Урок по математике для 9 класса "Теорема косинусов"

Тема урока: «Теорема косинусов».

Тип урока:   урок – семинар.

Цель урока: 1.Сформулировать теорему косинусов, рассмотреть несколько способов

                        доказательства.

          2.Формировать умения применять теоретические знания при решении задач.

          3.Повышать интерес к изучению математики.

                      4.Воспитывать культуру речи, развивать вычислительные навыки.

Технические средства обучения: компьютер, мультимедиа, раздаточный материал (различные способы доказательства).

Методическая литература: учебник «Геометрия 7-9» / Л.С.Атанасян и др.,учебник «Геометрия. 8 класс» /Б.Ф.Бутузов и др./.

Интернет- ресурсы: http://ru.wikipedia.org/.

Ход урока:

1)      Организационный момент.

Девиз урока: «Кто смолоду делает и думает сам, тот становится потом, надежнее, крепче, умнее. (В.Шукшин).

2)      Объявить цель урока:

Зная  зависимость сторон и углов в прямоугольном треугольнике, мы научились находить элементы прямоугольного треугольника. Наша задача состоит в том, чтобы по известным элементам произвольного треугольника, найти другие.

3) Актуализация знаний.

Повторим пройденный материал.

4) Объяснение новой темы:

Задача:

При проектировании строительства железной дороги на некотором участке, возникла необходимость сооружения тоннеля, сквозь выступ горы между пунктами А и В.  Для определения длины тоннеля выбрали на местности некоторый пункт С, из которого видны и доступны пункты А и В.

Чему равна длина тоннеля, если угол С равен 90⁰.

Ответ:  АВ=

Как найти длину тоннеля, если угол С острый.

Пусть

Решение:

Проведем высоту АН.

Из треугольника   АНС  находим  АН= АС Sinα,                                                                                                   АН= 4 Sin 60⁰ =  ;                                                                                                    СН= АС Cosα;                                                                                                    СН=  4,   ВН= 5-2=3;                                                                                                   

АВ= ,    АВ=.                                                                                               

На решение задачи будет затрачено меньше времени, если решить задачу с применением теоремы косинусов.

Доказательство ведется несколькими способами.

Доказательство ведут  ученики, которые предварительно изучили тему и нашли несколько способов доказательства.

Теорема косинусов.

Формулируется теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

1 способ доказательства.              

  

Если угол С прямой, тогда Cos C = 0 и формула c² = a² + b²  - 2ab Cos C  становится в этом случае теоремой Пифагора. Теорема косинусов является обобщенной теоремой Пифагора.

2 способ доказательства.

3 способ доказательства.

                                                                         

5) Закрепление.

№1. Решают вместе, под руководством учителя, №2-№4 решают по группам (всего 6 групп, по одному одинаковому заданию двум разным группам). Решения проверяются с помощью мультимедиа. Самооценка.

     №1.                                                                                      №2.

                      

 

                                     

 

    Определите вид  ∆ ABC  по теореме,

    обратной т. Пифагора.

  

 Значит ∆ ABC – прямоугольный, Ð В = 90⁰.

 Определим вид  ∆ ABC  по т. косинусов.

 АС² = AB² + BC² – 2 AB∙ BC ∙ Cos B

 

№3.                                                                                     №4.

                                                

                                                                               

 

6)      Исторический материал. Сообщение ученика.

Начиная с древних времен и примерно до XVII века в  тригонометрии,  рассматривали почти  исключительно « решение треугольников », т.е. вычисление одних элементов треугольника по другим. Такие вычисления были вызваны  запросами астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры. Лишь в  XVIII  веке в содержании тригонометрии значительно расширяется.

Для решения треугольника, т.е. для нахождения трех его элементов, когда известны другие три его элемента (среди которых, по крайней мере, одна сторона), необходимо иметь три независимых соотношения между шестью его элементами. В евклидовой геометрии одно из них выражается равенством: .

В случае прямоугольного треугольника, помимо т. Пифагора, можно, например, пользоваться соотношениями  .

В случае косоугольных треугольников, помимо, можно использовать т. синусов или

т. косинусов.

Теорема косинусов была  по существу доказана, конечно, геометрически, еще в « Началах»  Евклида, а именно в 12-м и 13-м предложениях  II книги, в которой обобщается т. Пифагора и выводятся формулы, выражающие квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла треугольника. Это положение, доказанное Евклидом, эквивалентно теореме косинусов.

Александрийский математик Герон (I в), ученые Индии (Брахмагупта, Бхаскара), как и некоторые европейские математики XII-XV в.в. (Л. Фибоначчи), пользовались формулами близкими к формулам т. косинусов, однако, явно была сформулирована (словесно) в XVI в. Французским математиком Ф. Виетом.

Современный вид т. косинусов принимает  в 1801 г. у французского математика  Лазара Карно (1753г- 1823г).

   7) Подведение итогов. Выставление оценок. Рефлексия деятельности на уроке.

1. Какой способ доказательства наиболее вам понравился и почему?
2. Выучить тот способ, который наиболее доступен.

            Все способы доказательств раздаются ученикам.

  8) Домашнее задание:  №  1025(ж), №1031(а).