Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок по математике на тему "Графы"

Урок по математике на тему "Графы"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Графы

Цели:

- обеспечить усвоение учащимися особенностей графов;

- обобщить и систематизировать знания о графах;

- отработать навыки решения задач о графах;

Задачи:

-Формирование умения работать с новой информацией по теме графы (отбирать, выделять, выстраивать в логике, обобщать);

-Формирование умения слушать и слышать, выстраивать речевые высказывания;

-Формирование умений работать в статичных и мигрирующих группах (коммуникативные УУД);

Формирование разнообразных форм рефлексии (регулятивные УУД).

Ход урока:

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Понятие графа

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

hello_html_m1da7520d.gif

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

hello_html_62c87755.gif

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

hello_html_539a09aa.gif

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

hello_html_611d1cb4.gif

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

hello_html_m2a080041.gif

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными.

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими ?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5.Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным hello_html_m6e2a3d12.gif. Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема: Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Связность графа

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство: Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

hello_html_m3c5d4bf4.gif

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

hello_html_m3569a05b.gif

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5. В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Графы Эйлера

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз ?

hello_html_me698b91.gif

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема: Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

hello_html_6db35b5c.gif

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Рис. 1

hello_html_m2a01c358.gif

Рис. 2

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

hello_html_454b8c8c.gif

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:

При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 . 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей ?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей ?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение. Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство. Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

hello_html_546d135a.gif

факультатив в 5-м классе

Цели и задачи:

  • познакомить учащихся с односторонней поверхностью, методом графов,

  • привить навыки исследований.

Оборудование:

  • бумажная полоска 30 см в длину и 3 см в ширину;

  • ножницы;

  • клеящий карандаш,

  • куб,

  • план города Кенигсберга,

  • русский алфавит.

Ход занятия

Учащиеся работают в группах по два человека.

1 задание (опыт):

-Попробуйте провести непрерывную линию по полоске, не отрывая карандаша от листа бумаги. Что вы получили? Сформулируйте вывод.

группы с нечетными номерами склеивают полоску в простое кольцо;

группы с четными номерами склеивают полоску в перекрученное кольцо.

Учащиеся делают следующие выводы: По простому кольцу нельзя провести непрерывную линию, а по перекрученному кольцу можно.

Учитель резюмирует: Перекрученное кольцо называют листом Мебиуса. Оно является примером односторонней поверхности. Изучением свойств односторонних поверхностей занимается наука топология. С точки зрения топологии гайка, кружка, макаронина – одинаковые объекты (у них только одно отверстие). В русском алфавите тоже есть топологически одинаковые буквы (о-б-р) например. Впервые такой опыт провел немецкий геометр и астроном Август Мебиус. Он заметил, что у перекрученного кольца – только одна сторона А. Мебиус изучил и описал свойства односторонних поверхностей. Рассмотрим и мы одно из них.

Проведем следующий опыт.

2 задание:

-Какие из фигур можно вычертить, не отрывая карандаша от листа бумаги, а какие нет и почему? Как вы думаете?

hello_html_meacb81b.jpg

1                       2                      3

Учащиеся выполняют задание и делают вывод: Фигуру 2 можно начертить одним росчерком, а фигуры 1 и 3 – нельзя.

Учитель резюмирует: А. Мебиус подсчитал четность узлов в графе. Граф – это связная сеть кривых, как на рисунке.

hello_html_6e8dd86d.jpg

Точки, в которых кривые соединяются, называются узлами. На нашем графе 5 узлов, причем три из них четные, а два нечетные. Если в графе число нечетных узлов больше двух, то фигуру нельзя начертить одним росчерком. Данное свойство помогло решить задачу о Кенигсбергских мостах. Описал и решил ее Л. Эйлер.

Задача:

-Город Кенигсберг был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Части города соединены между собой 7 мостами. Совершая прогулки. горожане спорили: можно ли пройти по каждому мосту только один раз и вернуться в начальную точку пути?

Рассмотрим рисунок. План города для решения задачи представим в виде графа.

hello_html_m4f9e1ae9.jpg

На этом графе четыре узла, так как четыре части суши и семь кривых. Узлы являются нечетными, так как к трем подходят по три кривых, а к четвертому узлу – пять кривых. Поскольку все узлы нечетные, то этот граф нельзя начертить одним росчерком. Задача невыполнима.

3 задание: Оса забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли оса последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру, не перелетая и не подпрыгивая?

Решение: Представим куб в форме графа. В графе 6 узлов, к которым подходят по три кривых, поэтому узлы являются нечетными и их больше двух, значит, оса не сможет обойти последовательно все 12 ребер.

4задание:

-Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль. Что получилось? Разрежьте перекрученное кольцо вдоль. Что получилось? Продолжим перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.

Результаты запишем в таблицу.

Учащимся предложено самостоятельно провести опыт для 2,3 полуоборотов и сделать вывод.

Подведение итогов занятия: Вы познакомились с несколькими свойствами односторонней поверхности и убедились сами, что попробуй простую фигуру сложить, как вмиг увлекаешься делом.




Автор
Дата добавления 27.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров592
Номер материала ДБ-100743
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх