Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по геометрии в 9 классе "Соотношения между сторонами и углами треугольника"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по геометрии в 9 классе "Соотношения между сторонами и углами треугольника"

библиотека
материалов

Урок по геометрии в 9 классе «Соотношения между сторонами и углами треугольника»



  1. Познавательные цели:

Изучить теорему Стюарта, а также формулу площади выпуклого четырехугольника. Совершенствовать навыки решения задач на применение различных теорем, свойств, следствий по данной теме, устранить пробелы в знаниях, проверить умения и знания обучающихся, в ходе тестирования.

  1. Развивающие цели:

Развивать аналитическое, логическое мышления, развивать память и сообразительность.

III. Воспитательные цели:

Формирование увлеченности, активности, самостоятельности, аккуратности, смелости, уверенности. Воспитание культуры речи и познавательного интереса к учебному предмету.

Оборудование: Интерактивная доска, инструменты, компьютер ,проектор.


Ход урока.

  1. Организационный момент.

Сегодня у нас завершающий урок по теме: «Соотношения в треугольнике», поэтому в начале урока вспомним все теоремы, замечания, следствия по данной теме.

  1. Теорема синусов. (замечание)

Ответ: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

а/ sin A = в/ sin B = c/ sin C = 2R

  1. Теорема косинусов

Ответ: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

а2 = в22 – 2авcosA

  1. Как выражается квадрат медианы АМ треугольника АВС

Ответ: АМ2= АВ2 / 2 + АС2 / 2 - ВС2/ 4

  1. Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма.

Ответ: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

d12 + d22 = 2a2+2в2

5) Площадь треугольника (новые формулы)

1) S=1/2 ав sinC

2) S= авс/4R

3) S= 2R2 sinA sinB sinC

4) S= 1/2pr

II. Изучение новой темы

Теорема Стюарта.

Если точка Д лежит на стороне ВС АВС, то

АД2=АС2 * (ВД/ВС)+АВ2 * (ДС/ВС) – ВД* СД

Справка Метью Стюарт (1717 – 1785)

Эта теорема была сообщена шотландскому математику М.Стюарту его учителем Р.Симсоном, однако ученик сумел опубликовать её в 1746 году, на 3 года раньше своего учителя








А

В hello_html_m639d7a0e.gifС

Д

Докозательство

По теореме косинусов имеем:

АС2=АД2+ДС2 – 2АД*ДС cosАД^С | x ВД

АВ2СД=АД2СД+ВД2 – 2АД*ВДcosАД^В | х СД


АС2ВД=АД2ВД+ДС2ВД – 2АД*ДС*ВД cosАД^С

АВ2СД=АД2СД+ВД2СД – 2АД*СД*ВС cos АД^В

Так как, углы смежные, то

cos АДС =cos (180-ADB)= - cos ADB

AC2ВД+АВ2СД=АД2ВС+ДС*ВД*ВС:ВС

Теорема доказана.


ЗАДАЧА

Вhello_html_m5de63e5e.gifhello_html_1e07ef0a.gifhello_html_m1bec471.gif С

Дано:

АВСД-параллелограмм состоронами:

4 и 6 см,

О АС – диагональ = 8см.

Найти: ВД


А Д


Решение.

ДО2= 62*4/8+42*4/8-4*4=36З1/2+16*1/2-16=18+8-16=10

ДО=√10; ВД=2√10 (см)



ТЕОРЕМА. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.




hello_html_m1fc8da54.png



Дано:

АВСД – выпуклый четырехугольник,

АС и ВD- диагонали,

α – угол между ними.


Доказать:


SABCD= 1/2 AС*BD sinα.


Доказательство.

Опишем около ABCD параллелограмм KLMN так, что KN // BD // LM;

KL // AC // MN.

SKLMN=KNKLsin^K=BD*AC sinα


SBCD=1/2 SBDML

+

S∆BAD= ½ SBDNK

hello_html_m3ded7190.gif

SABCD=1/2 SKLMN= 1/2 BDAC sinα.




ЗАДАЧА


Дано:

АВСD- выпуклый четырехугольник

АС и ВD – диагонали

АС _|_ ВD

hello_html_361c59aa.png

Доказать:

SABCD=1/2 ACBD.


Решение.

SABCD=1/2 AC*BD* sinα

SABCD=1/2 AC*BD* sin 90°= 1/2 AC*BD.

Sin 90°=1
С

hello_html_m3d217ccf.gifhello_html_2d2985a9.gif

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_4c0752a7.gifhello_html_54e8ba47.gif

ЗАДАЧА

hello_html_2d2985a9.gif

Дано:

hello_html_m5ee0d1.gifХ Х Основание АВ равнобедренного

В1 А1 АВС равно 4 см.

Мhello_html_m7b8e79d7.gifhello_html_32856872.gifhello_html_m4eb08dc8.gifедианы АА1 и ВВ1 пересекаются в О точке О.

60о hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_46924183.gif Найти: АА1, если ^ В1ОА=60°

hello_html_m1119b404.gif

60о 60оhello_html_2d2985a9.gif

hello_html_6fcde119.gif

А С В



Решение.

    1. cos30o=√3/2

cos30o=AC1/AO

AO=2/(√3/2)=4√3/3

АА1=4√3/3:2*3=2√3 (см)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

ВОПРОС Что еще можно найти в данной задаче?

  1. Стороны АС и ВС, РАВС

АА122/2+АВ2/2-х2/4

(2√3)2 – 42/2=х2/4;

12 – 8=х2/4

4=х2/4

Х2=16

Х=4

Следовательно, АВС – равносторонний

Р=4*3=12 (см)


  1. SАВС

SАВС=1/2СВsinA

SАВС=1/2*4*4sin60o=1/2*16*3/2=43 (см2)


  1. R – описанной окружности

S=авс/4R,

R=43/3 (см)

АО=R=43/3 см

а/sinA=2R

R=a/2sinA=4/(2*3/2)=43/3 (см)


  1. r – вписанной окружности

S=1/2Pr

r=2S/p=23/3



  1. Тестирование на компьютере.

  2. Домашнее задание.№1034, 1035.




Автор
Дата добавления 28.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров191
Номер материала ДВ-204501
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх