Урок по математике на тему "Квадратное неравенство"

Квадратное неравенство. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

        Дата: ___________

Цели урока:

Коррекция и контроль знаний по теме «Квадратные неравенства».

Задачи урока:

Образовательные:

проконтролировать уровень усвоения способов решения квадратных неравенств.

Развивающие:

проверить уровень самостоятельности мышления по применению алгоритмов.

Воспитательные:

содействовать воспитанию у учащихся: трудолюбия и усидчивости; сознательной дисциплины на уроке.

           Ход урока

           1. Организационный момент.

2. Новый материал.

Квадратными называются неравенства вида 

Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: .

Решить неравенство: 

Умножаем обе части неравенства на , чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем: 

Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая .

Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента: 

Рассмотрим функцию: , применяем теорему Виета,

Раскладываем на линейные множители: 

Построим график функции (Рис. 1):

Рис. 1. График квадратичной функции

I способ решения неравенства

 Произведение двух скобок – число отрицательное.

Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.

Если , тогда  или , тогда

Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.

 или 

Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы: 

Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.

Ответ: 

II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью ), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью ). Так, заданное неравенство выполняется для всех , лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена: 

Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.

3. Пример №2

Решить неравенства: 1) ; 2) 

Построим график функции (Рис. 4):

Рис. 4. График квадратичной функции

Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).

1.  или 

2. 

  нет решений

 

4. Пример №3

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.

Построим график функции (Рис. 5)

Рис. 5. График квадратичной функции

Функция везде положительная и только в одной точке при , она равна нулю.

Решить неравенства:

. Решением являются все значения , кроме . Ответ: или 

 Решение неравенства: 

 Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.

 Решение неравенства 

5. Пример №4

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции больше нуля..

Корнями здесь являются: 

График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью , а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью . Значит, функция при всех этих  отрицательна. В точках  функция равна нулю.

Рис. 6. График квадратичной функции

Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:

1.; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства:  или 

2.; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение .

6. Пример №5

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции меньше нуля. . Функция не имеет корней

График функции:

График этой функции – парабола,  ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).

Рис. 7. График квадратичной функции

Выделим полный квадрат: . Если квадрат числа – величина неотрицательная, то  при всех значениях 

Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где .

1. . Решение: 

2. . Нет решений.

7. Пример №6

Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.

. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.

Решение неравенства:

Рассмотрим функцию: . Корни равны  Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).

Рис. 8. График квадратичной функции

Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.

 при  или 

Ответ:  или 

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.

3.Закрепление. Решить на доске № _________________________________.

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание. §____, № ___________.