Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике на тему "Квадратное неравенство"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике на тему "Квадратное неравенство"

библиотека
материалов

Квадратное неравенство. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции


Дата: ___________



Цели урока:

Коррекция и контроль знаний по теме «Квадратные неравенства».

Задачи урока:

Образовательные:

проконтролировать уровень усвоения способов решения квадратных неравенств.

Развивающие:

проверить уровень самостоятельности мышления по применению алгоритмов.

Воспитательные:

содействовать воспитанию у учащихся: трудолюбия и усидчивости; сознательной дисциплины на уроке.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Новый материал.

Квадратными называются неравенства вида hello_html_m70ba65fc.png

Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: hello_html_m73026fd0.png.

Решить неравенство: hello_html_m681cd0b6.png

Умножаем обе части неравенства на hello_html_m72a6ebf.png, чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем: hello_html_7f9d074e.png

Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая hello_html_m34cc3cbb.png.

Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента: hello_html_7f9d074e.png

Рассмотрим функцию: hello_html_599b4ac4.png, применяем теорему Виета,

hello_html_790e17be.png

hello_html_mfa7c5ff.png

Раскладываем на линейные множители: hello_html_6bcdbf0d.png

Построим график функции (Рис. 1):

hello_html_6a3c4e8e.jpg

Рис. 1. График квадратичной функции

I способ решения неравенства

hello_html_7bd1a27b.png Произведение двух скобок – число отрицательное.

Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.

Если hello_html_m39a932ef.png, тогда hello_html_5bbb52f6.png или hello_html_3c74c693.png, тогдаhello_html_502d3f61.png

Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.

hello_html_126db7b7.png или hello_html_150787e2.png

Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):

hello_html_96a8a4c.png

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы: hello_html_m4a382749.png

Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):

hello_html_104c528.png

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.

Ответ: hello_html_m4a382749.png

II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью hello_html_m6901de4b.png), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью hello_html_m6901de4b.png). Так, заданное неравенство выполняется для всех hello_html_m6901de4b.png, лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена: hello_html_m340dd22.png

Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.

3. Пример №2

Решить неравенства: 1) hello_html_f441544.png; 2) hello_html_m5344f5a3.png

Построим график функции (Рис. 4):

hello_html_6269bcab.png

Рис. 4. График квадратичной функции

Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).

1. hello_html_54c505a6.png или hello_html_m279a838b.png

2. hello_html_m5b7ab61f.png

hello_html_m25a096c7.png hello_html_5831477d.png нет решенийhello_html_4d5ff989.png

hello_html_46edc30a.png hello_html_3eafbad5.png

4. Пример №3

Рассмотрим функцию: hello_html_39987859.png. Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.

hello_html_1953d207.png

Построим график функции (Рис. 5)

hello_html_m51761db1.jpg

Рис. 5. График квадратичной функции

Функция везде положительная и только в одной точке при hello_html_m5cad01b0.png, она равна нулю.

Решить неравенства:

hello_html_45e981d.png. Решением являются все значения hello_html_65da375e.png, кроме hello_html_m5cad01b0.png. Ответ:hello_html_m3d8ff020.png или hello_html_m5c9df046.png

hello_html_7a00d060.png Решение неравенства: hello_html_3157e1d6.png

hello_html_m96e4d8b.png Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.

hello_html_m3a7580.png Решение неравенства hello_html_m371371a3.png

5. Пример №4

Рассмотрим функцию: hello_html_157c241.png. Дискриминант этой функции больше нуля.hello_html_6c457a57.png.

Корнями здесь являются: hello_html_m6091d6dc.png

График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью hello_html_m6901de4b.png, а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью hello_html_m6901de4b.png. Значит, функция при всех этих hello_html_m6901de4b.png отрицательна. В точках hello_html_6215a573.png функция равна нулю.

hello_html_51532695.jpg

Рис. 6. График квадратичной функции

Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:

1.hello_html_m16d219a7.png; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства: hello_html_6f950a3f.png или hello_html_m64e76207.png

2.hello_html_m60a215f2.png; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение hello_html_234c242e.png.

6. Пример №5

Рассмотрим функцию: hello_html_6bbe0c67.png. Дискриминант этой функции меньше нуля. hello_html_m62e404fc.png. Функция не имеет корней

График функции:

График этой функции – парабола,  ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).

hello_html_mebf4d8.jpg

Рис. 7. График квадратичной функции

Выделим полный квадрат: hello_html_101eb6be.png. Если квадрат числа – величина неотрицательная, то hello_html_m6259ef3e.png при всех значениях hello_html_m11d345fb.png

Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где hello_html_34b0d274.png.

1. hello_html_7f9f66de.png. Решение: hello_html_3157e1d6.png

2. hello_html_m7e78393.png. Нет решений.

7. Пример №6

Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.

hello_html_m34fb11fe.png. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.

hello_html_m4f91c249.png

Решение неравенства:

Рассмотрим функцию: hello_html_m61e60355.png. Корни равны hello_html_6287c8fa.png Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).

hello_html_m4162641b.jpg

Рис. 8. График квадратичной функции

Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.

hello_html_m3749f121.png при hello_html_65a60b1f.png или hello_html_m281697e3.png

Ответ: hello_html_65a60b1f.png или hello_html_m281697e3.png

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.


3.Закрепление. Решить на доске № _________________________________.

4. Итоги урока.


5
. Домашнее задание. §____, № ___________.


Автор
Дата добавления 25.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров284
Номер материала ДВ-284385
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх