Урок по геометрии в 10 классе "Перпендикулярность прямой и плоскости"

                                                  Урок по геометрии в 10 кл.

Учителя МБОУ СОШ №3 ст. Фастовецкой Тихорецкого района  Краснодарского края   

 Букирёвой Натальи Викторовны по учебнику «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасяна.

           «Перпендикулярность прямой и плоскости»    

        ЦЕЛЬ:

 1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

 2) вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению

типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

ПЛАН:

I  Теоретический опрос. (15 мин.)

1.Доказательство изученных теорем у доски.

2.Фронтальный опрос.

3.Презентации учащихся по данной теме.

II. Решение задач. (23 мин.)

1.Решение устных задач по готовым чертежам.

2.Решение письменных задач (по группам).

3.Самостоятельная работа с индивидуальным заданием.

III. Итог урока. Задание на дом. (2мин.)

ХОД УРОКА:

I.      Теоретический опрос     (4 ученика у доски)

1.Доказательство изученных теорем у доски.

  1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;

  2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых  перпендикулярна к плоскости;

  3) доказать обратную теорему о параллельности  2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;

  4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости. 

2.Фронтальный опрос.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос:

(С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы, и ученики отвечают на них) <Приложение-1>.

    1. Закончить предложение:  

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…

                         (угол между ними равен 90)  

б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…

                        (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)

в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…

                        (параллельны - формулировка теоремы)

г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…

                        (перпендикулярна и к другой прямой, т.к прямые параллельны и одна из них перпендикулярна к плоскости – формулировка теоремы )

      2. Дан параллелепипед        

а) Назовите и обоснуйте почему.

   1) рёбра, перпендикулярные к плоскости  

                        (ответ: AD;;; BC – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)  

   2) плоскости, перпендикулярные ребру  

                        (ответ: (АВС); () ,т. к. ВВа АВ,то (АВС), аналогично, ( )  - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

б) Определите взаимное расположение 

    1) прямой  и плоскости (DСВ)  

                      (ответ: они перпендикулярны, т.к.,а ВС,то СС- по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)  

   2) прямой  и плоскости (DCB)

                      (ответ: они параллельны, т. к. ||DC, a DC, то ||(DCB) – по    

 признаку параллельности прямой и плоскости )  

    Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости.

3.Презентации учащихся по данной теме.

Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом учеников в качестве зачётных работ. (Накануне изучения каждой темы учащимся предлагается такой вариант зачёта).<Приложение-2>,<Приложение-3>,< Приложение-4>.

II. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам  (Устно)

  №1. 

   Дано: ,         

  Доказать:  

  Доказательство: Т.к. ,т.е. АМ и АВ

лежат в плоскости (АМВ), то  по

признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

  №2.

  Дано: ВМDC-прямоугольник,  

                                                                                        

  Доказать:

 Доказательство:                           

, т.к. ВМDC – прямоугольник,

  по условию, , т.е.

 ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) 

 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

 СD || МВ по свойству  сторон прямоугольника   по теореме о двух 

параллельных прямых, одна из которых  перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости) Ч.т.д.

№3.

 

Дано: АВСD – прямоугольник,      ,       

Доказать:  

Доказательство:  

1) , т.к. АВСD – прямоугольник, .  по условию,, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ)   по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2)  (по свойству сторон прямоугольника) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых  перпендикулярна  плоскости (то и другая прямая  к этой плоскости) 

3) Т.к.  по определению прямой, перпендикулярной плоскости. Ч.т.д.

 №4.                                                         

                                                                                 

Дано: АВСD – параллелограмм. , МВ=МD,

         МА=МС.

Доказать:          

Доказательство:    1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО=СО и ВО= DO. - равнобедренный, т. к. ВМ=МD по условию, значит  МО- медиана и высота, т.е. .

 2) Аналогично  доказывается: в . 

 3) Итак, , а ВD и АС – пересекающиеся  прямые, лежащиеся в плоскости (АВС)  МО(АВС) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем.)

2. Решение письменных задач.

Класс делится на два варианта, и каждому варианту даётся задача с последующей проверкой решения у доски.  

№1.2  (№125 учебника)

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости  и пересекающие её соответственно в точках   и  . Найдите , если PQ=15 cм; 

; .

                                                                               Решение:    

                                                                                                                                                                                                     1.  и  по условию   

(если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны)

2.  определяют некоторую плоскость , 

 

3. - трапеция с основаниями ,

проведём  

4. QK=33,5-21,5=12(см)  

                      Ответ:  

                        Рис.7  

№2.2 

  Отрезок МН пересекает плоскость  в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости . НР=4см; МЕ=12см; НК=5см. Найдите отрезок РЕ.

Решение:

1. Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости ,

то МЕ || НР (если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны) и через них проходит некоторая плоскость ;     

2. ;  (т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости , то они перпендикулярны к любой прямой, лежащей в этой плоскости) т.е.   

3. :   

4. (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН), тогда подобен  по двум углам  и  , т.е.  ЕК=,  

  РЕ = РК+КЕ,  

  РЕ = 3 + 9 = 12(см)                             Ответ: РЕ = 12 см.

3. Самостоятельная работа  (направлена на проверку усвоения материала по данной теме).

Вариант-I	Вариант-II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые  и , не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что . Найдите , если	Через вершины А и В ромба АВСD  проведены параллельные прямые  и , не лежащие в плоскости ромба. Известно, что  Найдите
Решение: 1.    (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости),                                                                       а  т.к.,то. 2. . По теореме Пифагора: . 3. - прямоугольный. По теореме Пифагора . Ответ: 15 см.	Решение: 1.   - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к.  2. Используя свойство диагоналей ромба, имеем  в : . По теореме Пифагора ,   3.- прямоугольный. По теореме Пифагора . Ответ: 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант-III)

  Дано:    (Приложение 1)

 АВ=АС=ВС; ; АМ=МВ; 

   DМ=15 дм; СD=12 дм.       

Найти:         

Решение:

1.    Т.к.     и

, т.е. - прямоугольные.    

2.    (по двум катетам)  АD=ВD, т.е.

- равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота;

3. - прямоугольный, тогда

 

4. - равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. - прямоугольный,  тогда , а АВ=ВС (по условию).

5.  ;  .

 Ответ: . 

III.           Итоги урока.

Итак, сегодня на уроке мы повторили вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости», учились применять полученные знания по этой теме к решению задач на доказательство и на нахождение неизвестных элементов пространственных фигур.

Все хорошо поработали, спасибо за урок.

Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной  теме, глава II,  №130,  №131.

 №130

Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что МВА=МВС=90;

 МВ=т, АВ=п. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и ВD.

№131

В тетраэдре АВСD точка М – середина ребра ВС, АВ=АС, DB=DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.

Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов

Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.

Краткое описание документа:

Урок по геометрии в 10 классе по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости» ориентирован на закрепление материала, изученного на предыдущих уроках. Представлены зачётные работы учеников в форме презентации по данной теме. Рассмотрены типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости с целью формирования у учащихся навыков применения теоретического материала к решению задач на доказательство и на нахождение неизвестных элементов пространственных фигур.