Урок по геометрии на тему "Решение задач на применение признаков подобия треугольников" (7 класс)

Конспект урока геометрии

Класс: 8

Тема: Решение задач на применение признаков подобия треугольников.

Цель: формирование у учащихся навыков применения признаков подобия при решении задач; совершенствовать навыки доказательства теорем.

Задачи:

Образовательные: повторить признаки подобия треугольников, отрабатывать навыки применения их при решении задач.

Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитывающие: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Оборудование: проектор, доска, мел.

Ход урока

1.     Организационный момент

- Здравствуйте! Будем знакомы, меня зовут Анастасия Владимировна. Рада вас всех видеть на уроке геометрии. Проверьте готовность к уроку.

2. Определение темы и цели урока

- Вспомним, какие новые понятия, утверждения, теоремы вы изучали на последних предыдущих уроках? (подобные треугольники, пропорциональные отрезки, коэффициент подобия, отношение площадей, признаки подобия треугольников)

- То есть вы уже готовы прямо сейчас решать контрольную работу по данной теме? (нет)

- Почему? (не до конца усвоена тема, мало решали задач на применения признаков подобия и т.д.)

- На ваших столах листочки. Дерево условно назовем темой «Подобные треугольники», отметьте на нем себя, где вы сейчас находитесь, на каком уровне освоили данную тему. (1 слайд)

- Значит, какую цель поставите перед собой на уроке? (тренировка, решать задачи, применение признаков подобия при решении задач и т.д.)

- Отлично, то есть сегодня на уроке мы будем применять признаки подобия при решении задач.

3. Актуализация знаний

3.1 Теоретический опрос

- Для решения задач нам понадобятся знание некоторых определений, изученных ранее. Вспомните их: (2 слайд)

- Какие треугольники называются подобными? (Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого).

- Определите сходственные стороны подобных треугольников, назовите их (3 слайд)

- Что такое коэффициент подобия? (число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия).

- Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников? (Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия).  

- Цель нашего урока предполагает решения задач на применение признаков подобия, нам необходимо знать эти признаки.

- Сколько признаков подобия существует? Вспомним и назовем все три признака (ответы детей).

- Это те теоретические знания, которые нам сегодня пригодятся при решении задач.

- Откройте тетради, запишите число, тему урока: Решение задач на применение признаков подобия треугольников. (4 слайд)

3.2 Решение задач на готовых чертежах

- Задание: решение задач по готовым чертежам. Чертежи представлены на слайде, пронумерованы, каждому чертежу соответствует задание. В тетради вы записываете только краткие ответы таким образом: 1) назвать подобные треугольники; 2) указать признак подобия; 3) найти неизвестные элементы.

- На решение каждой задачи отводится 2 минуты. Обращаю ваше внимание, на установление правильного соответствия между сторонами подобных треугольников. Приступаем к решению.

     Задания к чертежам                                Ответы:

После истечения времени проводится взаимопроверка. (5 слайд)

- Поменяйтесь тетрадями с соседом, проверяем правильность решения задач по соответствующему ключу. Ставим напротив задач «плюс» - за правильный ответ, «минус» - за неверное решение.

- Кто не допустил ни одной ошибки? Кто ошибся в 1й, 2й и т.д. задачах? Что вызвало затруднение?

 4. Решение задач

- Приступаем к решению более сложных задач.

Задача 1. Дан четырехугольник, по рисунку необходимо сформулировать задачу. Найти: BAD.

- Сформулируйте задачу. (6 слайд)

- Назовите, что дано. Что требуется найти.

- Начертите рисунок в тетрадь и запишите, что дано,  что требуется найти. 

                                      Дано: ABCD – четырехугольник,

                                                 АС – диагональ,

                                                ВС = 10, СD = 15, AD = 21,  AC = 14, АВ = ,

                                               В = 80º, D = 55º.

                                    Найти: BAD.

- Прочитайте, что у вас получилось.

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти?                                            BAD

- Что достаточно знать, чтобы

найти этот угол?                                            ВАС          САD

- Откуда мы найдем эти углы?                    ∆ АВС            ∆ ACD

- Если в треугольнике мы знаем один угол, что поможет нам найти другие углы? Для чего даны стороны?  (устанавливаем отношение между сторонами, покажем, что треугольники подобны)

                                                                           

- Чему равен коэффициент подобия?                                                                                  

- Что из этого следует?                                ∆ АВС  подобен    ∆ ACD

- По какому признаку?                                 (по 3 признаку)

- Что следует из подобия?                           равенство углов

- Какие углы сможем найти?                  ВАС          САD

- А зная их, найдем…                                        BAD

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ АВС и  ∆ ACD;

- доказательство подобия, через соотношение сторон;

- устанавливаем равенство соответствующих углов в подобных треугольниках;

- по свойству суммы углов треугольника находим углы ВАС и САD;

- находим угол BAD.

- Женя выходи к доске, оформляй решение этой задачи. Остальные у себя в тетрадях.

  Решение:

1.         =>    ;

2.   => ∆ АВС подобен ∆ ACD  (по 3 признаку);

3.   ∆ АВС подобен ∆ ACD  => BAC=CAD; BCA=CDA; ABC=ACD (по определению подобных треугольников); BCA=CDA=55º; ABC=ACD=80º;

4. из ∆ АВС: ABC=80º, BCA =55º  => BAC=45º; аналогично, из  ∆ ACD:  ACD=80º, CDA=55º => CAD=45º (по свойству суммы углов треугольника);

5. BAD=ВАС+САD=45º+45º=90º.

Ответ: BAD=90º.

Задача 2.  В параллелограмме ABCD AE – биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как . АЕ пересекает диагональ BD в точке К. Найти отношение . (7 слайд)

- Прочитайте задачу. Что дано в задаче?

- Что нужно найти?

- Давайте сделаем чертеж к задаче (один человек у доски работает Миша).

- Что такое биссектриса угла?

- Обозначим равные углы. Напишем дано, что надо найти.

                                                          Дано: ABCD – параллелограмм,

                                                                   AE – биссектриса,

           .

                                                         Найти: .

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти?                                           

- Откуда найдем отношение сторон?          ∆ ВКЕ  и  ∆DКА

- Что будем делать с треугольниками?       доказывать подобие

- Что для этого достаточно доказать?              BКЕ=DКА – как

                                                                             вертикальные

                                                                         ВЕА=ЕАD (EBD=BDA)   

                                                                              (как накрест лежащие при                                                                        прямых ВС и АD и секущей АЕ(ВD))

- По какому признаку установили подобие?               (по 1 признаку)

- Что следует из подобия?                          (пропорциональность сходственных

                                                                       сторон )

- Как связать сторону АВ с нашими подобными треугольниками?

                                          рассмотреть ∆АВЕ

- Каким является этот треугольник?          равнобедренным

                                                                 (углы при основании равны, АВ=ВЕ)

- Что следует из этого равенства?           ,      (т.к. ВС=АD)

- Что можно найти из равенства ?    (коэффициент подобия k=)

- Как найти ?                                        

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ ВКЕ  и  ∆ DКА;

- доказательство подобия, через равные углы при параллельных прямых и секущей;

- устанавливаем соотношение сходственных сторон  в подобных треугольниках;

- рассматриваем равнобедренный ∆АВЕ, устанавливаем равенство сторон;

- находим коэффициент подобия;

- выявляем отношение  .

 - Миша оформляет решение у доски, на обороте, остальные самостоятельно, потом сверяем.

Решение:  

1. BКЕ=DКА – как вертикальные; ВЕА=ЕАD (EBD=BDA) (как накрест лежащие при прямых ВС и АD и секущей АЕ(ВD))=> ∆ ВКЕ и ∆ DКА подобные (по 1 признаку);

2. ∆ ВКЕ и ∆ DКА подобные =>;

3. расм-м ∆АВЕ: ВЕА=ЕАD, ВАЕ=DАЕ (т.к. АЕ – биссектриса) => ∆АВЕ – равнобедренный;

4. ∆АВЕ – равнобедренный,  АВ=ВЕ => устанавливаем ;

5. ВС=АD (противоположные стороны в параллелограмме) => ;

6.    =>  коэффициент подобия k=;

7. , т.е. .

Ответ: .

- Попробуйте сформулировать свойство биссектрисы угла параллелограмма. Что она сделала с параллелограммом?

Свойство биссектрисы параллелограмма: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.  

- Запишите себе это свойство, вы им можете пользоваться и при решении других задач.

Задача 3. Дан треугольник АВС. Прямая MN параллельна стороне АВ, . Отрезок MN равен 20см. Найдите длину отрезка АС. (8 слайд)

- Прочитайте задачу. Сформулируйте, что дано, что нужно найти.

                                     

                                          Дано: ∆АВС, MN || AC, ,

                                                     MN= 20 см.

                                          Найти: АС.

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти?                                                     АС

- Что для этого достаточно рассмотреть?           ∆ АВС     ∆MBN

-  Какими являются эти треугольники?                   (подобные)

- Что для этого достаточно доказать?              BMN=ВАС (BNM=BCA)  

                                                                              (как накрест лежащие при                                                                        прямых MN и АС и секущей АВ(СВ))

- По какому признаку установили подобие?               (по 1 признаку)

- Что следует из подобия?                          (пропорциональность сходственных

                                                                       сторон  )

- Что мы найдем из соотношения ?       (коэффициент  пропорц-ти)

- По какой теореме?     (отношение площадей двух подобных треугольнико, равно квадрату коэффициента подобия)             

- Коэффициент подобия равен…                                   k=

- Что мы можем найти, зная коэффициент подобия?        

                                                                                                   

                                                                                                  MN – известно.

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ АВС  и   ∆MBN;

- доказательство подобия, через равные углы при параллельных прямых и секущей;

- устанавливаем соотношение сходственных сторон  в подобных треугольниках;

- зная отношение площадей подобных треугольников, находим коэффициент подобия;

- находим длину стороны АВ, зная коэффициент подобия и длину стороны MN .

- Ход решения понятен? Эту задачку мы записывать в тетрадь не будем.

4 Задача (дополнительно)

Краткое решение

5. Подведение итогов урока (рефлексия)

- Что нового для себя открыли на уроке?

- Какие трудности испытывали при решении задач?

- На что еще стоит обратить внимание на следующем уроке, для закрепления ваших знаний по данной теме?

- Определите свое место на дереве в конце урока. Поднимите руку, кто поднялся выше, кто отпустился, кто остался на месте?

- Самыми активными на уроке были…

6. Домашнее задание

Задание по карточкам.

- Получите домашнее задание. Всем большое спасибо за работу на уроке!

Краткое описание документа:

Конспект урока представлен с подробной методикой работы над задачами, связанными с "Признаками подобия треугольников". Учащиеся уже знакомы с такими понятиями как подобные треугольники, коэффициент подобия, подобие площадей и периметров, сходственные стороны, пропорциональные отрезки, знают формулировку трех признаков подобия треугольников; учащиеся умеют находить подобные треугольники, устанавливать, по какому признаку треугольники подобны, выявлять в подобных треугольниках сходственные стороны и равные углы. На данном уроке учащиеся ставят перед собой целью закрепить свои знания о подобии треугольников, отработать поиск решения задач, связанных с применением признаков подобия треугольников.