Урок по геометрии в 9 классе "Соотношения между сторонами и углами треугольника"

Урок по геометрии  в 9 классе «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

I.            Познавательные цели:

 Изучить теорему Стюарта, а также формулу площади выпуклого четырехугольника. Совершенствовать навыки решения задач на применение различных теорем, свойств, следствий по данной теме, устранить пробелы в знаниях, проверить умения и знания обучающихся, в ходе тестирования.

II.         Развивающие цели:

Развивать аналитическое, логическое мышления, развивать память и сообразительность.

III.   Воспитательные цели:

 Формирование увлеченности, активности, самостоятельности, аккуратности, смелости, уверенности. Воспитание культуры речи и познавательного интереса к учебному предмету.

Оборудование: Интерактивная доска, инструменты, компьютер ,проектор.

Ход урока.

I.                   Организационный момент.

Сегодня у нас завершающий урок по теме: «Соотношения в треугольнике», поэтому в начале урока вспомним все теоремы, замечания, следствия по данной теме.

1)    Теорема синусов. (замечание)

Ответ: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

а/ sin A = в/ sin B = c/ sin C = 2R

2)    Теорема косинусов

Ответ: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

                               а² = в² +с² – 2авcosA

3)    Как выражается квадрат медианы АМ треугольника ∆АВС       

Ответ: АМ²= АВ² / 2 + АС² / 2 - ВС²/ 4

4)    Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма.

Ответ: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

                                 d₁² + d₂² = 2a²+2в²

5) Площадь треугольника (новые формулы)

 1) S_∆=1/2 ав sinC

2) S_∆= авс/4R

3) S_∆= 2R² sinA sinB sinC

4) S_∆= 1/2pr

II. Изучение новой темы

Теорема Стюарта.

Если точка Д лежит на стороне ВС ∆АВС, то

АД²=АС² * (ВД/ВС)+АВ² * (ДС/ВС) – ВД* СД

Справка  Метью Стюарт (1717 – 1785)

Эта теорема была сообщена шотландскому математику М.Стюарту его учителем Р.Симсоном, однако ученик сумел опубликовать её в 1746 году, на 3 года раньше своего учителя

                             А

   В С

                                               Д

Докозательство

По теореме косинусов имеем:

АС²=АД²+ДС² – 2АД*ДС cosАД^{^}С           | x ВД

АВ²СД=АД²СД+ВД² – 2АД*ВДcosАД^{^}В | х СД

АС²ВД=АД²ВД+ДС²ВД – 2АД*ДС*ВД cosАД^{^}С

АВ²СД=АД²СД+ВД²СД – 2АД*СД*ВС cos АД^{^}В

Так как, углы смежные, то

cos АДС =cos (180-ADB)= - cos ADB

AC²ВД+АВ²СД=АД²ВС+ДС*ВД*ВС:ВС

Теорема доказана.

ЗАДАЧА

В                                               С

Дано:

АВСД-параллелограмм состоронами:

4 и 6 см,

           О                                                                          АС – диагональ = 8см.

Найти: ВД

А                                                 Д

Решение.

ДО²= 6²*4/8+4²*4/8-4*4=36З1/2+16*1/2-16=18+8-16=10

ДО=√10;   ВД=2√10 (см)

ТЕОРЕМА.  Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Дано:

АВСД – выпуклый четырехугольник,

АС и ВD- диагонали,

α – угол между ними.

Доказать:

S_ABCD= 1/2 AС*BD sinα.

Доказательство.

Опишем около ABCD параллелограмм KLMN так, что KN // BD // LM;

                                                                                         KL // AC // MN.

S_KLMN=KNKLsin^K=BD*AC sinα

  S_∆BCD=1/2 S_BDML

+

  S_∆BAD= ½ S_BDNK

 

S_ABCD=1/2 S_KLMN= 1/2 BDAC sinα.

ЗАДАЧА

Дано:

АВСD- выпуклый четырехугольник

                                                                          АС и ВD – диагонали

                                                                     АС _|_ ВD

Доказать:

S_ABCD=1/2 ACBD.

Решение.

S_ABCD=1/2 AC*BD* sinα

S_ABCD=1/2 AC*BD* sin 90°= 1/2 AC*BD.

Sin 90°=1
                    С

ЗАДАЧА

 

Дано:

  Х                                                 Х                    Основание АВ равнобедренного

В₁                                             А₁                                          ∆АВС равно 4 см.

Медианы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в           О                                              точке О.

60^о                                                                                   Найти: АА₁, если ^ В₁ОА=60°

 

            60^о       60^о                              

А                           С                       В

Решение.

1)          cos30^o=√3/2

cos30^o=AC₁/AO

AO=2/(√3/2)=4√3/3

АА₁=4√3/3:2*3=2√3 (см)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

ВОПРОС Что еще можно найти в данной задаче?

1)    Стороны АС и ВС, Р_∆АВС

АА₁²=Х²/2+АВ²/2-х²/4

(2√3)² – 4²/2=х²/4;

12 – 8=х²/4

4=х²/4

Х²=16

Х=4

Следовательно, ∆АВС – равносторонний

Р=4*3=12 (см)

2)    S_∆АВС

S_∆АВС=1/2СВsinA

S_∆АВС=1/2*4*4sin60^o=1/2*16*√3/2=4√3 (см²)

3)    R – описанной окружности

S=авс/4R,

R=4√3/3 (см)

АО=R=4√3/3 см

а/sinA=2R

R=a/2sinA=4/(2*√3/2)=4√3/3 (см)

4)    r – вписанной окружности

S=1/2Pr

r=2S/p=2√3/3

III.           Тестирование на компьютере.

IV.            Домашнее задание.№1034, 1035.