Кейс «Системы
логических уравнений: решение с помощью битовых цепочек»
Предмет: Информатика и ИКТ
Класс: 10 кл физико-информационный профиль (а также 11кл при подготовке к
ЕГЭ).
Время занятия: 2 урока
Вид кейса: обучающий
Тип кейса: аналитический
Тема урока: Решение Систем логических уравнений с помощью битовых цепочек.
Цель: Выработка умений и навыков аналитической деятельности при решении
логических уравнений. Выработка умений и навыков обучающихся к работе со
специальным набором учебно-методических материалов (кейсом) по решению
логических задач и максимально активизировать каждого обучающегося в
самостоятельную работу по решению кейса.
Задачи:
- обобщить знания о преобразовании логических выражений;
- освоить новый
метод решений систем логических уравнений;
- развивать
инициативу, любознательность, умственную активность;
- формировать
коммуникативные навыки, умения вырабатывать и аргументировать самостоятельные
решения, навыки сотрудничества в группах.
Оборудование: набор учебно-методических материалов (кейс) для самостоятельной
работы, компьютеры подключенные к Интернету и локальной сети, мультимедиа
проектор, интерактивная доска.
И- Идентификация проблемы:
Во время проведения ЕГЭ-2011 в контрольно-измерительных материалах (КИМ)
впервые появилась задача, в которой требовалось найти количество решений системы
логических уравнений. Автором этой интересной и сложной задачи, давшей начало целому
классу задач, был Сергей Федорович Сопрунов, известный, в частности, своими методическими
материалами по преподаванию языка Лого. Ему же в основном принадлежат идеи, на которых
основаны приводимые далее решения.
При первом знакомстве с задачей состояние учеников (и учителей!) было близко
к шоковому, об этом говорит и крайне низкий процент выполнения этого задания на
ЕГЭ- 2011 — 3,2% (значительно меньше, чем для самой сложной задачи по программированию,
С4). В прошедшие годы (2012–2014) эта задача прочно обосновалась в КИМ, не смотря
на многочисленные претензии учителей информатики. В первую очередь это связано с
тем, что она действительно оказалась сложной. Многие педагоги, в том числе и в известных
на всю страну физико-математических школах, открыто рекомендуют своим ученикам не
решать эту задачу вообще или решать ее в последнюю очередь, когда все остальное
решено и осталось свободное время. В то же время, как показал опыт, задача является
хорошим ориентиром при изучении логики и позволяет сильным ученикам проявить себя
при сдаче ЕГЭ.
Учителями информатики было предложено несколько методов решения систем логических
уравнений, большинство из которых сводилось к последовательному подключению уравнений:
сначала вычисляется количество решений первого уравнения, потом — системы из первых
двух уравнений и т.д. К сожалению, все решения этого типа получаются достаточно
громоздкими [4–7]. Тем не менее процент выполнения этого задания уже через год повысился
до 13,2% [8]. К сожалению, аналитические отчеты Федеральной комиссии за 2013 и
2014 годы не публиковались, поэтому отследить дальнейшее развитие ситуации по официальным
источникам невозможно.
Д - Вопросы для обсуждения:
- Актуальна ли эта
проблема для вас?
- Какова причина
данной ситуации?
- Как собираетесь
выходить из данной ситуации?
- Удовлетворяют ли
вас известные вам методы решения систем логических уравнений?
- Как вы считаете
есть ли альтернативные методы решения данных задач?
Е – Есть
варианты решения:
Решение — битовый вектор.
Учитель сообщает тему урока и дает комментарии об объеме работ,
формулирование вместе с учащимися цели и задач урока, ознакомление с критериями
оценок и прогнозируемого результата, объяснение порядка работы с кейсом. (Так
как работа рассчитана на 2 урока учащиеся заранее к первому уроку знакомятся с
частью материала кейса – повторение ранее изученного материала: логические
операции, законы логики, методы преобразования логических выражений) Основные
материалы кейса обучающиеся получают непосредственно на занятии и работают с
ним, также знакомятся с рекомендованной учителем дополнительной литературой,
часть заданий по работе с кейсом выполняется дома индивидуально каждым. Ознакомление
обучающихся с заданием кейса в бумажном и электронном виде (в школьных
компьютерах через локальную сеть и Дневник.ru дома).
Первый этап дискуссии - организация дискуссии
в подгруппах:
- обсуждение
решения по заданию кейса, поиск аргументов и решений (обучающийся,
познакомившись с заданием, самостоятельно анализирует ситуацию, представляют
свои решения в дискуссии с другими членами подгруппы);
- выбор лучшего
решения в рамках подгруппы и организация презентаций решений в подгруппах.
Второй этап дискуссии (второй урок –организация
общей дискуссии в классе для принятия окончательных решений:
- выступления
подгрупп, каждая группа предлагает свою версию выполненного задания (публичная,
устная презентация решений);
- участие в
обсуждении обучающихся других подгрупп;
- участие в
обсуждении учителя.
Итоговая стадия работы над кейсом -
заключительная презентация результатов решения задания (сравнение нескольких
вариантов решения). Затем идет обобщающее выступление учителя - анализ
ситуаций и оценивание работы каждой подгруппы учителем.
Задание:
Применяя ранее полученные знания и новую информацию (материалы кейса)
освоить альтернативный метод решения характерных типов задач с системами логических
уравнений, затрачивая минимум усилий и используя максимум знаний?
А – А теперь за
работу!
Учитель предъявляет кейс, проясняет смыслы представленных в нем
заданий. Учащиеся разбиваются на мини группы, знакомятся с представленной
информацией. Учатся применять имеющиеся знания по пройденному теоретическому
материалу (алгебра логики) для решения логических систем уравнений. Делают
умозаключения (индуктивное и по аналогии) и выводы по решению данного типа
задач на основе аргументации.
Решение — битовый вектор
Пусть задана некоторая система логических (часто говорят — булевых) уравнений
от переменных x1 x2,…, xN вида
F1(x1, x2, ,
xN )=1
…
FM(x x xN )=1
Слово “логических” означает, что переменные x1 x2,…, xN — логические, то
есть принимают значения 0 или 1, и выражения F1,...FM, зависящие от этих переменных,
— тоже логические (множество их возможных значений — {0, 1}). Решением этой системы
называется такой вектор значений X x1x2…xN , при котором все уравнения обращаются
в тождества. Поскольку все переменные, входящие в решение X, логические (0 или
1), все решение можно рассматривать как цепочку нулей и единиц длиной N. Такие цепочки
называют битовыми цепочками, или битовыми векторами.
При анализе систем логических уравнений удобно не исключать поочередно неизвестные,
как это часто делается при решении алгебраических уравнений, а рассматривать битовый
вектор–решение как целое, как единый объект. Результатом такого анализа будет описание
множества векторов-решений, которое позволит подсчитать количество решений.
Как и в случае алгебраических уравнений, до того, как исследовать возможные
решения, систему бывает полезно упростить или использовать замену переменных.
Для начала мы разберем несколько простых уравнений и систем, а затем перейдем
к более сложным, которые использовались в задачах ЕГЭ прошлых лет. Отметим, что
для проверки правильности решений систем логических уравнений можно использовать
бесплатную программу, которая размещена на сайте [4].
Подведение итогов – второй урок.
Представление результатов групповой работы.
Проверка правильности решений систем логических уравнений используя бесплатную
программу, которая размещена на сайте [4]. Обсуждение. Экспертиза между
группами результатов работы групп по поиску по поиску оптимального решения для
каждой из предложенных задач.
Содержание кейса:
Что нужно знать:
·
таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ»,
«НЕ», «ЕСЛИ…, ТО…», «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА»
·
правила преобразования логических выражений;
·
законы алгебры логики
·
Решение
— битовый вектор
·
Простейшие
случаи
·
Демоварианты
ЕГЭ
·
Другие
задачи
1.
Поляков К.Ю., Ройтберг М.А. Системы логических уравнений:
решение с помощью битовых цепочек // Информатика, № 12, 2014,
с. 4-12.
2.
Сопрунов С.Ф. Непростое программирование на Лого. М.:
Московский институт открытого образования, 2011.
3.
Аналитический отчет о результатах ЕГЭ-2011. Информатика
и ИКТ. URL: http://fi pi.ru/sites/default/files/document/1408709946/2.11%20inf-11-11.pdf
(дата обращения 16.09.2014).
4.
Поляков К.Ю. Подготовка к ЕГЭ по информатике [Электронный
ресурс] URL: http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm (дата обращения
16.09.2014).
5.
Поляков К.Ю. Логические уравнения // Информатика, №
14, 2011, с. 30–35.
6.
Мирончик Е.А. Метод отображения // Информатика, №
10, 2013, с. 18–26.
7.
Мирончик Е.А. Люблю ЕГЭ за В15, или Еще раз про метод
отображения // Информатика, № 7–8, 2014, с. 26–32.
8.
Аналитический отчет о результатах ЕГЭ-2012. Информатика
и ИКТ. URL: http://fipi.ru/sites/default/files/document/1408709880/2.11.pdf (дата обращения
16.09.2014).
9.
Поляков К.Ю., Еремин Е.А. Информатика. 10-й класс. Углубленный
уровень. В двух частях. М.: Бином, 2014.
10. Демоверсия, спецификация, кодификатор ЕГЭ-2015 по информатике [Электронный
ресурс] URL:http://fipi.ru/sites/default/files/document/1409834615/inf11_2015.zip
(дата обращения 16.09.2014).
11. Лачин В.И., Савёлов Н.С. Электроника: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: Феникс,
2007.
Творческая практическая работа
Ф.И._________________________ класс ________
Задание 3. Решите задачи: (Другие
задачи)
Задание
4. Сохраните
практическую работу под Вашей фамилией и отправьте учителю по электронной почте
или Дневник.ru.
Л – логический
вывод
Логический вывод:
Мы рассмотрели класс задач, связанных с решением систем логических уравнений.
Эти решения удобно представлять в виде битовых векторов.
Существует аналогия между представлением решения логических систем в виде
битовых векторов и представлением решения алгебраических систем в виде точек (векторов)
на плоскости или в пространстве. Аналогия между алгеброй и логикой представляется
продуктивной при разборе рассматриваемой темы.
Проследим эти аналогии и различия.
·
Рассмотренные задачи во многом непривычны, если отталкиваться
от уравнений и систем, изучаемых в курсе математики.
·
Непривычна сама постановка задачи, предполагающая, что
система имеет много решений. В школьной математике уравнение (система), как правило,
имеет одно решение или немного решений. (На это отличие стоит обратить внимание
учеников, особенно сильных.)
·
Непривычно то, что мы стараемся понять, как устроено
все множество решений, и только затем, на основе этого понимания, определяем количество
решений и (хотя это и не требуется по условию задачи) можем выписать сами решения.
Уравнения, входящие в систему, рассматриваются как ограничения, наложенные на комбинации
битов.
Аналогом такой постановки задачи в школьной математике являются вопросы
типа “Как устроено множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению x2 y2 =1?”.
Умение переводить описание набора битовых решений с языка систем логических уравнений
на более “естественный” язык — это то, что требуется ученику при решении рассмотренных
задач.
Отметим, что при решении некоторых задач, даже поняв, какие ограничения
на множество битовых векторов-решений накладывают уравнения, мы не можем написать
явную формулу для количества решений. Однако во многих подобных случаях удается
написать рекуррентное уравнение и с его помощью решить задачу (см. задачи 6,
7).
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы выявить структуру всех решений
(определить, какие комбинации битов допустимы, а какие — запрещены) и подсчитать
количество подходящих решений, используя формулы комбинаторики. Так же, как и при
решении алгебраических уравнений, при этом нужно:
1) уметь решать базовые (“элементарные”) уравнения и
2) уметь упрощать уравнения с помощью тождественных преобразований и замен
переменных.
3) знать законы логики (таблица 1
кейса).
Обоснование целесообразность применения
Данная технология
соответствует принципам системно-деятельностного подхода и поэтому востребована
в условиях введения ФГОС основного общего образования.
В основе технологии кейсов лежит имитационное моделирование.
Данная технология опирается на дидактические принципы:
1.
Индивидуальный подход к каждому учащемуся, учет
особенностей познавательных стилей и потребностей, в процессе обсуждения и
размышления каждый будет использовать собственные возможности, дополнять и
развивать групповое суждение.
2.
Вариативность, данный метод предполагает
возможность опоры на разнообразный материал и способы его обработки, что
обеспечивает свободу в обучении и возможность выбора.
3.
Активность обучения обеспечивается непосредственным
вовлечением обучающихся в решение «реальных» проблем.
4.
Умение работать с информацией.
5.
Успешности в обучении, которая обеспечивается за
счет опоры на сильные стороны обучающихся.
6.
Проблемности, проявляющейся опоре на конкретные
задачи, возникающие в реальной практике жизни, образования.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.