Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике "Формула сокращенного умножения"

Урок по математике "Формула сокращенного умножения"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Формулы сокращенного умножения

hello_html_m6cfca884.gif

Уважение к минувшему – вот черта, отличающая образованность от дикости”.

А.С. Пушкин

Цели урока:

  1. Образовательная – закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения,

  2. сформировать умения применять их в простых случаях и в заданиях повышенной сложности.

  3. Развивающая – развить умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать,

  4. на историческом материале показать учащимся зависимость между математикой и

  5. общекультурными устремлениями человечества.

  6. Воспитательная – воспитать ответственное, творческое отношение у учебному труду.


Оборудование:

Компьютер с проектным аппаратом и экраном, карточки.

Используемая литература.

  1. Алгебра. Учебник для 7 класса под редакцией Теляковского. М., “Просвещение”, 1991.

  2. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 класс. М., “Просвещение”, 1991.

  3. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. М., “Просвещение”, 1989.

ХОД УРОКА


1. Актуализация знаний

Дописать формулы ( правильные ответы показать, самопроверка)


(а ± b)2 = a2 ±2ab +b2

a2 – b2 = (a - b)(a + b)

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

a3 ± b3 =(a ± b)( a2 ± ab + b2)

(a +b +c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac


3. Работа на листах с печатной основой (один из учащихся комментирует решение,

другие записывают решение примера в тетради):

Заполните пропущенные места:

1) a4 -8 a2 +16 = ( ____)__

2) - 12ab -3 a2 - 12 b2 =__•(_____)=___•(____)___

3) 25a6 + ____+ 9 b2 = (5 a3 +3b)2

4) 16 - 8 a2 b2 + _____= (4 - a2 b2)2

5) (2a - ___)3 = 8 a3 - 12 a2b + 6a b2 - b3

6) (3b + 2a)3 = 27 b3 + _____+_____+ 8 a3

7) 125 + ____+ 15a2 +_____= (5 +a)3

8) (3m - ___)· (____+3m) = 9m2– 4n2

9) (a2 +____)· (____- b3) = a4 – b6

10) _____- 0,09b4 = (1,2 a2 – 0,3 b2)( 1,2 a2 + 0,3 b2)

4. Письменная проверочная работа:

Вариант 1

Вариант 2

1) 2x2 – 4x +2 =__•(_____)=___•(____)___

1) -5a2 -10ab -5 b2 =__•(_____)=___•(____)___

2) -3x2 +12x – 12 =__•(_____)=___•(____)___

2) –a2 +10ab – 25b2=__•(_____)=___•(____)___

3) (2a +___)(2a - ___) = 4a2 – b2

3) ( ___ - 3x)( ___+ 3x)= 16y2 – 9x2

4) (5x + ___)(5x - ___) = 25x2 – 0,16y4

4) 100m4 – 4n6= (10m2 - ___)(___ + 10m2)

Проверка результатов письменной работы).

Ответ.

Вариант 1

Вариант 2

1) 2x2 – 4x +2= 2•(x2-2x+1)=2•(x-1)2

1) -5a2 -10ab -5 b2 =-5•(a2+2ab+b2)=-5•(a+b)2

2) -3x2 +12x – 12 =-3•(x2-4x+4)=-3•(x-2)2

2) –a2 +10ab – 25b2=-(a2-10ab+25b2)=-(a-5b)2

3) (2a +b)(2a - b) = 4a2 – b2

3) ( 4y - 3x)( 4y+ 3x)= 16y2 – 9x2

4) (5x + 0,4y2)(5x – 0,4y2) = 25x2 – 0,16y4

4) 100m4 – 4n6= (10m22n3)(2n3 + 10m2)






6. Работа с видеоматериалами.

1 видеосюжет. Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около

4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но в то время они

формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались

не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не “а2”, а “квадрат на

отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”. Правило,

сформулированное во второй книге “Начал” Евклида в III веке до нашей эры, звучало так: “Если прямая

линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым

прямоугольником, заключенным между отрезками”.

Запишите это правило формулой и докажите ее, исходя из геометрических соображений (рис.1).

hello_html_2d96b090.jpg

Ответ. Если прямая линия (имеется в виду отрезок) рассечена на 2 отрезка а и b, то квадрат на всей прямой,

т.е. (а + b)2 равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между

отрезками а и b, т.е. равен а2 + b2 + 2ab.

Значит, (а + b)2 = a2 +2ab +b2

Действительно, площадь квадрата со стороной (а + b) равна сумме площадей квадрата со стороной а, квадрата

со стороной b и 2х прямоугольников с длиной а и шириной b.


2 видеосюжет. Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история математики сложилась

так, что эти открытия стали потом приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений

во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика – теоремой Пифагора. Оно

формулировалось так: “Для любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на

гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах” (рис.2). Многое из Вавилона ушло

потом в другие восточные страны, в том числе в Индию. И в одной из древних индийских рукописей сохранился

чертеж, взглянув на который можно убедиться в справедливости теоремы Пифагора. Докажите, что квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. с2 = а2 + b2, используя данный рисунок и формулу

сокращенного умножения.

hello_html_m33ed615f.jpg

Ответ. Действительно, по рисунку видно, что (а + b)2 = с2 + 4Shello_html_m9e2bf98.jpg

a2 +2ab +b2 = с2 + 4hello_html_m45113b05.gif

a2 +2ab +b2 = с2 + 2ab

с2 = а2 + b2 (рис.3)

hello_html_m37226df.jpg

Почему это утверждение очень важно? Потому что с его помощью можно вычислить длины наклонных.

Чтобы найти расстояние от вершины шеста до конца его тени, не надо натягивать веревку. Достаточно

измерить длину шеста и длину тени. Если взять веревку длиной в 12 локтей и завязать на ней узлы,

разбивающие ее на 12 равных частей, то с помощью такой веревки можно построить прямой угол, натянув

ее на 3 колышка. Считают, что так строили прямые углы египтяне, а треугольник со сторонами 3, 4, 5

называют египетский (рис.4).

hello_html_34c7b41b.jpg

Ну, а что Пифагор? Неужели его слава незаслуженна? Наверно, это не так. Скорее всего, ему первому

удалось доказать эту теорему, опираясь не на рисунок, а на рассуждения.


7. Решение заданий повышенной сложности.

1) Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение. 24xy = 12xy + 12 xy = 2x·6y + 2x·6y = (x +6y)2 – (x – 6y)2

или 24xy = 2•6x•y + 2•6x•y = (6x + y)2 – (6x – y)2

или 24xy = 2•xy•6 + 2•xy•6 = (xy + 6)2 – (xy – 6)2

2) Представьте выражение 2а(а2 + 3b2) в виде суммы кубов двух многочленов.

Решение. 2а(а2 + 3b2) = 2a3 + 6ab2 = a3 + 3ab2 + a3 + 3ab2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a + b)3 + (a - b)3;

3) Представьте выражение 2b(3a2 + b2) в виде разности кубов двух многочленов.

Решение. 2b(3a2 + b2)= 6a2b + 2b3 = b3 + 3a2b + b3 + 3a2b = b3 + 3a2b + 3ab2 + a3 – (a3 + 3ab2 - 3a2b - b3) = (a + b)3 – (a - b)3.

  1. Подведение итогов урока.

  2. Выставление оценок




РАБОЧИЙ ЛИСТ


  1. Дописать формулы

(а ± b)2 =

(a - b)(a + b)=

(a ± b)3 =

a3 ± b3 =


  1. Заполните пропущенные места:

1) a4 -8 a2 +16 = ( ____)__

2) - 12ab -3 a2 - 12 b2 =__•(_____)=___•(____)___

3) 25a6 + ____+ 9 b2 = (5 a3 +3b)2

4) 16 - 8 a2 b2 + _____= (4 - a2 b2)2

5) (2a - ___)3 = 8 a3 - 12 a2b + 6a b2 - b3

6) (3b + 2a)3 = 27 b3 + _____+_____+ 8 a3

7) 125 + ____+ 15a2 +_____= (5 +a)3

8) (3m - ___)· (____+3m) = 9m2– 4n2

9) (a2 +____)· (____- b3) = a4 – b6

10) _____- 0,09b4 = (1,2 a2 – 0,3 b2)( 1,2 a2 + 0,3 b2)



  1. Проверочная работа:

Вариант 1

Вариант 2

1) 2x2 – 4x +2 =__•(_____)=___•(____)___

1) -5a2 -10ab -5 b2 =__•(_____)=___•(____)___

2) -3x2 +12x – 12 =__•(_____)=___•(____)___

2) –a2 +10ab – 25b2=__•(_____)=___•(____)___

3) (2a +___)(2a - ___) = 4a2 – b2

3) ( ___ - 3x)( ___+ 3x)= 16y2 – 9x2

4) (5x + ___)(5x - ___) = 25x2 – 0,16y4

4) 100m4 – 4n6= (10m2 - ___)(___ + 10m2)





  1. Решение заданий повышенной сложности.

1) Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.


2) Представьте выражение 2а(а2 + 3b2) в виде суммы кубов двух многочленов.


3) Представьте выражение 2b(3a2 + b2) в виде разности кубов двух многочленов


hello_html_m6cfca884.gif


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 09.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров231
Номер материала ДВ-138877
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх