Урок по математике 7 класса - Турнир Архимеда

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Осташевская средняя общеобразовательная школа

Урок по математике для 7 класса

«Турнир Архимеда.

Математическая регата»

Наименование учебного предмета:	Алгебра, геометрия
Уровень, ступень образования:	Основная школа, 7 класс
Ф.И.О. учителя, составившего разработку данного урока	Шорникова Светлана Павловна
Квалификационная категория	Первая

Турнир Архимеда. Математическая регата. 

Условия задач

Первый тур.

(10 минут; каждая задача 6 баллов)

1.1. Положительные числа а и b таковы, что а² + b²= b² + а. Верно ли, что а = b?

1.2. В треугольнике АВС проведены высоты АР и СN, которые пересекаются в точке Н, лежащей внутри треугольника. Может ли угол АНС оказаться острым?

1.3. У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в математической регате?» Один сказал: «Меньше семидесяти двух». Другой: «Меньше семидесяти одной», — а третий: «Меньше семидесяти трех». Сколько команд участвовало в регате, если правы были в точности двое членов жюри?

Второй тур.

(15минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза. В результате на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?

2.2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СК, пересекающиеся в точке О. Может ли угол АОС оказаться острым?

2.3. Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр больше суммы цифр его квадрата?

Третий тур.

(15 минут; каждая задача – 7 баллов)

3.1. Говядина без костей стоит 90 рублей за килограмм, говядина с костями — 78 рублей за килограмм, а кости без говядины — 15 рублей за килограмм. Сколько костей в килограмме говядины?

3.2. Покажите, как разрезать прямоугольник 1*5 на пять частей и сложить их них квадрат.

3.3. Дан бесконечный ряд чисел:

                                                             2, 6, 12, 20, 30, 42...

Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2003-м месте.

Четвертый тур.

(20 минут; каждая задача – 8 баллов)

4.1. Если идти вниз по движущемуся эскалатору, то на спуск потратишь 1 минуту. Если увеличить собственную скорость в два раза, то спустишься за 45 секунд. За какое время можно спуститься стоя на этом эскалаторе неподвижно?

4.2. Даны точки А, В, С и D так, что отрезки АС и ВD пересекаются в точке Е. Отрезок АЕ на 1 см короче, чем отрезок АВ, АЕ = DС, АD = ВЕ, ∠АDС = ∠DЕС. Найдите длину ЕС.

4.3. Шахматный турнир проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграв одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Успели ли они сыграть между собой, если всего в турнире было сыграно 23 партии?

Ответы, решения и комментарии

Первый тур.

1.1. Ответ: неверно, например, а = 0,2, b = 0,8.

Для того, чтобы найти а и b, для которых верно данное равенство, преобразуем его:

а² – b² = а – b ⇔ (а - b)(а + b) = а - b ⇔ (а - b)(а + b - 1) = 0.

Следовательно, данное равенство верно, если а = b или а + b = 1. Таким образом, достаточно указать пару различных положительных а и b, для которых а + b = 1.

1.2. Ответ: нет, не может.   

Пусть АВС - данный треугольник, АР и СN - его высоты (рис. 1).

Так как угол АНС - внешний для треугольника СНР, то ∠АНС > ∠НРС = 90°.

Следовательно, угол АНС - тупой.

Комментарий. Заметим, что если не требовать, чтобы точка пересечения высот лежала внутри треугольника, то ответ будет положительным. Действительно, пусть АНС — данный треугольник, тогда точка В является точкой пересечения его высот АН и СР. В четырехугольнике ВРНN углы ВРН и ВNН — прямые, угол NHР — тупой. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то угол АВС — острый.

1.3. Ответ: 71.

Второе утверждение не может быть верно, так как в этом случае верны и два других утверждения, что противоречит условию. Следовательно, верными являются первое и третье утверждения, а второе — неверно. То есть, данное число меньше 72 и не меньше 71. Единственное число, удовлетворяющее данным условиям — 71.

Второй тур.

2.1. Ответ: 5 точек.

Способ I. Заметим, что если даны n точек, то после выполнения указанной операции появится еще n - 1 точка, а всего точек станет 2n - 1. Тогда количество точек перед проведением последней операции можно найти из уравнения 2n - 1 = 65, откуда n = 33. Далее, поступая аналогично, получим уравнения:

1) 2n - 1 = 33, откуда n = 17;

2) 2n - 1 = 17, откуда n = 9;

3) 2n - 1 = 9, откуда n — 5.

Способ II. Пусть х - первоначальное количество точек, тогда после проведения указанной операции в первый раз точек станет 2х - 1, а после повторения операции точек будет (2х - 1) + (2х - 2) = 4х - 3. Аналогично, в следующий раз точек станет

                                                                     (4х - 3) + (4х - 4) = 8х - 7,

а в итоге окажется

                                                                     (8x - 7) + (8х - 8) = 16л: - 15 точек.

Решая уравнение 16л: - 15 = 65 получим, что х = 5.

2.2. Ответ: нет, не может.

Способ I. Пусть АВС - данный треугольник, АМ и СК - его биссектрисы (рис. 2).

Пусть ∠АОС — острый, то есть ∠АОС < 90°, тогда, рассмотрев сумму углов треугольника АОС, получим, что

                                                                          ∠ОАС + ∠ОСА > 90°.

Следовательно,

                                                           ∠ВАС + ∠ВСА > 180°,

что невозможно, так как это углы треугольника АВС.

Способ II. Пусть ∠АВС = β, тогда вычислим угол АОС:

∠ВАС + ∠ВСА = 180° - β;

∠ОАС + ∠ОСА = 90° - 0,5β;

∠АОС = 90° + 0,5β > 90°, то есть ∠АОС — тупой.

2.3. Ответ: да, существует.

Заметим, что при возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 8 или на 9, последняя цифра уменьшается. Наименьшее число, удовлетворяющее условию- 39. Приведем еще несколько вариантов: 48, 49, 79.

Третий тур.

3.1. Ответ: 160 грамм.

Пусть в килограмме говядины х кг костей, тогда «чистой» говядины в ней - (1 – x) кг. Таким образом, стоимость костей составляет 15x рублей, а стоимость говядины — 90(1 – x) рублей. Исходя из условия, составим уравнение: 15х + 90(1- х) = 78. Решив уравнение, получим, что х = 0,16.

3.2. Смотри, например, рис. 3, а и б соответственно.

3.3. Ответ: 4 014 012.

Заметим, что разность между вторым и первым числом: 4 = 2 · 2, между третьим и вторым числом:

6 = 2 · 3, между четвертым и третьим 8 = 2 · 4 и так далее, то есть разность между соседними числами увеличивается на 2. Следовательно, разность между 2003-м и 2002-м числом будет равна 2 · 2003. Таким образом, 2003-е число отличается от первого на:

                                          S = 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4 + … + 2 · 2003.

Значит, 2003-е число равно:

                                          2 + S = 2 + 2 · 2 + 2 · 3 +

                                          + 2 · 4 + ... + 2 · 2003 =

                                          = 2 · (1 + 2 + 3 + ... + 2003) =

                                          = 2 · (1 + 2003) · 1002 =

                                         = 2003 · 2004 = 4 014 012.

Четвертый тур.

4.1. Ответ: 1,5 минуты.

Способ I. Так как 60 : 45 = , то во втором случае за минуту можно было бы пройти    эскалатора, то есть на    эскалатора больше, чем в первом случае. Это происходит за счет увеличения скорости человека в 2 раза. Следовательно, собственная скорость человека равна    неподвижного эскалатора в минуту. Так как в первом случае можно спуститься за одну минуту, то скорость движения эскалатора -  неподвижного эскалатора в минуту. Значит, искомое время спуска равно 1:   = 1,5 (минуты).

Способ II. Пусть L метров - длина эскалатора, х метров в секунду - собственная скорость человека, у метров в секунду - скорость эскалатора. Тогда скорость спуска в первом случае составит (х + у) м/с, а во втором случае - (2х + у) м/с. Исходя из условия, составим систему уравнений:

Решить ее можно, например, так:

                                                              ⇔ 

Искомое время спуска:   = 90 (секунд).

4.2. Ответ: ЕС = 1 см.

Так как

                     АD = ВЕ, СD = АЕ,

                    ∠АDС = ∠DЕС = ∠ВЕА

(вертикальные углы), то (рис. 4)

ΔАDС = ΔВЕА.

Из равенства этих треугольников следует, что

АС = АВ, тогда ЕС = АС - АЕ = АВ - АЕ = 1 см

(по условию).

4.3. Ответ: нет, не успели.

Заметим, что если в турнире n участников, то по круговой системе должно быть сыграно   партий. партий. Поэтому, если число участников было 7, то сыгранных партий должно быть 21, если участников 8, то сыгранных партий - 28, а если участников 9, то сыгранных партий - 36. Так как всего было сыграно больше 21 партии, то количество участников больше семи, а так как было сыграно менее 28 партий, то количество участников, закончивших турнир, меньше восьми, а всего участников - меньше десяти.

Таким образом, первоначально в турнире могло участвовать либо 8, либо 9 шахматистов. В первом случае не сыграно 28 - 23 = 5 партий, а во втором 36 - 23 = 13 партий, то есть в обоих случаях остались несыгранными нечетное количество партий.

Если предположить, что Вася и Петя успели сыграть между собой, то количество несыгранных партий должно оказаться четным (поровну у Васи и у Пети).