Первообразная
1 курс,
профессии Мастер по обработке цифровой информации
Преподаватель:
Абдурахманова
Зарема
Курбанисмаиловна
На этом уроке мы вспомним
определение первообразной и изучим правила отыскания первообразной.
1. Определение первообразной функции
Определение. Функцию называют
первообразной для функции на
заданном промежутке ,
если для всех из
выполняется
равенство .
2. Методика нахождения первообразной на примерах
Несколько
разъясняющих примеров:
–
первообразная для
Чтобы это подтвердить, возьмем
производную
первообразная
для
Итак, мы привели 2 примера, которые
подтверждают определение и используют его.
Напомним две задачи:
Прямая задача: Дана
функция .
Найти .
Процесс называется дифференцированием.
Обратная задача: Дана
функция –
производная неизвестной функции Найти
Процесс
называется интегрированием.
Какие основные инструменты для
нахождения первообразных?
3. Таблица первообразных
Нахождение
- таблице первообразных, которую мы
повторим;
- правилам отыскания первообразных,
которые мы изучим.
Таблица
Функция
|
Первообразная
|
0
|
1
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим:
Таким образом проверяются все
строчки таблицы. То есть, выполняется соотношение: .
4. Правила отыскания первообразных с подтверждающими
примерами
Переходим к правилам отыскания
первообразных.
Правило 1.
Первообразная суммы равна сумме
первообразных.
Дано:
Доказать:
Доказательство: что и
требовалось доказать.
5. Пример 1
Функция состоит из двух функций.
Найти первообразную функции:
Пример подтверждает правило 1.
Правило 2. (о
постоянном множителе)
Дано:, то есть –
первообразная для f, k – const.
Доказать:
kF – первообразная для kf.
Доказательство:
Доказательство основывается на
определении первообразной и на правиле дифференцирования: .
Что и требовалось доказать.
Смысл правила: если мы знаем
первообразную для f, то чтобы получить первообразную для kf,
нужно первообразную F умножить на k.
Подтверждающий
пример:
Правило 3. Если –
первообразная для функции,
то первообразная
для .
Дано:.
Доказать:
, что и
требовалось доказать.
6. Пример 2
Если ,то
Проверка: ( ..
Необходимые пояснения: вместо мы
имеем скобку ().
Как это отражается на нахождении первообразной? Следующим образом:
первообразная от но
надо разделить на коэффициент при х.
Пример 1.
Найти одну из первообразных для
функции
a)
Решение:
a)
Ответ:
Проверка:..
Пример 2.
Найти одну из первообразных для
функции
б)
Решение:
б)
Ответ:
Проверка: =
.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и
начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В.
Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М.,
Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.:
Просвещение.
Дополнительные
рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Ucheba-legko.ru (Источник).
- Cleverstudents.ru (Источник).
- Matica.org.ua (Источник).
Домашнее задание
- Найти одну из первообразных
для функции
- Найти одну из первообразных
для функции
- Алгебра и начала анализа,
Мордкович А.Г.: № 991, 992, 994, 995.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.