Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике для 9 класса "Теорема косинусов"

Урок по математике для 9 класса "Теорема косинусов"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема урока: «Теорема косинусов».

Тип урока: урок – семинар.

Цель урока: 1.Сформулировать теорему косинусов, рассмотреть несколько способов

доказательства.

2.Формировать умения применять теоретические знания при решении задач.

3.Повышать интерес к изучению математики.

4.Воспитывать культуру речи, развивать вычислительные навыки.

Технические средства обучения: компьютер, мультимедиа, раздаточный материал (различные способы доказательства).

Методическая литература: учебник «Геометрия 7-9» / Л.С.Атанасян и др.,учебник «Геометрия. 8 класс» /Б.Ф.Бутузов и др./.

Интернет- ресурсы: http://ru.wikipedia.org/.

Ход урока:

  1. Организационный момент.

Девиз урока: «Кто смолоду делает и думает сам, тот становится потом, надежнее, крепче, умнее. (В.Шукшин).

  1. Объявить цель урока:

Зная зависимость сторон и углов в прямоугольном треугольнике, мы научились находить элементы прямоугольного треугольника. Наша задача состоит в том, чтобы по известным элементам произвольного треугольника, найти другие.

3) Актуализация знаний.

Повторим пройденный материал.

hello_html_2d98ec6e.gif


4) Объяснение новой темы:

Задача:

При проектировании строительства железной дороги на некотором участке, возникла необходимость сооружения тоннеля, сквозь выступ горы между пунктами А и В. Для определения длины тоннеля выбрали на местности некоторый пункт С, из которого видны и доступны пункты А и В.

Чему равна длина тоннеля, если угол С равен 900.

D:\Рабочий стол\Копия №833.png

Ответ: АВ= hello_html_74b6083a.gif




















Как найти длину тоннеля, если угол С острый.

Пусть hello_html_7de76f69.gif

D:\Рабочий стол\Копия №833.png


Решение:D:\Рабочий стол\Копия №833.png

Проведем высоту АН.

Из треугольника АНС находим АН= АС Sinα, АН= 4 Sin 600 = hello_html_m23d47f03.gif; СН= АС Cosα; СН= 4hello_html_m7d1ed8c.gif, ВН= 5-2=3;

АВ= hello_html_m19fba43a.gif, АВ=hello_html_m3c2b9e5b.gif.

На решение задачи будет затрачено меньше времени, если решить задачу с применением теоремы косинусов.

Доказательство ведется несколькими способами.

Доказательство ведут ученики, которые предварительно изучили тему и нашли несколько способов доказательства.

Теорема косинусов.

Формулируется теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.



hello_html_m7bd59472.gifD:\Рабочий стол\Копия №833.png
















1 способ доказательства. D:\Рабочий стол\Копия №833.png

hello_html_m72791b6.gif

























hello_html_m3358ad96.gifD:\Рабочий стол\Копия №833.png













Если угол С прямой, тогда Cos C = 0 и формула c2 = a2 + b2 - 2ab Cos C становится в этом случае теоремой Пифагора. Теорема косинусов является обобщенной теоремой Пифагора.

2 способ доказательства.


hello_html_628f051b.gifD:\Рабочий стол\Копия №833.png


hello_html_45f6a6cd.gif



3 способ доказательства.


hello_html_m62a00377.gifhello_html_m3c5ded89.gif

hello_html_7336f012.gifD:\Рабочий стол\Копия №833.png








5) Закрепление.

№1. Решают вместе, под руководством учителя, №2-№4 решают по группам (всего 6 групп, по одному одинаковому заданию двум разным группам). Решения проверяются с помощью мультимедиа. Самооценка.

№1. №2.

Копия №833D:\Рабочий стол\Копия №833.png


hello_html_4ba4fb5.gifhello_html_5b87e061.gif


hello_html_m3d882bba.gifhello_html_35a3689d.gif



hello_html_72c3136.gifhello_html_1d414df9.gif


hello_html_m4c7eb407.gifhello_html_m578879bd.gif


hello_html_72aeb007.gif

Определите вид ∆ ABC по теореме,

обратной т. Пифагора.

hello_html_m3cb62f7e.gifhello_html_1290e0e8.gif



Значит ∆ ABC – прямоугольный, Ð В = 900.

Определим вид ∆ ABC по т. косинусов.

АС2 = AB2 + BC2 – 2 ABBCCos B

hello_html_m3f26fb07.gif


hello_html_73835ef.gif
















№3. №4.

Копия №833D:\Рабочий стол\Копия №833.png

hello_html_m4ac96ac3.gifhello_html_2e928940.gif


hello_html_8d397db.gifhello_html_179b91fc.gif


hello_html_m513cd2ea.gifhello_html_1a62a0f0.gif


hello_html_199ab627.gifhello_html_17b89072.gif

hello_html_5251028a.gif

hello_html_2a0819f5.gif


hello_html_51b42690.gif


  1. Исторический материал. Сообщение ученика.

Начиная с древних времен и примерно до XVII века в тригонометрии, рассматривали почти исключительно « решение треугольников », т.е. вычисление одних элементов треугольника по другим. Такие вычисления были вызваны запросами астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры. Лишь в XVIII веке в содержании тригонометрии значительно расширяется.

Для решения треугольника, т.е. для нахождения трех его элементов, когда известны другие три его элемента (среди которых, по крайней мере, одна сторона), необходимо иметь три независимых соотношения между шестью его элементами. В евклидовой геометрии одно из них выражается равенством: hello_html_eef3c11.gif.

В случае прямоугольного треугольника, помимо т. Пифагора, можно, например, пользоваться соотношениями hello_html_m2e746a37.gif.

В случае косоугольных треугольников, помимо, можно использовать т. синусов или

т. косинусов.

Теорема косинусов была по существу доказана, конечно, геометрически, еще в « Началах» Евклида, а именно в 12-м и 13-м предложениях II книги, в которой обобщается т. Пифагора и выводятся формулы, выражающие квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла треугольника. Это положение, доказанное Евклидом, эквивалентно теореме косинусов.

Александрийский математик Герон (I в), ученые Индии (Брахмагупта, Бхаскара), как и некоторые европейские математики XII-XV в.в. (Л. Фибоначчи), пользовались формулами близкими к формулам т. косинусов, однако, явно была сформулирована (словесно) в XVI в. Французским математиком Ф. Виетом.

Современный вид т. косинусов принимает в 1801 г. у французского математика Лазара Карно (1753г- 1823г).

7) Подведение итогов. Выставление оценок. Рефлексия деятельности на уроке.

  1. Какой способ доказательства наиболее вам понравился и почему?

  2. Выучить тот способ, который наиболее доступен.

Все способы доказательств раздаются ученикам.

8) Домашнее задание: № 1025(ж), №1031(а).




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров589
Номер материала ДВ-006452
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх