Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике 7 класса - Турнир Архимеда
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике 7 класса - Турнир Архимеда

библиотека
материалов

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Осташевская средняя общеобразовательная школа








Урок по математике для 7 класса

«Турнир Архимеда.

Математическая регата»


hello_html_m62603a15.jpg





Наименование учебного предмета:

Алгебра, геометрия



Уровень, ступень образования:

Основная школа, 7 класс



Ф.И.О. учителя, составившего разработку данного урока

Шорникова Светлана Павловна



Квалификационная категория

Первая






Турнир Архимеда. Математическая регата.

hello_html_64eaadd5.jpg


Условия задач


Первый тур.

(10 минут; каждая задача 6 баллов)


1.1. Положительные числа а и b таковы, что а2 + b2= b2 + а. Верно ли, что а = b?

1.2. В треугольнике АВС проведены высоты АР и СN, которые пересекаются в точке Н, лежащей внутри треугольника. Может ли угол АНС оказаться острым?

1.3. У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в математической регате?» Один сказал: «Меньше семидесяти двух». Другой: «Меньше семидесяти одной», — а третий: «Меньше семидесяти трех». Сколько команд участвовало в регате, если правы были в точности двое членов жюри?


Второй тур.

(15минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза. В результате на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?

2.2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СК, пересекающиеся в точке О. Может ли угол АОС оказаться острым?

2.3. Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр больше суммы цифр его квадрата?


Третий тур.

(15 минут; каждая задача – 7 баллов)

3.1. Говядина без костей стоит 90 рублей за килограмм, говядина с костями — 78 рублей за килограмм, а кости без говядины — 15 рублей за килограмм. Сколько костей в килограмме говядины?

3.2. Покажите, как разрезать прямоугольник 1*5 на пять частей и сложить их них квадрат.








3.3. Дан бесконечный ряд чисел:

2, 6, 12, 20, 30, 42...


Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2003-м месте.




Четвертый тур.

(20 минут; каждая задача – 8 баллов)

4.1. Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься стоя на этом эскалаторе неподвижно?

4.2. Даны точки А, В, С и D так, что отрезки АС и ВD пересекаются в точке Е. Отрезок АЕ на 1 см короче, чем отрезок АВ, АЕ = DС, АD = ВЕ, АDС = DЕС. Найдите длину ЕС.

4.3. Шахматный турнир проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграв одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Успели ли они сыграть между собой, если всего в турнире было сыграно 23 партии?






































Ответы, решения и комментарии



Первый тур.


1.1. Ответ: неверно, например, а = 0,2, b = 0,8.

Для того, чтобы найти а и b, для которых верно данное равенство, преобразуем его:

а2 – b2 = а – b (а - b)(а + b) = а - b (а - b)(а + b - 1) = 0.

Следовательно, данное равенство верно, если а = b или а + b = 1. Таким образом, достаточно указать пару различных положительных а и b, для которых а + b = 1.

hello_html_m4fcdc51e.jpg

1.2. Ответ: нет, не может.

Пусть АВС - данный треугольник, АР и СN - его высоты (рис. 1).

Так как угол АНС - внешний для треугольника СНР, то АНС > НРС = 90°.

Следовательно, угол АНС - тупой.

Комментарий. Заметим, что если не требовать, чтобы точка пересечения высот лежала внутри треугольника, то ответ будет положительным. Действительно, пусть АНС — данный треугольник, тогда точка В является точкой пересечения его высот АН и СР. В четырехугольнике ВРНN углы ВРН и ВNН — прямые, угол NHР — тупой. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то угол АВС — острый.


1.3. Ответ: 71.

Второе утверждение не может быть верно, так как в этом случае верны и два других утверждения, что противоречит условию. Следовательно, верными являются первое и третье утверждения, а второе — неверно. То есть, данное число меньше 72 и не меньше 71. Единственное число, удовлетворяющее данным условиям — 71.


Второй тур.


2.1. Ответ: 5 точек.

Способ I. Заметим, что если даны n точек, то после выполнения указанной операции появится еще n - 1 точка, а всего точек станет 2n - 1. Тогда количество точек перед проведением последней операции можно найти из уравнения 2n - 1 = 65, откуда n = 33. Далее, поступая аналогично, получим уравнения:

1) 2n - 1 = 33, откуда n = 17;

2) 2n - 1 = 17, откуда n = 9;

3) 2n - 1 = 9, откуда n — 5.


Способ II. Пусть х - первоначальное количество точек, тогда после проведения указанной операции в первый раз точек станет 2х - 1, а после повторения операции точек будет (2х - 1) + (2х - 2) = 4х - 3. Аналогично, в следующий раз точек станет

(4х - 3) + (4х - 4) = 8х - 7,

а в итоге окажется

(8x - 7) + (8х - 8) = 16л: - 15 точек.


Решая уравнение 16л: - 15 = 65 получим, что х = 5.



2.2. Ответ: нет, не может.

Способ I. Пусть АВС - данный треугольник, АМ и СК - его биссектрисы (рис. 2). hello_html_63fd74d4.jpg

Пусть АОС — острый, то есть АОС < 90°, тогда, рассмотрев сумму углов треугольника АОС, получим, что

ОАС + ОСА > 90°.

Следовательно,

ВАС + ВСА > 180°,

что невозможно, так как это углы треугольника АВС.


Способ II. Пусть АВС = β, тогда вычислим угол АОС:

ВАС + ВСА = 180° - β;

ОАС + ОСА = 90° - 0,5β;

АОС = 90° + 0,5β > 90°, то есть АОС — тупой.


2.3. Ответ: да, существует.

Заметим, что при возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 8 или на 9, последняя цифра уменьшается. Наименьшее число, удовлетворяющее условию- 39. Приведем еще несколько вариантов: 48, 49, 79.


Третий тур.


3.1. Ответ: 160 грамм.

Пусть в килограмме говядины х кг костей, тогда «чистой» говядины в ней - (1 – x) кг. Таким образом, стоимость костей составляет 15x рублей, а стоимость говядины — 90(1 – x) рублей. Исходя из условия, составим уравнение: 15х + 90(1- х) = 78. Решив уравнение, получим, что х = 0,16.


3.2. Смотри, например, рис. 3, а и б соответственно.

hello_html_m7a9f8ad7.jpg












3.3. Ответ: 4 014 012.

Заметим, что разность между вторым и первым числом: 4 = 2 · 2, между третьим и вторым числом:

6 = 2 · 3, между четвертым и третьим 8 = 2 · 4 и так далее, то есть разность между соседними числами увеличивается на 2. Следовательно, разность между 2003-м и 2002-м числом будет равна 2 · 2003. Таким образом, 2003-е число отличается от первого на:

S = 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4 + … + 2 · 2003.

Значит, 2003-е число равно:

2 + S = 2 + 2 · 2 + 2 · 3 +

+ 2 · 4 + ... + 2 · 2003 =

= 2 · (1 + 2 + 3 + ... + 2003) =

= 2 · (1 + 2003) · 1002 =

= 2003 · 2004 = 4 014 012.


Четвертый тур.


4.1. Ответ: 1,5 минуты.

Способ I. Так как 60 : 45 = hello_html_m4d2614a7.gif, то во втором случае за минуту можно было бы пройти hello_html_m4d2614a7.gif эскалатора, то есть на hello_html_7f8f9891.gif эскалатора больше, чем в первом случае. Это происходит за счет увеличения скорости человека в 2 раза. Следовательно, собственная скорость человека равна hello_html_7f8f9891.gif неподвижного эскалатора в минуту. Так как в первом случае можно спуститься за одну минуту, то скорость движения эскалатора - hello_html_6a1c94eb.gif неподвижного эскалатора в минуту. Значит, искомое время спуска равно 1: hello_html_6a1c94eb.gif = 1,5 (минуты).


Способ II. Пусть L метров - длина эскалатора, х метров в секунду - собственная скорость человека, у метров в секунду - скорость эскалатора. Тогда скорость спуска в первом случае составит (х + у) м/с, а во втором случае - (2х + у) м/с. Исходя из условия, составим систему уравнений: hello_html_8e8e4cd.gif

Решить ее можно, например, так:

hello_html_5e12ab27.gifhello_html_5f4f1aa4.gif


Искомое время спуска: hello_html_m6e1f2ab0.gif = 90 (секунд).

hello_html_79f41dc0.jpg

4.2. Ответ: ЕС = 1 см.

Так как

АD = ВЕ, СD = АЕ,

АDС = DЕС = ВЕА

(вертикальные углы), то (рис. 4)

ΔАDС = ΔВЕА.

Из равенства этих треугольников следует, что

АС = АВ, тогда ЕС = АС - АЕ = АВ - АЕ = 1 см

(по условию).




4.3. Ответ: нет, не успели.

Заметим, что если в турнире n участников, то по круговой системе должно быть сыграно hello_html_m6b464fd1.gif партий. партий. Поэтому, если число участников было 7, то сыгранных партий должно быть 21, если участников 8, то сыгранных партий - 28, а если участников 9, то сыгранных партий - 36. Так как всего было сыграно больше 21 партии, то количество участников больше семи, а так как было сыграно менее 28 партий, то количество участников, закончивших турнир, меньше восьми, а всего участников - меньше десяти.

Таким образом, первоначально в турнире могло участвовать либо 8, либо 9 шахматистов. В первом случае не сыграно 28 - 23 = 5 партий, а во втором 36 - 23 = 13 партий, то есть в обоих случаях остались несыгранными нечетное количество партий.

Если предположить, что Вася и Петя успели сыграть между собой, то количество несыгранных партий должно оказаться четным (поровну у Васи и у Пети).

6



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 16.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров481
Номер материала ДA-047814
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх