Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике для 9 класса по теме: "Прогрессии"

Урок по математике для 9 класса по теме: "Прогрессии"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Название документа Дополнительные задачи с ист.содер..doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Дополнительные задачи.


1. Из руководства по математике «Задачи для изощрения ума юношей», Алкуин (около 735-804 гг.).

Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй- два, на третьей- три, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?

2. Из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого (1703 г.).

Купец купил 14 чарок серебряных, причём веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

3. Старинная задача из египетского папируса Ахмеса.

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

4. По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г.Новочеркасске разбиралось дело о пропаже стада в 20 овец по условию- уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую- 2 копейки, за третью- 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дёшево купить стадо- и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.

Название документа Самостоятельная работа тест.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Самостоятельная работа ( тест)



Вариант-1

Вариант -2

1.Укажите последовательность чисел, которая является арифметической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8;…; 2) 2; -2; -6; -10;…; 3) 2; 4; 8; 16;…; 4) 2; -1; 10; -7; 18;…

1. Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8;…; 2) 2; -2; -6; -10;… 3) 16; 8; 4; 2; …; 4) 2; -1; 10; -7; 18;…

2.Найдите сумму первых пяти

членов геометрической прогрессии,

если ее первый член равен 6, а

знаменатель прогрессии равен 3.

1) 726; 2) 729; 3) 240; 4) 243.

2.Записано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный х:

5; 8; х; 14;…

1) 3; 2) -11; 3) 11; 4) 10.

3. Последовательность hello_html_m319c2485.gif- геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_e700b82.gif, если hello_html_40266392.gif, q = hello_html_2b2ed72.gif.

1) 0,375; 2) -0,5; 3) -hello_html_69d3def8.gif; 4) -hello_html_4820f26d.gif

3.Найдите седьмой член арифметической прогрессии -24; -21; -18;…

1) -6; 2) -42; 3) -3; 4) 3.

4.Между числами 3 и 18 вставьте

четыре числа, которые вместе с

данными образуют арифметическую прогрессию.

1) 6; 9; 12; 15 2) -6;-9;-12;-15

3) 6; -9; 12; -15 4) -6: 9 -12; 15


4.Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии hello_html_2d69e81e.gif, если известно, что а1 = 2, а50 = 147.


1) 7350; 2) 6578; 3) 7450; 4) 3725.


5.Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный х:

hello_html_m6f59d96b.gif


1) 2; 2) -2; 3) 6; 4) -6.

5.Между числами 100 и 0,001 вставьте четыре числа, которые вместе с данными образуют геометрическую прогрессию.



1) 10; 1; 0,1; 0,01; 2) -10; -1; -0,1; -0,01;


3) -10; 1; -0,1; 0,01; 4) 10; -1; 0,1; -0,01.



Название документа конспект урока.doc

Поделитесь материалом с коллегами:


План – конспект урока по теме:

«Прогрессии»

Школа № 4 г.Нелидово Тверской области.

Учитель: Орлова Ольга Геннадьевна, учитель первой категории.

Класс: 9.

Тема. «Решение задач по теме: «Прогрессии» (Слайд 1)

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.


Цели урока:

  1. формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций ;

  2. обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме;

  3. отработка умений и навыков применения формул n –го члена прогрессии, суммы n первых членов прогрессии;

  4. решение нестандартных задач;

  5. развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом;

  6. развитие познавательной активности учащихся;
    воспитание эстетических качеств и умения общаться; формирование интереса к математике.


Задачи урока:

дидактические:

  • систематизировать знания по теме арифметическая и геометрическая прогрессии;

  • применять теоретические знания и формулы при решении задач;

  • формировать умение выбирать наиболее рациональные способы решения;

  • подготовиться к контрольной работе по данной теме.

развивающие:

  • развивать логическое мышление, умение анализировать,

  • продолжить работу по развитию математической речи;

воспитательные:

  • формировать эстетические навыки при оформлении записей,

  • на примере старинных задач показать практическую значимость данной темы,

  • формировать у учащихся самостоятельность мышления и интерес к изучению предмета.


Технические средства: компьютер, мультимедийный проектор, экран.








Ход урока.



I.Самоопределение к учебной деятельности.

Цель:

  1. Включить учащихся в учебную деятельность;

  2. Определить содержательные рамки урока: расширить знания о применении понятия последовательности к решению задач в практической деятельности.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Давайте, обратим внимание на эпиграф к нашему уроку. (Слайд 2)

Закончился 20-ый век.

Куда стремиться человек?

Изучены космос и море,

Строенье звёзд и вся Земля,

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

«Прогрессио- движение вперёд!»

На последних уроках мы с вами познакомились с арифметической и геометрической прогрессией. А сегодня постараемся обобщить и систематизировать знания по данным темам. (Слайд 3)

II. Проверка домашнего задания.

Тема арифметической и геометрической прогрессии была известна еще математикам древности. Мы с вами познакомились с теоретическим материалом по данной теме, научились решать задачи, применяя изученные формулы. А вот исторической справки об этих понятиях у нас еще не было. Одно из домашних заданий у вас было собрать интересные исторические сведения о прогрессиях. Я обобщила собранный вами материал. Самые интересные сведения предлагаю вашему вниманию.(Слайды 4-8)

III. АОЗУ.

(Слайд 9)

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

Учитель: Для того, чтобы вы окончательно убедились в своих твердых знаниях теоретического материала и формул, я предлагаю вам пройти опрос-тестирование.

1.Арифметическая прогрессия – это последовательность….

каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.


Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом.


Каждый член которой, равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом.



2.Геометрическая прогрессия – это последовательность….

Отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.


каждый член которой, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.


каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.



3.Формула для нахождения разности арифметической прогрессии

4.Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии .

5.Формула n – ого члена арифметической прогрессии




6.Формула n – ого члена геометрической прогрессии


hello_html_7225c0bf.gif

hello_html_m7a92d8e9.gif


7.Формула суммы n – первых членов арифметической прогрессии.



hello_html_m3290c623.gif

hello_html_304ef6df.gif


8.Формула суммы n – первых членов геометрической прогрессии.



hello_html_79761dc.gif

hello_html_m539df4ab.gif

9.Последовательности заданы несколькими первыми членами . Одна из них геометрическая прогрессия. Найдите ее.

10.Арифметическая прогрессия hello_html_621d8d3d.gifзадана условием: hello_html_69560d31.gif,hello_html_62be90a7.gif Найдите hello_html_m2e4ccd78.gif

11. Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии . Найдите член прогрессии обозначенной х

hello_html_6859d69e.gif



1

2



Ответы: 1.2; 2.1; 3.1; 4.2; 5.2; 6.2; 7.2,3; 8.3; 9.1; 10.3; 11.4.

Критерии оценки: 0-5 б.-«2»; 6-8 б.-«3»; 9-10 б.-«4»; 11 б.- «5».





IV. Решение практических упражнений.

(Слайд 10)

«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»,- говорил Д.Пойа.


1. Решение задач на применение основных формул по теме: «Прогрессии»(по вариантам).

а) (Слайд 11). 1) В-1. а 1= 7, d = 5. Найти а4. (22)

2) В-2. в1 = 3, q = 2.Найти в3.(12)

б) (Слайд 12). Задача на характеристическое свойство прогрессии.

2.Подготовка к экзамену.

Несколько минут урока, как обычно, мы посвятим подготовке к предстоящему экзамену.

(Слайд 13). Решение задачи 6.5.

Между числами 6 и 16 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.

Решение: Дано: 6, а2, а3, а4, а5; 16.

По формуле n-го члена арифметической прогрессии аn = а1 + (n – 1)d получаем: 16 = 6 + 5d, d = 2. Получаем ариф.прогресссию: 6, 8, 10, 12, 14, 16.

3. Решение практических задач.

(Слайд 14).

Прогрессии мы с вами изучали,

И много новых формул вы узнали,

Различные задачи прорешали,

И вот теперь настал тот час,

И вы, конечно же, должны узнать

А применимы ли прогрессии

СЕЙЧАС?

(Слайд 15).

Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?



(Слайд 16).

На луг площадью 810 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 30м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь втрое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг? (4 года)

(Слайд 17).

Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20 %. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 5000 рублей?

- Какие есть стратегии поведения? (Снимать проценты ежегодно или в конце срока хранения вклада). Рассмотрим случай, когда вы в конце каждого года хранения вклада будите снимать проценты по вкладу.

Ответ: а(1 + hello_html_388b504e.gif)руб.; 10 000 руб.

4.Карточки с индивидуальными заданиями.


Найдите все значения переменной х, при которых значения выражений hello_html_408d908c.gif,hello_html_611b9b93.gif , 1 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2d3d395c.gifОДЗ: Хhello_html_m7cb53dec.gif(-5,1)

1-Х = hello_html_408d908c.gif Х=7 – посторонний корень

( 1-Х)hello_html_m5c273eeb.gif = (hello_html_408d908c.gif)hello_html_m5c273eeb.gif

1- 2Х + Хhello_html_m5c273eeb.gif= 15 + 3Х при Х=-2, получим числа:

Хhello_html_m5c273eeb.gif- 5Х – 14 = 0 3; hello_html_2d077f92.gif; 1 . q = hello_html_1afdea2c.gif

Х= - 2 или Х =7 Ответ: Х = -2.

5.Решение задачи на доске с классом:

Сумма второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна14. Пятый её член на 12 больше первого. Найдите первый и третий члены этой прогрессии.

Рhello_html_406c43f.gifешение:

аhello_html_585569b1.gif+ аhello_html_3e907550.gif= 14,

аhello_html_m2c63da76.gif - аhello_html_27ec538e.gif = 12;

Ответ: аhello_html_27ec538e.gif= 1, аhello_html_m4aa6c695.gif= 7.

V. Самостоятельная работа ( тест)



Вариант-1

Вариант -2

1.Укажите последовательность чисел, которая является арифметической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8;…; 2) 2; -2; -6; -10;…; 3) 2; 4; 8; 16;…; 4) 2; -1; 10; -7; 18;…

1. Укажите последовательность чисел, которая является геометрической прогрессией.

1) 2; 3; 5; 8;…; 2) 2; -2; -6; -10;… 3) 16; 8; 4; 2; …; 4) 2; -1; 10; -7; 18;…

2.Найдите сумму первых пяти

членов геометрической прогрессии,

если ее первый член равен 6, а

знаменатель прогрессии равен 3.

1) 726; 2) 729; 3) 240; 4) 243.

2.Записано несколько последовательных членов арифметической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный х:

5; 8; х; 14;…

1) 3; 2) -11; 3) 11; 4) 10.

3. Последовательность hello_html_m319c2485.gif- геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_e700b82.gif, если hello_html_40266392.gif, q = hello_html_2b2ed72.gif.

1) 0,375; 2) -0,5; 3) -hello_html_69d3def8.gif; 4) -hello_html_4820f26d.gif

3.Найдите седьмой член арифметической прогрессии -24; -21; -18;…

1) -6; 2) -42; 3) -3; 4) 3.

4.Между числами 3 и 18 вставьте

четыре числа, которые вместе с

данными образуют арифметическую прогрессию.

1) 6; 9; 12; 15 2) -6;-9;-12;-15

3) 6; -9; 12; -15 4) -6: 9 -12; 15


4.Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии hello_html_2d69e81e.gif, если известно, что а1 = 2, а50 = 147.


1) 7350; 2) 6578; 3) 7450; 4) 3725.


5.Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии. Найдите член прогрессии, обозначенный х:

hello_html_m6f59d96b.gif


1) 2; 2) -2; 3) 6; 4) -6.

5.Между числами 100 и 0,001 вставьте четыре числа, которые вместе с данными образуют геометрическую прогрессию.



1) 10; 1; 0,1; 0,01; 2) -10; -1; -0,1; -0,01;


3) -10; 1; -0,1; 0,01; 4) 10; -1; 0,1; -0,01.




1-вариант

2 –вариант

VI. Итоги урока.

- Итак, сегодня на уроке мы:

1. Повторили…

2. Узнали…

3. Закрепили…

-Что на уроке понравилось?

- Что не удалось?

- Где в жизни могут пригодиться знания по данной теме?

- Хочется закончить урок лозунгом многих математиков XVII века:

«Двигайтесь вперёд, и вера в правильность результатов к вам придёт!»

VII. Домашнее задание.

На «5»: с.201, №43, 45, 66, 74.


На «4»: с.200, №26, 31, 35, 37.


На «3»:с.198, № 3, 14, 18, 23.





 










Название документа опрос-тест.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

1.Арифметическая прогрессия – это последовательность….

каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.


Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом.


Каждый член которой, равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом.



2.Геометрическая прогрессия – это последовательность….

Отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.


каждый член которой, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.


каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на одно и то же число.



3.Формула для нахождения разности арифметической прогрессии

4.Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии .

5.Формула n – ого члена арифметической прогрессии




6.Формула n – ого члена геометрической прогрессии


hello_html_7225c0bf.gif

hello_html_m7a92d8e9.gif


7.Формула суммы n – первых членов арифметической прогрессии.



hello_html_m3290c623.gif

hello_html_304ef6df.gif


8.Формула суммы n – первых членов геометрической прогрессии.



hello_html_79761dc.gif

hello_html_m539df4ab.gif

9.Последовательности заданы несколькими первыми членами . Одна из них геометрическая прогрессия. Найдите ее.

10.Арифметическая прогрессия hello_html_621d8d3d.gifзадана условием: hello_html_69560d31.gif,hello_html_62be90a7.gif Найдите hello_html_m2e4ccd78.gif

11. Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии . Найдите член прогрессии обозначенной х

hello_html_6859d69e.gif



1

2


Название документа прогрессии.ppt

Алгебра, 9 класс Орлова Ольга Геннадьевна, учитель математики Школы № 4 Г.Нел...
обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме; отработка...
Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэци...
Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще од...
Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в...
Формула n-го члена прогрессии an=a1+d(n-1) Дано: a1 = 7, d = 5 Найти: a4,. bn...
Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическо...
Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в н...
Прогрессии мы с вами изучали, И много новых формул вы узнали, Различные задач...
Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?
На луг площадью 810 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 30 м2. П...
Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20 %. Каким стане...
Оцените свои знания и умения на конец урока.
А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей се...
1 из 18

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Алгебра, 9 класс Орлова Ольга Геннадьевна, учитель математики Школы № 4 Г.Нел
Описание слайда:

Алгебра, 9 класс Орлова Ольга Геннадьевна, учитель математики Школы № 4 Г.Нелидово

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3 обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме; отработка
Описание слайда:

обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме; отработка умений и навыков применения формул n –го члена прогрессии, суммы n первых членов прогрессии; решение нестандартных задач; развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом.

№ слайда 4 Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэци
Описание слайда:

Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Правило для нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении Леонардо Пизанского «Книги Абака» в 1202 г. Историческая справка

№ слайда 5 Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще од
Описание слайда:

Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана “стайка девяти чисел” 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33

№ слайда 6 Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в
Описание слайда:

Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом – constanta. Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9 Формула n-го члена прогрессии an=a1+d(n-1) Дано: a1 = 7, d = 5 Найти: a4,. bn
Описание слайда:

Формула n-го члена прогрессии an=a1+d(n-1) Дано: a1 = 7, d = 5 Найти: a4,. bn=b1qn-1 Дано: b1 = 3, q = 2 Найти: b3. арифметической, геометрической

№ слайда 10 Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическо
Описание слайда:

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами последовательности (bn >0) Характеристическое свойство прогрессий Дано: х1, х2, 4, х4,14, … Найти: х4 Дано: b1, b2, 1, b4, 16, … все члены положительные числа Найти: b4 Х4=9 b4=4 арифметической, геометрической

№ слайда 11 Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в н
Описание слайда:

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла: 6.1. 1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 6.2. 1) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5. 1) Между числами 6 и 16 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию. 6.8. 1) В геометрической прогрессии b12 = З15 и b14 = З17. Найдите b1.

№ слайда 12 Прогрессии мы с вами изучали, И много новых формул вы узнали, Различные задач
Описание слайда:

Прогрессии мы с вами изучали, И много новых формул вы узнали, Различные задачи прорешали, И вот теперь настал тот час, И вы, конечно же, должны узнать А применимы ли прогрессии СЕЙЧАС?

№ слайда 13 Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?
Описание слайда:

Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

№ слайда 14 На луг площадью 810 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 30 м2. П
Описание слайда:

На луг площадью 810 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 30 м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь втрое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг? Ответ: за 4 года. Решение:

№ слайда 15 Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20 %. Каким стане
Описание слайда:

Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20 %. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 5000 рублей?

№ слайда 16 Оцените свои знания и умения на конец урока.
Описание слайда:

Оцените свои знания и умения на конец урока.

№ слайда 17 А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей се
Описание слайда:

А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне.

№ слайда 18
Описание слайда:

Название документа рефлексия.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_68b9f812.pnghello_html_68b9f812.pnghello_html_68b9f812.png


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 24.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров32
Номер материала ДБ-131626
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх