РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
(по материалам ЕГЭ)
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
описанной вокруг основания окружности равен , а
высота пирамиды равна 4.
Решение.
.
1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
3) вычислим объём пирамиды
.
Ответ. 9
Задача №2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
вписанной в основание окружности равен , а
боковые ребра пирамиды равны 6.
Решение.
1) радиус вписанной в
правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого
треугольника окружности, т.е. , тогда .
2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
4) из прямоугольного треугольника по
теореме Пифагора находим высоту пирамиды: , .
5) вычислим объём пирамиды
.
Ответ. 18.
Задача №3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1.
Решение.
1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
2) найдем периметр основания Р = 3·а,
Р = 9.
3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше
радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .
4) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим
апофему МР: ,
МР =
5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
,.
Ответ. .
Задача №4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания
которой равна 6, а апофема пирамиды равна .
Решение. ,
1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание
окружностей: , то
есть .
2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора
находим высоту: , МО = .
4) вычислим объём правильной пирамиды: = .
Ответ. 18.
Задача №5. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус
вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна .
Решение.
1) радиус вписанной в
правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого
треугольника окружности, т.е. , тогда .
2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .
4) вычислим объём правильной пирамиды: = .
Ответ. 36.
Задача №6. Вычислите площадь боковой поверхности
правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус
окружности, описанной вокруг основания равен 3.
Решение.
1) найдем сторону
основания по формуле , т.е. .
2) найдем периметр
основания: Р = 4а,
Р = 24.
3) из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему МР:
,DP =
тогда: МР = .
4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: = .
Ответ. 48.
Задача №7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности
равна 16, а площадь основания 4. Найдите высоту
пирамиды.
Решение.
1) найдем сторону основания: так как в основании пирамиды квадрат с
площадью равной 4, то сторона квадрата равна 2, а его периметр 8.
2) по условию = 16 т.е.
.
3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора
находим высоту: , учитывая, что ОР = = 1, получаем: МО = .
Ответ. .
Задача №8. Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если
сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.
Решение.
1) сторона основания
правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности т.е. ,
2) площадь
правильного шестиугольника найдем по формуле или = 24.
3) из прямоугольного
треугольника МОВ найдем высоту МО: .
4) вычисляем объём
пирамиды: =.
Ответ. 24.
Задача №9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона
основания равна 2, а боковое ребро равно 2. Найдите объём пирамиды.
Решение.
1) найдем площадь правильного шестиугольника по формуле или = 12.
2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая,
что в правильном шестиугольнике : .
3) вычисляем объём
пирамиды: =.
Ответ: 24.
Задача № 10. Около правильной треугольной призмы описан
цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R
удовлетворяет уравнению R2 + R – 6
= 0. Найдите объём призмы.
Решение.V = S · H
1) так как призма
вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы
вписано в основание цилиндра, Н = 5.
2) по условию R
удовлетворяет уравнению R2 + R – 6
= 0, решая которое находим
R1 = - 3, R2 = 2, так как радиус величина положительная то -3 не удовлетворяет
условию задачи.
3) найдем сторону
вписанного правильного треугольника по формуле , .
4) найдем площадь
основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =
5) вычислим объём призмы: V = S · H = .
Ответ. 15.
Задача №11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между
осью цилиндра и стороной основания призмы равно .
Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.
Решение. V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте
цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, по условию Н =3R..
2) Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно
радиусу вписанной в треугольник АВС окружности, т.е. , и по условию равно .
3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше
радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .
4) найдем сторону
вписанного правильного треугольника по формуле , .
5) найдем площадь
основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =
6) вычислим объём
призмы: V = S · H =S·3·R
= 162.
Ответ. 162.
Задача №12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой
поверхности цилиндра равна 16 p. Найдите
объём призмы, если сторона её основания равна 5.
Решение.
V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте
цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.
2) Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного
треугольника: =.
3) Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле , тогда .
4) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 16·p т.е., откуда Н = = .
5) Вычислим объём призмы: V = S · H =·= 30.
Ответ. 30.
Задача №13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь
боковой поверхности которого равна 20p.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение.
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте
цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.
2) По условию площадь
боковой поверхности цилиндра равна 20p,
т.е. , .
3) так как призма
правильная, то в её основании лежит квадрат, со стороной , тогда периметр основания равен .
4) вычислим площадь
боковой поверхности призмы = .
Ответ. .
Задача №14. В правильную четырехугольную призму вписан
цилиндр. Объем цилиндра равен 16 , а радиус окружности,
описанной вокруг основания призмы, равен .
Найдите диагональ призмы.
Решение.
1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а
основание цилиндра вписано в основание призмы.
2) Так как радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен =, то
сторона квадрата равна
а радиус цилиндра равен, радиусу вписанной в квадрат окружности и
равен:
3) По условию объём цилиндра равен 16, т.е. , = 4.
4) Из прямоугольного треугольника АСА1 находим
диагональ А1С :
А1С =.
Ответ. 8.
Задача №15. В правильную шестиугольную призму вписан
цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54 , а радиус цилиндра равен 3.
Решение.
1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте
цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.
2) по условию радиус цилиндра равен
3, тогда , .
3) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около
него окружности, т.е. .
4) по условию площадь призмы равна 54 , т.е.
Pосн.·Н + 2 Sосн=54.
5) найдем периметр основания и его площадь: Р = 6·а = 6 ·2=12.
Sосн = .
6) подставим полученные значения в формулу Pосн.·Н + 2 Sосн=54 и получим Н = (54 – 36 ): 12 =1,5.
Ответ. 1,5.
Задача № 16. Около правильной шестиугольной призмы описан
цилиндр. Объём цилиндра равен 16 p, высота
цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.
Решение.
V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте
цилиндра, т.е. Н = 4.
2) по условию , т.е.
,R = 2.
3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной
около него окружности, то а = 2.
4) Найдем площадь основания призмы по формуле:=6.
5) вычислим объём призмы: .
Ответ. 24.
Задача №17. Около правильной шестиугольной призмы описан
цилиндр. Объём цилиндра равен 10 p. Найдите
объём цилиндра, вписанного в эту же призму.
Решение.
V = S · H
1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте
цилиндра.
2) по условию , т.е.
.
3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной
около него окружности, то R = а.
4) выразим радиус основания вписанного цилиндра через
радиус описанного цилиндра: .
5) запишем формулу
вычисления объёма вписанного в призму цилиндра: V = S · H, т.е.:
V = =p·.
Ответ. 7,5p.
Задача №18. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр. Объём
цилиндра равен 24p. Найдите радиус цилиндра, если диагональ
боковой грани призмы равна 5.
Решение.
1) Так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, и радиус
описанной окружности равен половине диагонали АС,
или , где а – сторона квадрата.
2) по условию , т.е. =
24p, или , или
3) из прямоугольного треугольника DCC1 найдем СС1 = Н по
теореме Пифагора:
Н =.
4) приравняем значения для Н: ,
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.