Урок по математике на тему "Прогрессии" (9 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей №2»

Урок по алгебре в 9 классе
тема: «Прогрессии»

                                                                  Учитель математики,
                                                                  первой квалификационной категории
                                                                  Горбунова Н.В.

Альметьевск, 2017

Тема: Прогрессии

Цели:

-  реализации становления ученика как субъекта познавательной активности;

-  развитие способностей осуществлять творческую деятельность;

-  приобщение учащихся к ценностям и открытиям ученых, приобщение к логике мышления, характерной для математическойдеятельности.

Тип урока: обобщающий урок.

Оборудования: компьютер, проектор

Плакат: «В науке о числах... надо ожидать весьма многого от наблюдения, ибо они постоянно приводят нас к новым свойствам, над доказательством, которых приходится работать» Л.Эйлер

Ход урока

      I.            Исторические сведения о прогрессиях. Выступление 1. и 2

  II.            Тест (проверка через проектор).

III.            Решение задач с практическим применением.

IV.            Итог урока:
a) оценки за урок;

б) рефлексия

  V.            Домашнее задание. Дифференцированные задания.

Исторические справки.

1.                Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V—VI вв.). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении, например последовательности натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — доказательной функцией натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания- учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

·         1, 2, 3, 4, 5, ... – последовательность натуральных чисел;

·         2, 4, 6, 8, 10, ... – последовательность четных чисел;

·         1, 3, 5, 7, 9, ... – последовательность нечетных чисел;

·         1, 4, 9, 16, 25, ... – последовательность квадратов натуральных чисел;

·         2, 3, 5, 7, 11, ... – последовательность простых чисел;

·         1, .... … - последовательность чисел, обратных натуральным.

2.                «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вто-
рую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т.д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». 

В этой задаче речь идет о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2², 2³, …, 2⁶³.Ее сумма равна:

2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

Самостоятельная работа

Вариант 1.

1.     Укажите пять первых членов последовательности, заданной формулой ее п-ого члена: а_n = n³ (n - 4).

а)  -3,-16, -27, 0, 125;

б)  0, -3,-16, -27,-125;

в)  1,2, 3,4, 5;

г)  -27,-16, -3,0, 125;

д)  другой ответ.

2.     Задайте формулой п-ого члена последовательность 3/5; 7/11; 11/17; 15/23;...

а)  определить нельзя;

б)  а_n=(2n+1) / (2n+3);

в)  а_n=(4n+3) / (6n+5);

г)  а_n =(4n-5) / (6n-7);

д)  а_n=(4n-1)/(6n-1);

3.     Найдите номер члена арифметической прогрессии -3; 4; 11;..., равного 25.

а)  5;

б)  6;

в)  4;

г)  7;

д)  другой ответ.

4.     Сумма членов арифметической прогрессии (a_n)выражается формулой S_n=5n²+ Зп. Найдите а₂/ а₁.

а) определить нельзя;

б)4;

в)  2 целых 1/4;

г)  3;

д)  1/3.

5.     Выберите верное утверждение.

а)  числовая последовательность b₁b₂, ..., b_n называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b_n+1= b₁qⁿ⁺¹;

б)  b_n= b₁qⁿ⁺¹–формула n-ого члена геометрической прогрессии;

в)  S_n= b₁(qⁿ-1)/q- 1, q≠l;

г)  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель больше 1;

Д) 0,(9) <1.

6.     Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятый член равен 1/16, а восьмой член равен 1/1024.

а)  1/4 и 16;

б)  4 и 1/16;

в)  1/16 и 4;

г)  16 и 1/4;

д)  определить нельзя.

7.     Какая из последовательностей является бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

а)  8; 4; 0; -4;...;

б)  1/243; 1/81; 1/27;...;

в)  81;-9;-1; 1/9;...;

г)  -3; 1/3;-1/27;...;

д)  нет вариантов

8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n),если известно b₅–b₁ = 15; b₄–b₂ = 6.

а)  -2 или -0,5;

б)  2 или 0,5;

в)  2 или -2;

г)  0,5 или -0,5;

д)  определить нельзя.

Вариант 2.

1.    Укажите четыре первых членов последовательности, заданной реккурентной формулой:
 b_n+1= -3b_n+7, b₁=2.

а)  -2,-1, 10, -23;

б)  -1, 10, -23,76;

в)  2, 1,4, -5;

г)  1, 4, -5, 22;

д)  определить нельзя.

2.      Выберите неверное утверждение.

а)  последовательность бывает конечной и бесконечной;

б)  числовая последовательность а₁, а₂, …, а_nназывается арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство a_n+1+ d= а_n, где d- некоторое число;

в)  a_n = a₁ + (n – 1)d– формула n-ого члена арифметической прогрессии;

г)  сумма n первых членов арифметической прогрессии равнаS_n=((a1+a_n)/2)*n;

д)  в арифметической прогрессии а₃ + а₉ = 8, тогда S_n=44.

3.    Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а_п), еслиа₇ — 22, а₉= 32.

а)  a₁=-5, d= 2;

б)  а­₁ =-8, d= 5;

в)  а₁=72, d= -5;

г)  а₁=2, d= 5;

4.    Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 7; 5; 3; 1;...

а)  520

б)  -480

в)  -240

г)  380

д) 400

5.    Какая из указанных последовательностей является геометрической прогрессией?

а)  а_n=2n;

б)  а_n=2ⁿ

в)  а_n=n/Зⁿ

г)  а_n=n/(n+1);

Д) а_n=0.

6.    Известно, что в геометрической последовательности первый член равен 32, а второй 8. Найдите шестой член прогрессии.

а)  1/32;

б)  1/128;

в)  1/16;

г)  1/4;

д)  другой ответ.

7.    Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 81, а знаменатель равен 1/3.

а)  364;

б)  60 целых 2/3;

в)  728;

г)  121;

д)  121 целая 1/3.

8.    Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -343; -49; -7;...

а)  -400 целых 1/6;

б)  400 целых 1/6;

в)  -294;

г)  294;

д)  другой ответ.

Вариант	I	II
1.	А	В
2.	Б	Б
3.	А	Б
4.	В	В
5.	А	Б
6.	А	А
7.	Г	Г
8.	Б	А

Задача 1. «Хозяин и работник». Хозяин нанял работника на неделю (с понедельника по воскресенье включительно), повышая ему каждый день зарплату на одну и ту же величину. Сколько всего получил работник, если за четверг ему заплатили 3 рубля? 
Решение:
А) а + (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) (а + 4d) (а + 5d) (а + 6d) = 7 7а + 21 d=7(а + + 3d) -7*3 = 21 рубль

Б) S_n=n*а_k

Доказательство:

S_n= * n

n = 2k – 1

1 + n = k + k

a₁+ а_n = а_k + а_k

а_k =

Задача 2 (с инсценировкой). «Покупатель и продавец». В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу, которую привожу здесь, не сохраняя языка подлинника:
Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй - 1/2 коп., за третий - 1 коп. и т. д. Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
На сколько покупатель проторговался?
Решение:
b_n -  ; (b_n):  +  + 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2^24-3; q = 2

S₂₄ =  =  =  * 2²⁴- = 2²² -  = 4194304 – 0.25 = 4194303.75 копейки = 42 тыс. рублей (при таких условиях не обидно и лошадь дать в придачу).
(На экране через проектор – лошадь)

Задача 3 (на доказательство)

Доказать, что Р² = (b₁+ b_n)ⁿ

Доказательство:

Задача 4 (творческая).

Дан квадрат со стороной 1. Каждую из его сторон разделяют на три равные части и соединяют ближайшие точки смежных сто­рон. Полученные треугольники отрезают (рис. 1). Так же поступа­ют с оставшимся 8-угольником (рис. 2), затем — с 16-угольником и т. д. до бесконечности. Требу­ется найти площадь фигуры, кото­рая получится в результате.
Решение:
Сразу создаётся впе­чатление, что построенная фи­гура — круг, вписанный в исход­ный квадрат. Сейчас мы убедимся, что это не так.
Для удобства вместо площади самой фигуры будем искать сум­марную площадь отрезанных тре­угольников. На первом шаге было удалено 4 треугольника. Площадь каждого из них, как нетрудно под­считать, равна 1/18, а их общая площадь составляет 4* =
Теперь рассмотрим любой треугольник АВС, отрезанный накаком-либо шаге, и треугольник DEA,отрезанный на следующем шаге (рис. 3). Нетрудно заметить, что и основание AD треугольника DEA,и его высота, опушенная из вершины Е, втрое меньше соответ­ственно основания и высоты тре­угольника АВС. Поэтому площадь треугольника DEAв 9 раз меньше плошали треугольника. Но самих треугольников «нового по­коления» окажется вдвое больше, следовательно, их суммарная пло­щадь составит 2/9 суммарной пло­шали «предков». А это значит, что последовательность суммарных площадей {а„} отсекаемых треуголь­ников удовлетворяет условию
a₁ = 2/9,
a_n = a_n-1*  для n>1

Таким образом, (а_п) — геометри­ческая прогрессия и сумма площа­дей всех треугольников есть сумма ряда. Этот ряд, как мы знаем, сходится. Сумма его равна =

Наконец, вычисляем площадь того, что осталось:

1 -  =

Таков ответ. Отсюда следует, что полученная фигура никак не может быть кругом, вписанным в исходный квадрат (ведь площадь такого круга равна π/4).

Домашняя работа

Задача №1
Погода. Метеорологи прогнозировали погоду на неделю (с понедельника по воскресенье включительно). Каждый день, начиная с понедельника, количество осадков увеличивалось на одну и ту же величину. Сколько всего выпало осадков, если в четверг выпадет 400 мм? 
Решение:
Известно n = 7, a₄ = 400. Пусть a – первый член последовательности, а d –разность. Запишем прогноз по дням в виде таблицы:

пн	вт	ср	чт	пт	сб	вс
a	a+d	a+2d	a+3d	a+4d	a+5d	a+6d

За неделю выпало 7a+21d = 7(a+3d), но a+3d – это количество осадков за четверг, т.е. 400 мм. Значит, всего выпало 2800 мм.

Задача №2
Поезд, отойдя от станции, на 2-ой минуте развил скорость 50 км/ч. Какова была скорость поезда в конце шестой минуты, если на 4-ой минуте скорость равнялась 150км/ч?
Решение:
a₄ = 150; a₂ = 50, значит:
a₄ = a₂ + (4 – 2)d=150 => d = 50
a₆ = a₄ + (6 – 4)d= 150 + 100 = 250
Ответ: 250 км/ч        

Задача №3
Экономный работник. Каждый месяц работник одной компании получает зарплату в 1,5 раза больше, чем в предыдущий. Желая купить автомобиль за 600.000 рублей, он решает приобрести ее за зарплату в декабре. В июне он получил 50.625 рублей. Сможет ли он купить ее в конце года.
Решение:
Пусть каждый месяц это b_n.
Т.к. b₆ = 50.625 рублей => b₁₂ = b₆ * q^{12 – 6} = 50625 * 1,5⁶ = 576650,390625.
Ответ: не сможет.