Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии на тему "Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника"

Урок по геометрии на тему "Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема урока: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Дидактические цели:

Обеспечить условия для:

- введения понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

- закрепления полученных знаний при решении прямоугольных треугольников, используя синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла.


Развивающие цели:

Обеспечить условия для:

-самостоятельного добывания знаний, осмысленного отношения к своей деятельности;

-самостоятельности мышления: выделять главное, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы;

-формирования культуры учебной деятельности;

-личностного саморазвития учащихся;

-развития критического мышления.


Воспитательные цели:

Обеспечить условия для:

-воспитания аккуратности;

-воспитания ответственного отношения к учению;

-воспитания культуры общения.

Оборудование: таблицы Брадиса, таблицы ( 1-4).



Структура урока:

  1. Организационный момент. (1 мин.)

  2. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению новых знаний. Анализ домашней лабораторной работы. (8-10 мин.)

  3. Постановка учебных задач. (3-4 мин.)

  4. Усвоение новых знаний, умений, навыков. (12-15 мин.)

  5. Первичное осмысление и закрепление изученного. (10 -12 мин.)

  6. Рефлексия. (2 мин.)

  7. Домашнее задание. (1-2 мин.)






Ход урока.

1.Организационный момент

Учитель: До сих пор мы не говорили о связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Тригонометрия слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю). В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Возникновение  тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.).

2. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению новых знаний. Анализ домашней лабораторной работы.

Дома учащиеся выполняли лабораторную работу, в которой им нужно было построить прямоугольные треугольники с гипотенузой 6,8,10 см и острым углом 40°. Найти отношения: 1 ряд- противолежащего катета к гипотенузе; 2 ряд- прилежащего катета к гипотенузе; 3 ряд- противолежащего катета к прилежащему. Сделать вывод о полученных результатах.

Проводится анализ лабораторной работы. Вопросы учащимся:

1.Чему равно отношение противолежащего катета к гипотенузе?

2. Чему равно отношение прилежащего катета к гипотенузе?

3. Чему равно отношение противолежащего катета к прилежащему?

4.Какой вывод вы сделали по результатам лабораторной работы?

3.Этап усвоения новых знаний, умений, навыков.

3.1.Введение понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.( Наука- тригонометрия)

hello_html_mdaa522c.jpg

1

АС- катет, прилежащий углу А.

ВС- катет, противолежащий углу А.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению

hello_html_3b7437e1.png

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. По определению

hello_html_540e78ac.png




Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

hello_html_m2b01d5eb.png

Образ: у синуса буква «и» меняется на букву «о», косинуса, буква «о» меняется на букву «и».

hello_html_m7511f417.png

  1. Задача.

Дан треугольник АВС, АВ=13, ВС=5. Найти синус, косинус, тангенс наименьшего острого угла.








2).Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5,см. Найдите синус, косинус, тангенс наименьшего острого угла. А сколько градусов этот угол?

3.2.Знакомство с таблицей В.М. Брадиса. Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса 40°. Прокомментировать связь значений, полученных в ходе лабораторной работы и данных в таблицах.



3.4.Применение изученных формул к решению треугольников.


hello_html_6db552c2.jpg

4

Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если А– острый угол прямоугольного треугольника , то

  • катет, противолежащий углу А, равен произведению гипотенузы на sin А;

  • катет, прилежащий к углу А, равен произведению гипотенузы на cos А;

  • катет, противолежащий углу А, равен произведению второго катета на tg А.

5. Первичное осмысление и закрепление изученного.

     Задача.

На вершину горы идет канатная дорога длиной 1,2 км, составляющая угол 60° с высотой горы. Чему равна высота горы? 
     Решение.

Обозначим длину канатной дороги через с, высоту горы через h, а угол между канатной дорогой и высотой горы через β (рис. 13). 
     Дано: с = 1,2 км, р = 60°. 
     Найти: h.
    
     Решение    
     hello_html_m710b64a8.jpg
    


Решение задач № 591( а, б), 592(а, в, д )

hello_html_m4b2144d1.jpg








hello_html_67dbaf37.jpg



















































6.Подведение итогов урока. Рефлексия.

Учитель. Все сказанное выше еще раз подтверждает,

Учитель. Сформулируйте вопросы, ответы на которые мы сегодня с вами нашли.

Ученики. Формулируют вопросы.

3. Вычисляя синус острого угла, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?


Учитель. Лучше запомнить , изученные формулы вам поможет стихотворение:

С тригонометрией сейчас

Знакомы даже звери.

Правила все говорят

Четко и уверенно.

И попросим мы зверят

Рассказать их для ребят.

Как мы косинус считаем,

Ты спроси медузу.

Делим прилежащий катет

На гипотенузу.

Синус вычислить сумеет

Зверь любой из лесной чащи:

На гипотенузу делит

Катет противолежащий.

Чтобы тангенс получить,

Нужно катеты делить.

Вы в числителе берете

Тот, что для угла напротив.

Тот, который прилежит,

В знаменателе пиши.

Если дробь перевернуть,

Это тоже верный путь!




7.Домашнее задание.

1.Для всех учащихся п.66, вопросы 15-17.

2.Для всех учащихся: № 591( в, г), № 592( б, г, е), №594

3.Всем научиться вычислять значения синуса, косинуса и тангенса с помощью таблиц Брадиса.( индивидуальные задания и образцы)


Лабораторная работа.

Нахождение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике.

Цель работы: определить зависимость отношения противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Оборудование. Линейка, циркуль, транспортир

Указание к работе.

1.Постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 40° и с гипотенузам, равными 6, 8, 10 см.

2.Измерьте длины катетов противолежащих углу 40° в построенных треугольниках.

3. Найдите отношения катетов противолежащих углу 40° к гипотенузам.

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Длина гипотенузы

Длина катета, противолежащего углу 40°

Отношение катета к гипотенузе

( округлить до сотых)

6см



8см



10см




5.Сделайте вывод.


Лабораторная работа.

Нахождение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике.

Цель работы: определить зависимость отношения противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Оборудование. Линейка, циркуль, транспортир

Указание к работе.

1.Постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 40° и с гипотенузам, равными 6, 8, 10 см.

2.Измерьте длины катетов противолежащих углу 40° в построенных треугольниках.

3. Найдите отношения катетов противолежащих углу 40° к гипотенузам.

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Длина гипотенузы

Длина катета, противолежащего углу 40°

Отношение катета к гипотенузе

( округлить до сотых)

6см



8см



10см




5.Сделайте вывод.






Лабораторная работа.

Нахождение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике.

Цель работы: определить зависимость отношения прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Оборудование. Линейка, циркуль, транспортир

Указание к работе.

1.Постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 40° и с гипотенузам, равными 6, 8, 10 см.

2.Измерьте длины катетов противолежащих углу 40° в построенных треугольниках.

3. Найдите отношения катетов прилежащих углу 40° к гипотенузам.

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Длина гипотенузы

Длина катета, прилежащего углу 40°

Отношение катета к гипотенузе

( округлить до сотых)

6см



8см



10см




5.Сделайте вывод.


Лабораторная работа.

Нахождение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике.

Цель работы: определить зависимость отношения прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Оборудование. Линейка, циркуль, транспортир

Указание к работе.

1.Постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 40° и с гипотенузам, равными 6, 8, 10 см.

2.Измерьте длины катетов противолежащих углу 40° в построенных треугольниках.

3. Найдите отношения катетов прилежащих углу 40° к гипотенузам.

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Длина гипотенузы

Длина катета, прилежащего углу 40°

Отношение катета к гипотенузе

( округлить до сотых)

6см



8см



10см




5.Сделайте вывод.






Лабораторная работа.

Нахождение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике.

Цель работы: определить зависимость отношения противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике.

Оборудование. Линейка, циркуль, транспортир

Указание к работе.

1.Постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 40° и с гипотенузам, равными 6, 8, 10 см.

2.Измерьте длины катетов противолежащих и прилежащих углу 40° в построенных треугольниках.

3. Найдите отношения катетов противолежащих углу 40° к прилежащим .

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Длина гипотенузы

Длина катета, противолежащего углу 40°

Длина катета, прилежащего углу 40°

Отношение катета

противолежащего углу 40°

к прилежащему

( округлить до сотых)

6см




8см




10см




5.Сделайте вывод.


Лабораторная работа.

Нахождение зависимости отношений сторон в прямоугольном треугольнике.

Цель работы: определить зависимость отношения противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике.

Оборудование. Линейка, циркуль, транспортир

Указание к работе.

1.Постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 40° и с гипотенузам, равными 6, 8, 10 см.

2.Измерьте длины катетов противолежащих и прилежащих углу 40° в построенных треугольниках.

3. Найдите отношения катетов противолежащих углу 40° к прилежащим .

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

Длина гипотенузы

Длина катета, противолежащего углу 40°

Длина катета, прилежащего углу 40°

Отношение катета

противолежащего углу 40°

к прилежащему

( округлить до сотых)

6см




8см




10см




5.Сделайте вывод.




hello_html_6db552c2.jpg

4



  • катет, противолежащий углу А, равен произведению гипотенузы на sin А;

  • катет, прилежащий к углу А, равен произведению гипотенузы на cos А;

  • катет, противолежащий углу А, равен произведению второго катета на tg А.


hello_html_6db552c2.jpg

4



  • катет, противолежащий углу А, равен произведению гипотенузы на sin А;

  • катет, прилежащий к углу А, равен произведению гипотенузы на cos А;

  • катет, противолежащий углу А, равен произведению второго катета на tg А.


hello_html_6db552c2.jpg

4


  • катет, противолежащий углу А, равен произведению гипотенузы на sin А;

  • катет, прилежащий к углу А, равен произведению гипотенузы на cos А;

  • катет, противолежащий углу А, равен произведению второго катета на tg А.


hello_html_6db552c2.jpg

4


  • катет, противолежащий углу А, равен произведению гипотенузы на sin А;

  • катет, прилежащий к углу А, равен произведению гипотенузы на cos А;

  • катет, противолежащий углу А, равен произведению второго катета на tg А.


Решение прямоугольных треугольников:hello_html_m8f35a79.png




Самоанализ урока.


Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.
Вводится понятие, определение, правила, алгоритмы решения задач.



Данный урок знакомит учащихся с новыми понятиями, принадлежащими одному из разделов математики-тригонометрии. Он способствует формированию понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.


Психолого-педагогическая характеристика класса:


В 8а классе обучается 17 человек. Развитие познавательных способностей учащихся соответствует возрастным особенностям. На «4» и «5» учатся 9 учащихся, что соответствует 53 %. Эти дети активны на уроках, у них достаточно высокая мотивация к учению. Есть в классе и дети, успевающие на «3». Таких ребят - 8 - 47 %. Они отличаются неустойчивым вниманием, не всегда могут ясно изложить свои мысли. Поэтому при планировании уроков учитываю индивидуальные и, прежде всего, возрастные особенности учащихся.

Одной из самых серьезных проблем подросткового возраста является неустойчивость внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.


Специфика данной темы курса геометрии 8 класса такова, что она направлена, прежде всего, на формирование навыков решения прямоугольных треугольников, так как они необходимы учащимся на уроках физики уже в самом начале 9 класса. Поэтому главной целью моей работы является не столько сообщение учащимся «суммы знаний», сколько выработка простых навыков в решении прямоугольных треугольников у всех учащихся.

Поэтому уроки носят личностно-ориентированный характер. Часто используются работа в группах, проведение микроисследований, лабораторных и практических работ.


Цели урока:


Дидактические цели:

Обеспечить условия для:

- введения понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

- закрепления полученных знаний при решении прямоугольных треугольников, используя синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла.


Развивающие цели:

Обеспечить условия для:

-самостоятельного добывания знаний, осмысленного отношения к своей деятельности;

-самостоятельности мышления: выделять главное, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы;

-формирования культуры учебной деятельности;

-личностного саморазвития учащихся;

-развития критического мышления.


Воспитательные цели:

Обеспечить условия для:

-воспитания аккуратности;

-воспитания ответственного отношения к учению;

-воспитания культуры общения.

Содержание урока, формы и методы обучения:

На уроках геометрии я применяю элементы одной из самых эффективных, на мой взгляд, технологий личностно-ориентированного обучения – «технологии развития критического мышления» (далее РКМ). Она соответствует приоритетам современной жизни: не простое знание фактов, не умения как таковые, а способность пользоваться приобретёнными знаниями; не объём информации, а умение получать её и моделировать.

Опыт применения технологии РКМ у меня пока небольшой и составляет всего 2 года, но все-таки некоторые результаты уже есть.

В структуре данного урока, основанной на РКМ, можно выделить 3 стадии:

І стадия “вызов”

ІІ стадия “осмысление содержания”

ІІІ стадия “рефлексия”


  • На стадии “вызова” деятельность учителя направлена на вызов у учащихся уже имеющихся знаний по изучаемой теме, активизацию их деятельности, мотивацию к дальнейшей работе. Ученики при этом “вспоминают”, что им известно о элементах прям треуг, систематизируют информацию до изучения нового материала. Ученик понимает новый материал, если в его сознании известные и новые предметы могут быть соединены с помощью известных связей.

Системное понимание.

  • Изучаемая система понятий и действий- не изолированное образование, ее истинное значение раскрывается только после того, как определено место в общей подсистеме понятий и действий, описывающих изучаемую предметную область.


На данном уроке, на стадии вызова применяется прием использования результатов лабораторной работы.

Стадия «вызова» завершается для учащихся и учителя совместной формулировкой темы, постановкой цели урока.

Успешная реализация стадии «вызова» является стимулом для работы учащихся на следующем этапе – получения новой информации.


  • На стадии осмысления содержания ученики вступают в контакт с новой информацией. Этому способствует диалог с учителем, в процессе которого учащиеся осуществляют контакт с новой информацией, пытаются сопоставить её с уже имеющимися знаниями и опытом, акцентируют своё внимание на поиске ответов на поставленные вопросы. Наиболее эффективной на данном этапе является групповая форма организации познавательной деятельности.

Закрепление усвоенной информации в долговременной памяти происходит успешно если понятия хранятся упорядоченно и систематизированно, на основе смысловой группировки.

Параллельно на данном этапе идет и расширение знаний учащихся. В процессе диалога они знакомятся с новыми соотношениями( основное тригоном тождество).

Еще один прием, который используется на данном этапе это создание образа. Этот вид таблицы помогает запомнить новые понятия.



На этапе рефлексии та информация, которая была новой, становится присвоенной, превращается в собственное знание. Рефлексия направлена на прояснение нового материала, т.е. проверку его усвоения.

Этап рефлексии завершается проверкой приобретенных на уроке знаний с помощью небольшого теста.

В конце урока учащихся оценивает учитель, а также они производят самооценку. Это дает возможность учителю увидеть отношение детей к данному уроку, их настроение.

Последний этап – домашнее задание.

ВЫВОД: Применение технологии развития критического мышления в структуре данного урока позволило реализовать поставленные цели урока.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров327
Номер материала ДВ-387071
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх