Урок
№4
Тема: Измерение
информации. Содержательный подход
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом
Цели:
·
Освоить содержательный подход к измерению
информации;
·
Объяснить какие события являются равновероятными;
·
Научить находить вероятность события, количество
информации в сообщении, что произошло из равновероятных событий;
·
Формирование общих представлений современной
научной картины мира;
·
формирование коммуникативных качеств развивающейся
личности.
Оборудование:
·
ПК;
·
Интерактивная доска;
·
MS PowerPoint
Ход
урока:
I. Организационный момент
(2 мин.)
Приветствие.
Сообщение новой темы.
II. Актуализация знаний (3
мин.)
Проверка
домашнего задания.
III. Теоретическая часть (25
мин.)
Из названия подхода к измерению информации
можно сделать вывод, что количество информации зависит от ее содержания.
Упр. 1.
Давайте определим количество информации в
следующих сообщениях с позиции «много» или «мало»
1. Столица России – Москва
2. Сумма квадратов катетов равна квадрату
гипотенузы
3. Дифракцией света называется совокупность
явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при его
распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью
4. Эйфелева башня имеет высоту 300 метров и
вес 9000 тонн.
Следует просить учеников пояснять ответы,
задавая им наводящие вопросы о том, содержит ли сообщение новые и понятные
сведения.
Сообщение несет больше информации, если в
нем содержатся новые и понятные сведения. Такое сообщение
называется информативным.
Необходимо различать понятия информация и
информативность.
- Содержит ли информацию учебник биологии
за 10 класс? (Да)
- Для кого он будет информативным - для
ученика 10 или 1-го класса? (Для ученика 10 класса он будет информативным,
т.к. в нем содержится новая и понятная ему информация, а для ученика 1 класса
он информативным не будет, т.к. информация для него не понятна)
Вывод: количество информации зависит от
информативности.
Количество информации равно нулю, если оно
с точки зрения конкретного человека неинформативно. Количество информации в
информативном сообщении больше нуля.
Но информативность сообщения сама по себе
не дает точного определения количества информации. По информативности можно
судить только о том, много информации, или мало.
Рассмотрим понятие информативности с
другой стороны. Если некоторое сообщение является информативным, следовательно
оно пополняет знания или уменьшает неопределенность наших знаний. Другими
словами сообщение содержит информацию, если оно приводит к уменьшению
неопределенности наших знаний.
Рассмотрим пример.
Мы бросаем монету и пытаемся угадать,
какой стороной она упадет на поверхность. Возможен один результат из двух:
монета окажется в положении «орел» или «решка». Каждое из этих двух событий
окажется равновероятностным, т.е. ни одно из них не имеет преимущества перед
другим.
Перед броском монеты мы точно не знаем,
как она упадет. Это событие предсказать невозможно, т.е. перед броском
существует неопределенность нашего знания (возможно одно событие из двух).
После броска наступает полная определенность знания, т.к. мы получаем
зрительное сообщение о положении монеты. Это зрительное сообщение уменьшает
неопределенность нашего знания в два раза, т.к. из двух равновероятных событий
произошло одно.
Если мы кидаем шестигранный кубик, то мы
также не знаем перед броском, какой стороной он упадет на поверхность. В этом
случае, возможно получить один результат из шести равновероятных.
Неопределенность знания равна шести, т.к. именно шесть равновероятных
событий может произойти. Когда после броска кубика мы получаем зрительное
сообщение о результатах, то неопределенность наших знаний уменьшается в
шесть раз.
Упр. 2.
Еще один пример. На экзамен приготовлено
30 билетов.
- Чему равно количество событий, которые
могут произойти при вытягивании билета? (30)
- Равновероятны эти события или нет? (Равновероятны)
- Чему равна неопределенность знаний ученика
перед тем, как он вытянет билет? (30)
- Во сколько раз уменьшится неопределенность
знания после того как ученик билет вытянул? (В 30 раз)
- Зависит ли этот показатель он номера
вытянутого билета? (Нет, т.к. события равновероятны)
Из всех приведенных примеров можно сделать
следующий вывод: чем больше начальное число возможных равновероятных событий,
тем в большее количество раз уменьшается неопределенность наших знаний, и тем
большее количество информации будет содержать сообщение о результатах опыта.
для того чтобы количество информации имело
положительное значение, необходимо получить сообщение о том, что произошло
событие как минимум из двух равновероятных. Такое количество информации,
которое находится в сообщении о том, что произошло одно из двух равновероятных,
принято за единицу измерения информации и равно 1 биту.
И еще одно определение бита:
1 бит – это количество информации,
уменьшающее неопределенность знания в два раза.
А теперь такая задача: студент на экзамене
может получить одну из четырех оценок: 5— «отлично», 4 — «хорошо», 3 —
«удовлетворительно», 2 — «неудовлетворительно». Представьте себе, что ваш
товарищ пошел сдавать экзамен. Причем учится он очень неровно и может с
одинаковой вероятностью получить любую оценку от «2» до «5». Вы волнуетесь
за него, ждете результата экзамена. Наконец, он пришел и на ваш вопрос: «Ну,
что получил?» — ответил: «Четверку!».
Вопрос: сколько битов информации
содержится в его ответе?
Если сразу сложно ответить на этот вопрос,
то давайте подойдем к ответу постепенно. Будем отгадывать оценку, задавая
вопросы, на которые можно ответить только «да»
или «нет».
Вопросы будем ставить так, чтобы каждый
ответ уменьшал количество возможных результатов в два раза и, следовательно,
приносил 1 бит информации.
Первый вопрос:
- Оценка выше «тройки»? - Да.
После этого ответа число вариантов
уменьшилось в два раза. Остались только «4»
и «5».
Получен 1 бит информации. Второй вопрос:
- Ты получил «пятерку»?
- Нет.
Выбран один вариант из двух оставшихся:
оценка — «четверка». Получен еще 1 бит информации. В сумме имеем 2 бита.
Сообщение об одном из четырех
равновероятных результатов некоторого события несет 2 бита информации.
Разберем еще одну частную задачу, а потом
получим общее правило.
На книжном стеллаже восемь полок. Книга
может быть поставлена на любую из них. Сколько информации содержит сообщение о
том, где находится книга?
Будем действовать таким же способом, как в
предыдущей задаче. Метод поиска, на каждом шаге которого отбрасывается
половина вариантов, называется методом
половинного деления. Применим
метод половинного деления к задаче со стеллажом. Задаем вопросы:
—Книга
лежит выше четвертой полки? - Да.
—Книга
лежит выше шестой полки?
—Нет.
—Книга
— на шестой полке?
—Нет.
—Ну
теперь все ясно! Книга лежит на пятой полке!
Каждый ответ уменьшал неопределенность в
два раза. Всего было задано три вопроса. Значит, набрано 3 бита информации. И
если бы сразу было сказано, что книга лежит на пятой полке, то этим сообщением
были бы переданы те же 3 бита информации.
Заметим, что поиск значения методом
половинного деления наиболее рационален. Таким способом всегда можно угадать
любой из восьми вариантов за три вопроса. Если бы, например, поиск
производился последовательным перебором: «Книга на первой полке?» — «Нет». — «На второй полке?» — «Нет»и т.д., то про пятую полку мы бы узнал и
после пяти вопросов, а про восьмую — после восьми.
А сейчас попробуем получить формулу, по
которой вычисляется количество информации, содержащейся в сообщении о том, что
имел место один из множества равновероятных результатов некоторого события.
Обозначим буквой N количество
возможных результатов события, или, как мы это еще называли, — неопределенность
знания. Буквой i будем
обозначать количество информации в сообщении об одном из N результатов.
В примере с монетой: N =
2, i
= 1 бит. В примере с
оценками: N
= 4, i — 2 бита. В примере со стеллажом: N =
8, i =
3 бита.
Нетрудно заметить, что связь между этими
величинами выражается следующей формулой:
2i = N
Действительно: 2х =
2; 22 = 4; 23 = 8.
С полученной формулой вы уже знакомы из
базового курса информатики, и еще не однажды мы с ней встретимся. Значение
этой формулы столь велико, что мы назвали ее главной формулой информатики. Если
величина N известна, a i неизвестно, то данная формула становится
уравнением для определения i. В
математике оно называется показательным
уравнением.
Пусть на стеллаже не 8, а 16 полок. Чтобы
ответить на вопрос, сколько информации содержится в сообщении о месте
нахождения книги, нужно решить уравнение:
2i= 16.
Поскольку 16 = 24, то i = 4 бита.
Если значение N равно
целой степени двойки (4, 8, 16, 32, 64 и т.д.),
то показательное уравнение легко решить в уме, поскольку i будет целым числом. А чему, например,
равно количество информации в сообщении о результате бросания игральной кости,
у которой имеется шесть граней и, следовательно, N = 6?
Можно догадаться, что решение уравнения
2i =
6
будет дробным числом, лежащим между 2 и 3,
поскольку 22 = 4 < 6, а 23 = 8 > 6. А как точнее
узнать это число?
Пока ваших математических знаний
недостаточно для того, чтобы решить это уравнение. Вы научитесь этому в 11-м
классе в курсе математики. А сейчас сообщим, что результатом решения уравнения
для N = 6 будет значение i = 2,58496 бита с точностью до пяти знаков
после запятой.
IV. Закрепление знаний (10 мин.)
1.
«Вы выходите на следующей остановке?» -
спросили человека в автобусе. «Нет» - ответил он. Сколько информации содержит
ответ?
Решение: человек может ответить только «Да» или «Нет», т.е. выбрать один
ответ из двух возможных. Поэтому N
= 2, значит i = 1 бит.
2.
Сколько информации содержит сообщение,
уменьшающее степень неопределенности знаний в 8 раз?
Решение: т.к. неопределенность знаний уменьшается в 8 раз,
следовательно, она была равна 8, т.е. существовало 8 равновероятных событий.
Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3 бита информации (8 = 23)
3.
Группа школьников пришла в бассейн, в
котором 4 дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на
дорожке номер 3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения?
Решение: из 4-х дорожек необходимо выбрать одну, т.е. N
= 4. Значит по формуле i= 2, т.к. 4 = 22
4.
В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики
разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из коробки достали
красный кубик?
Решение: из 16 равновероятных событий нужно выбрать одно. Поэтому N
= 16, следовательно, i = 4 (16 = 24)
5.
При угадывании целого числа в некотором
диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон?
Решение: N = 28 =
256
V.
Итог урока (2 мин.)
Оценивается работа в классе, называются
оценки.
VI.
Домашнее задание (3 мин.)
§4, ответить на вопросы и выполнить
задания в конце параграфа.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.