Урок по математике «Корень n-ой степени» (11 класс)

Тема урока : «Корень n-ой степени»

(Урок обобщения и систематизации знаний.)

Три пути ведут к знанию:

Путь размышления - самый благородный,

Путь подражания - самый лёгкий

И путь опыта - это путь самый горький…

Конфуций

Цели урока:

• Обобщить и систематизировать полученные знания по данной теме; 

• сформировать навыки применения свойств степенной функции при решении математических задач;

• Развить навыки преобразования выражений, содержащих арифметический корень;

• Развить навыки самоконтроля при выполнении тестовых заданий;;

• Воспитать волю и настойчивость для достижения конечных

результатов при выполнении заданий.

Этапы урока и их содержание	Время (мин)	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Организационный этап	1	организационная	Сообщают об отсутствующих
2.Постановка целей . Сегодня на уроке мы систематизируем знания по теме «Корень n-ой степени», повторим свойства корней, применим нестандартные подходы к решению нестандартных задач.	3	Сообщает тему урока, дату проведения урока, цели урока	Записывают в тетради
3. Повторение основных понятий Фронтальная беседа: -Дать определение корня n-й степени -Дать определение арифметического корня n-й степени -Какими свойствами обладает корень n-й степени?	7	Учитель задает вопросы по теме, следит за верностью ответов учащихся  (Приложение 1)	отвечают на поставленные вопросы, - записывают свойства на листе - проверяют правильность ответов
4. Воспроизведение и коррекция опорных знаний Устная работа:  а) Какие выражения имеют смысл? б) при каких значениях переменной а имеет смысл выражение? в) вычислить Письменная работа: При каких значениях х имеет смысл выражение ( показать два способа выполнения этого задания: метод интервалов, с помощью графика) .	10	Учитель оценивает ответы учащихся,. Вызывает по желанию 3 человек к доске, корректирует их работу. (Приложение 2)	Учащиеся выполняют устную работу, поясняя, какими свойствами они пользовались. 3 человека работают у доски, остальные выполняют задание в тетрадях
5. Обобщение и систематизация знаний Учитель напоминает способы извлечения корней: По таблице Алгебраический – метод приближенного вычисления. Древневавилонский 4. Извлечение корней третьей степени	10	Учитель показывает применение способов извлечения корней на нескольких примерах. (Приложение 3)	Учащиеся вспоминают способы извлечения корней, записывают примеры в тетради, выполняют вычисления самостоятельно
6.      Усвоение ведущих идей и основных теорий Учитель вводит формулу   =     . И предлагает решить задание вместе по образцу	12	Учитель предлагает новую формулу  для нестандартных заданий, показывает на примере её применение (Приложение 4)	Учащиеся записывают формулу в тетрадь, рассматривают образец решения и решают предложенные задания у доски и в тетрадях
7.      Применение ЗУН-ов в стандартных ситуациях Предлагается  устная работа : Верно  ли  равенство?  (Если  необходимо,  можно  обратиться  к  словарю.)          = 2;                                  =  2;                                     ()2  =  2;             =  - 2;                                     = а;                                           =   - а;             =  ;                                 а  -   = 0;                                    -   =  2а;           а  -   =  а  -;                            =  3;                                           =  - 2;             =  2;                                           =  3;                                         =  . Вычислить  (устно): 1)    2)    3)  ;         4)  ;   5) ;   6)  ;  7) ;  8)  .	9	Проверяет правильность рассуждений учащихся при решении упражнений (Приложение 5)	Учащиеся работают устно, повторяя свойства
8.      Оперирование ЗУН-ми в нестандартных ситуациях. Предлагается алгебраический тренажер для наработки навыков упрощения выражений с корнями Алгебраический  тренажер: Вычислить  (письменно):    а) 0,5  ·     ·    -  ;     б) ·  · ·  . Определите  знак  выражения:   а)  ;                                  б)  (;    в)    3.Упростить:а)                                     б)	15	Учитель корректирует работу групп. Проверяет правильность ответов.	Класс разбивается на 3 группы и выполняют задание поочередно: (1группа выполняет 1 задание, 2группа- 2 задание, 3 группа- 3 задание. Затем группы меня-ются заданиями ) После выполнения работы происходит взаимопроверка групп
9.      Переменка Вводится понятие софизма . Предлагается найти ошибку в следующих рассуждениях:            Рассмотрим тождество:  4 – 10 = 9 -15       Добавим к обеим частям тождества  6., получим                        4 – 10+6 = 9 – 15 + 6      Преобразуем:   22 – 2 * 2 * +()2 = 32 + 2 * 3 *  + ()2         Свернув формулу, имеем                                     (2 - )2 = (3 - )2 Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:                                               2 -  = 3 - Добавим к обеим частям равенства  + 2     2 -  +  + 2 = 3 -  +  + 2  Получили абсурдный результат:   22 = 5. Найти ошибку. (Извлекать квадратные корни из обеих частей равенства можно только для положительных  чисел, а у нас 2 - < 0,    3 -  > 0).	5	Учитель вводит понятие софизма и предлагает послушать учащегося, увлекающегося математикой	Ученик представляет доказательство тождества 4=5 . Где ошибка
10.  Тестирование Предлагается учащимся компьютерное тестирование (Приложение 7)	13	Учитель проводит инструктаж по ТБ при работе на компьютере, следит за выполнением заданий	Учащиеся слушают инструктаж, выполняют тест.
11. Подведение итогов урока Почему вам было легче (сложнее) в той или иной роли?	3	Анализ оценки деятельности на разных этапах урока: Учитель  отмечает,  в  какой  мере  достигнуты  цели  урока,  оценивает  работу  каждого  ученика.	-отвечают на вопрос
12. Рефлексия.	2	карточки «+» и «-» .	Учащиеся выражают свои впечатления об уроке.
13.Домашнее задание Сборник задач для подготовки к ЕГЭ под редакцией Ф.Ф. Лысенко №14, 18,20,21,22	2	выполнить задание того уровня, с которым не справились Спасибо за урок	записывают домашнее задание

Приложение 1

.   Повторить  пройденный  теоретический  материал

1.      Алгебраический  словарь.

 =  в,  в²  == а,  а ≥  0,   в  ≥  0 

   =  в,  в^п =  а

1. п  -  четное

а ≥  0,    в  ≥ 0                             ()²  =  а,  а  ≥  0

2. п  -  нечетное

       а,в  -  любые                              ()^п  =  а

  = 

                        а,  если  а  ≥  0                                                 - а,  если  а  < 0

  = 

 

                      а  -  в.  если  а ≥  в                                                          в  -  а,  если  а <  в

,  а ≥  0,   в ≥  0

.,  а  ≥ 0,  в  ≥ 0

,  а ≥  0,  в >  0

,  а  ≥ 0,   в  > 0

                                     а  ≥ 0

                           m, n, k  -    натуральные  числа

Приложение 2

1)Устная  работа

а)  Какие  выражения  имеют  смысл?

   ;   ;   ;     ;    

     ;   ;  ;  ;

     ; ;   ;   ;

    ; ;    ;  .

б) при  каких  значениях  переменной  а  имеет  смысл  выражение?

                                                                             

                                                                          

                                                                        

                                                                        

                                                                     

в) Вычислите:

;      ;   ;     ;    ;   ;    ;  .

2)      Письменно:

При  каких  значениях  х  имеет  смысл  выражение:

1.  -  решить  у  доски  (показать  два  способа  выполнения  этого  задания:  метод  интервалов;  с  помощью  графика)

2.    - решить  самостоятельно

3.     -  комментированное  письмо

Приложение 3

Вспомним  некоторые  способы  извлечения  квадратных  корней:

1.По  таблице.

2.Алгебраический  - метод  приближенного  вычисления,  используя  таблицу  квадратов  или  используя  следующее  правило:

 Разобьем  данное  число  на  грани  (справа  налево,  начиная  с  последней  цифры),  включив  в  каждую  грань  по  две  рядом  стоящие  цифры.

 Подбираем    наибольшую  цифру,  такую,  что  ее  квадрат  не  превосходит  числа,  находящегося  в  первой  грани;  эта  цифра  -  первая  цифра  результата.

 Возведем  первую  цифру  результата  в  квадрат,  вычтем  полученное  число  из  первой  грани,  припишем  к  найденной  разности  справа  вторую  грань.  Получится  некоторое  число  А. Удвоив  имеющуюся  часть  результата,  получим  число  а.  Теперь  подберем  такую  наибольшую  цифру  х,  чтобы  произведение  числа  ах  на  х  не  превосходило  числа  А.   Цифра  х  -  вторая  цифра  результата.

 Произведение  числа  ах  на  х  вычтем  из  числа  А,  припишем  к  найденной  разности  справа  третью  грань,  получится  некоторое  число  В.  Удвоив  имеющуюся  часть  результата,  получится  число  в.  Теперь  подберем  такую  наибольшую  цифру  у,  чтобы  произведение  числа  ву  на  у  не  превосходило  число  В.   Цифра  у  -  третья  цифра  результата.

 Следующий  шаг  правила  повторяет  предыдущий.

Пример.        Вычислить  .           Разобьем  число  на  грани:    13¹83¹84  -  их  три.

                                                                        Первая  цифра  результата  3,  так  как  3²  < 13,

                        =  372                  тогда  как  4²  > 13. Вычтя  9  из  13,  получим  4.

-   9                                        Приписав  к  4  следующую  грань,  получим 

                      67     483                                    А = 483.Удвоив  имеющуюся  часть  результата,

7          469                                     т.е.  число  3,  получим  а  =  6.  Подберем        

                    742       1484                                 теперь  такую наибольшую  цифру  х,  чтобы 

2              1484                                 произведение  двузначного  числа  ах  на  х 

0                                                                    было  меньше  483.  Такой  цифрой будет  7,

 так  как  67 · 7  =  469  -  это  меньше  483,  тогда  как  68 · 8  =  544  -  это  больше  483. Итак,  вторая  цифра  результата  7. Вычтя  469  из  483,  получим  14.  Приписав  к  этому  числу  справа  последнюю  грань,  получим  в  =  1484.  Удвоив  имеющуюся  часть  результата,  т.е.  число  37,  получим  В  =  74.  подберем  теперь  такую  наибольшую  цифру  у,  чтобы  произведение  трехзначного  числа  ву  на  у  не  превосходило  1484.  такой  цифрой  будет  2,  так  как  74·2  2  =  1484 .  Цифра  2  -  последняя  цифра  результата.  В  ответе  получили  372 ( если  учащиеся  знакомы  с  этим  методом,  то  на  уроке  можно  только  напомнить  его,  если  нет,  то  показать  его  применение  на  нескольких  примерах ).

3.Древневавилонский:  =    =  а  +   .

Пример:

  Найти .  Для  решения  задачи  данное  число  разлагается  на  сумму  двух  слагаемых:  1700  =  1600  +  100 =  40²  +  100,  первое  из  которых  является   полным  квадратом. Затем  применяем  формулу.

  =    =  40  +    =  41,25.

Проверим  правильность  вычисления.  Найдем    по  таблице  и  сравним  полученные  результаты.

Выполни  по  образцу:                 .

Попробуем  научиться  извлекать  корень  третьей  степени.

Подсказка.

        1³  =  1;                                   4³  =  64;                                      7³  =  343;

        2³  =  8;                                   5³   =  125;                                    8³  =   512;

        3³  =   27;                                6³  =  216;                                    9³  =   729.

Образец. 

  =  83

(Чтобы  найти  число  десятков  искомого  числа,  надо  определить  сколько  тысяч  в  подкоренном  выражении  (571)  и  найти  по  таблице  число,  близкое  к  данному,  571  ближе  к  512,  значит,  число  десятков  равно  8;  число    единиц  определяем  по  последней  цифре  данного  числа,  т.к.  в  данном  числе  571787  последняя  цифра  7,  то  по  таблице  определяем,  что  цифра  7  последняя  в  числе  27,  значит,  число  единиц  равно  3.)

Реши  сам:

;     .

Приложение 4

А  как  вычислить  ?  (Способы  различные,  рассмотреть  все  варианты,  выслушать  все  рассуждения  учащихся  и  предложить  им  выполнить  задание  по  предложенной  формуле,  сравнить  полученные  результаты  и  сделать  вывод.)  

Ввести  формулу:

  =     .

Образец.

 =    +   =    +   =    +  1.

Попробуем  вместе:   (работаем у  доски)

.

(Решение:  1)  = 4 =  4 =

4 ( + =  4(=  4( + 2);

2) =   =  =  =

 -  =  - 2.

Приложение5

Верно  ли  равенство  (устно):

Если  необходимо,  можно  обратиться  к  словарю.

         = 2;                                          =  2;                                     ()²  =  2;  

          =  - 2;                                     = а;                                          =   - а;

            =  ;                                 а  -   = 0;                                   а  -   =  2а;

          а  -   =  а  -;                            =  3;                                           =  - 2;

            =  2;                                           =  3;                                         =  .

Вычислить  (устно):

1)    2)    3)  ;         4)  ;   5) ;   6)  ;

 7) ;  8)  .

Алгебраический  тренажер:

3. Вычислить  (письменно):    

а) 0,5  ·     ·    -  ;     б) ·  · ·  .

4. Определите  знак  выражения:

               а)  ;                                  б)  (;   

в)  ( 

         3.Упростить:

а)                                     б)  

(Задания  можно  выполнять  комментированием,  у  доски,  самостоятельно,  учитывая  уровень  подготовки  учащихся.)