этих треугольников равны 9 и 1 соответственно, то коэффициент подобия равен 3.   = .

                                                           А           K                                            В

                                                                            ™

                                                                                                            Е

                                          D                                                            С

Точка пересечения диагоналей ромба АС и ВD – точка М.

Треугольники ОКВ и ОМВ равны ( ОК = ОМ и гипотенуза ОВ – общая).

Отсюда, КВ=ВМ.

Из прямоугольного треугольника АМВ имеем  =  =  = .

                                       Ответ:  .

Задача 2:  Через точку D основания АВ равнобедренного треугольника  АВС проведена прямая СD, пересекающая описанную около треугольника АВС окружность в точке Е. Найдите АС, если СЕ=3 и DE=DC.

Решение:     Углы САВ и СВА равны ( углы в основании равнобедренного треугольника).  Вписанные углы СВА и СЕА опираются на одну хорду АС, значит, они равны.       Треугольники DАС и АЕС подобны (углы DАС и АЕС равны, угол при вершине С - общий).                                                                                                                           

                     С                    

А                                           В

Е                                              

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:   .            Отсюда АС =  .

Ответ:      

Задача 3: Дана трапеция АВСD с основаниями АВ = a и ВС = b. Точки М и N лежат на сторонах АВ и СD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите MN, если известно, что площади треугольников АМО и СNО равны.   

Решение: 

                     В                                                       C     

             M                                                                    N

         A                                                                             D             

1.     Из равенства площадей треугольников АМО и СNО следует

МО∙AO = ON∙OC

        

2.     Треугольники МАО и ВАC подобны по двум углам.

Имеем пропорциональность сторон.

 =                 =           1 +   =                     

3.       Треугольники СON и CAD подобны по двум углам.

Имеем пропорциональность сторон.

 =                 =           1 +   =                     

4.           Учитывая, что  , получим      

                      

Учитывая, что MO + ON = MN, получим                                                                                                                                                             

                         MN²  = ab, MN =    

Ответ: