Урок по математике для 11 класса по теме «Многогранники вокруг нас»

Урок по математике для 11 класса по теме «Многогранники вокруг нас»

Выполнил преподаватель Бурдина Л.Н

Метод обучения: интегрированный урок

Средства обучения: инструкционные карты, конспект, учебник, модели правильных многогранников, бумага, линейка, клей, ножницы.

Цели урока:

• систематизировать знания об основных видах многогранников, показать их применение в других видов деятельностях

• показать роль математики в развитии общества.

• Воспитание аккуратности при выполнении работ

Ход урока.

Преподаватель. Ни одно геометрическое тело не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы поговорим о правильных многогранниках, а точнее о том, где встречаются многогранники в природе. А также услышим мнение ученых древностей об использовании правильных многогранников. На уроке у нас присутствуют математики, историки и биологи. Первое слово предоставляем математикам.

Математики. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существуют пять видов правильных многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. (учащиеся записывают определение ). Далее дается характеристика каждого вида, используя модели или компьютер.

Историки. Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни – и малым ребенком, играющим деревянным кубиком, и зрелым математиком. В истории цивилизации создание многогранных тел уходит в глубь веков. ( Показывают на плакате, моделях или на экране.) Пифагорейцы считали , что огонь состоит из мельчайших частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее острыми многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Он настолько прост, что был известен еще древним египтянам, а математики изучали геометрические свойства тетраэдра одновременно с изучением свойств куба. Тетраэдр обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий – земля – пифагорейцы ставили самый устойчивый многогранник – куб. И.Кеплер писал, что среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней.

Математики. В математике это свойство куба и октаэдра называется двойственностью или сопряженностью. Если центры граней куба соединить отрезками, то получится октаэдр. И обратно, центры граней октаэдра являются вершинами вписанного куба. Двойственными являются икосаэдр и додекаэдр.

А что можно сказать о тетраэдре? (он двойственен сам себе).

Биологи. Пчелы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Пчелы – удивительное создание. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Стало быть, мудрые пчелы экономят воск для постройки сот.

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов. Из всех многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление воды. Именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Кристаллы многих знакомых нам веществ имеют форму многогранников. Куб передает форму кристаллов поваренной соли, монокристалл алюминиево –калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана имеет форму додекаэдра, сернокислый натрий – тетраэдр, бор – икосаэдр.

Математики. Мы увидели и услышали много о многогранниках, о правильных многогранника. Мы теперь знаем, какие многогранники называются правильными и, что их существует пять. И наверное, у многих возник вопрос: а существует ли связь между числом вершин (В), граней (Г), ребер (Р) многоугольника? Ответ на этот вопрос дала теорема Эйлера: для всякого выпуклого многоугольника между числами В, Г и Р выполняется соотношение В + Г – Р = 2.

Группам предлагается заполнить таблицу.

Теорема Эйлера: Число вершин – число ребер + число граней = 2

название

тетраэдр

куб

октаэдр

икосаэдр

додекаэдр

Число граней и их форма

Число ребер

Число вершин

Теорема

Преподаватель. Мы с вами заслушали математиков, историков, биологов, рассмотрели: где встречаются многогранники, для чего мы их изучаем, какие многогранники называются правильными и сколько их. Я думаю, каждый из вас сделает выводы, насколько близка с нами математика, как важно ее изучать. А теперь мы побудем немного исследователями. Вы знаете формулы, по которым можно найти полную поверхность многогранников.

А теперь выполните задачу: из листа бумаги изготовьте такой куб, чтобы его полная поверхность составила 96см².

План выполнения.

1. Начертите куб. По рисунку найдите площадь куба.

2. Нарисуйте развертку куба.

3.Главная задача. Из листа бумаги изготовьте куб, чтобы его поверхность составила 96см².

4. Оформите работу на листке по плану:

а) генератор идей;

б) разработчик идей, конструктор;

в) расчетчик;

г) оформитель;

д) изготовитель.

5. Итак модель готова. Презентация.

6. Выставление оценок.

Задание на дом. Мы сегодня с вами выяснили, что площадь куба равна 6а². Дома найдите в дополнительной литературе, чему равна полная поверхность других правильных многогранников и постройте тетраэдр, площадь которого приблизительно составила 15,5889см².

Краткое описание документа:

Урок по математике для 11 класса по теме «Многогранники вокруг нас»

Выполнил преподаватель Бурдина Л.Н

Метод обучения: интегрированный урок

Средства обучения: инструкционные карты, конспект, учебник, модели правильных многогранников, бумага, линейка, клей, ножницы.

Цели урока:

• систематизировать знания об основных видах многогранников, показать их применение в других видов деятельностях
• показать роль математики в развитии общества.
• Воспитание аккуратности при выполнении работ

Ход урока.

Преподаватель. Ни одно геометрическое тело не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы поговорим о правильных многогранниках, а точнее о том, где встречаются многогранники в природе. А также услышим мнение ученых древностей об использовании правильных многогранников. На уроке у нас присутствуют математики, историки и биологи. Первое слово предоставляем математикам.

Математики. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существуют пять видов правильных многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. (учащиеся записывают определение ). Далее дается характеристика каждого вида, используя модели или компьютер.

Историки. Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни – и малым ребенком, играющим деревянным кубиком, и зрелым математиком. В истории цивилизации создание многогранных тел уходит в глубь веков. ( Показывают на плакате, моделях или на экране.) Пифагорейцы считали , что огонь состоит из мельчайших частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее острыми многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Он настолько прост, что был известен еще древним египтянам, а математики изучали геометрические свойства тетраэдра одновременно с изучением свойств куба. Тетраэдр обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий – земля – пифагорейцы ставили самый устойчивыймногогранник – куб. И.Кеплер писал, что среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней.

Математики. В математике это свойство куба и октаэдра называется двойственностью или сопряженностью. Если центры граней куба соединить отрезками, то получится октаэдр. И обратно, центры граней октаэдра являются вершинами вписанного куба. Двойственными являются икосаэдр и додекаэдр.

А что можно сказать о тетраэдре? (он двойственен сам себе).

Биологи. Пчелы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Пчелы – удивительное создание. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Стало быть, мудрые пчелы экономят воск для постройки сот.

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов. Из всех многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление воды. Именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Кристаллы многих знакомых нам веществ имеют форму многогранников. Куб передает форму кристаллов поваренной соли, монокристалл алюминиево –калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана имеет форму додекаэдра, сернокислый натрий – тетраэдр, бор – икосаэдр.

Математики. Мы увидели и услышали много о многогранниках, о правильных многогранника. Мы теперь знаем, какие многогранники называются правильными и, что их существует пять. И наверное, у многих возник вопрос: а существует ли связь между числом вершин (В), граней (Г), ребер (Р) многоугольника? Ответ на этот вопрос дала теорема Эйлера: для всякого выпуклого многоугольника между числами В, Г и Р выполняется соотношение В + Г – Р = 2.

Группам предлагается заполнить таблицу.

Теорема Эйлера: Число вершин – число ребер + число граней = 2

название	тетраэдр	куб	октаэдр	икосаэдр	додекаэдр
Число граней и их форма
Число ребер
Число вершин
Теорема

Преподаватель. Мы с вами заслушали математиков, историков, биологов, рассмотрели: где встречаются многогранники, для чего мы их изучаем, какие многогранники называются правильными и сколько их. Я думаю, каждый из вас сделает выводы, насколько близка с нами математика, как важно ее изучать. А теперь мы побудем немного исследователями. Вы знаете формулы, по которым можно найти полную поверхность многогранников.

А теперь выполните задачу: из листа бумаги изготовьте такой куб, чтобы его полная поверхность составила 96см

План выполнения.

1. Начертите куб. По рисунку найдите площадь куба.

2. Нарисуйте развертку куба.

3.Главная задача. Из листа бумаги изготовьте куб, чтобы его поверхность составила 96см

4. Оформите работу на листке по плану:

а) генератор идей;

б) разработчик идей, конструктор;

в) расчетчик;

г) оформитель;

д) изготовитель.

5. Итак модель готова. Презентация.

6. Выставление оценок.

Задание на дом. Мы сегодня с вами выяснили, что площадь куба равна 6а2.