Урок по математике на тему "Производная.Прикладной характер производной"

  Тема  урока: "Производная. Прикладной характер производной"

                                                                                                Эпиграф к уроку:           

            “Нет  ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется  

                                           применимой  к     явлениям  действительного мира ”

                                                                                                 Н.И. Лобачевский

Цель интегрированного урока:

1)    Дать учащимся всесторонние  и расширенные знания о предмете изучения, его целостную картину. Разрушение стереотипа  о существовании четкого разграничения  математики и физики

2)    Формировать навыки практического использования  производной  в физике при решении физических задач ;

3)    Воспитывать  умение оценивать свои возможности, планирование деятельности.

 Ход урока:

I.Мотивация учебной деятельности(формирование самообразовательной компетентности)

II. Актуализация опорных  знаний ( формирование познавательной компетентности)

II.1.Закончить предложение:

1)Фрацузский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:

“Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности

заданной точки ”. (касательная)

2)Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени. (кинематика)

3) Независимая переменная  функции называется ..   (аргумент)

4)Если график  функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги,  то она называется … (непрерывная)

5)Что является мерой изменения механической энергии?  (работа)

6)Эта величина определяется как производная скорости по времени.  (ускорение)

7)Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют.. .  (сложная)

II.2. Устный опрос:

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в совершенстве.

1) Что такое производная функции?

2) В чем ее геометрический смысл?

3) В чем ее физический смысл?

4) Как называется операция нахождения  производной?

5) Чему равна производная от постоянного числа?

6) Как найти производную от степенной функции?

7) Чему равна производная  от суммы, произведения, частного?

8) Производная от функции у=

9) Производные  от тригонометрических функций

10) Как продифференцировать сложную функцию?

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, физике, так и по экономике, биологии и другим наукам.

III.Формирование практических умений и навыков учебной деятельности (формирование информационной компетентности)

 Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом - производной.

Найти соответствие  между функцией и ее производной:

1. f(x)=5 tgx+3sin                                                   1.  f¹(x)= -4sinx

2 . f(x)=4cos3x                                                            2 . f¹(x)=   

3. f(x)=-2sin²x                                                                  3 .  f¹(x)=  6sinxcosx

4. f(x)=                                                          4 .  f¹(x)=  8x+

5.  f(x)= 4x²-                                                             5  .  f¹(x)=  -12sin3x

IV. Систематизация навыков и умений по решению практических задач при помощи производной  (формирование интеллектуальной, поликультурной, познавательной компетентностей)

Действительно. Производная - это универсальный инструмент, позволяющий быстро решать задачи из любой области знаний. Обратимся к математическим задачам.

1.Найти  значения  х при которых  производная  функции  равна 0:

а)  f(x)=x⁴ -12 x²            b)  f(x)= 

2. Составить  уравнение касательной  к графику функции  f(x)=  в точке  с абсциссой х₀=2

V. Применение производной в решении физических задач (формирование интеллектуальной, социальной компетентностей)

Понятие производной функции  широко  применяется  и в физике.  Через производную  вычисляются  следующие физические величины:

                                                 υ(t) = х^/(t) – скорость

a (t)=υ^/ (t) - ускорение

J (t) = q^/(t) - сила тока

C(t) = Q^/(t) - теплоемкость

d(l)=m^/(l)   - линейная плотность

K (t) = l^/(t)  - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t)  - угловая скорость

а (t)= ω^/(t)  - угловое ускорение

N(t) = A^/(t)  - мощность

1) Координата тела меняется по закону х = 5 - 3t + 2t² (м).

Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 сек

2)Пусть х = 2 + 4t² - sin2пt.

Найти: а) мгновенную скорость, б) ускорение, если t = 0,5 c

Формулы кинематики  при решении  данной  задачи нам здесь не помогут. К чему, по вашему мнению, мы должны обратиться? - Конечно, к производной, к ее физическому смыслу. Это позволит нам практически без особых усилий ответить на поставленные вопросы.

3) Заряд, протекающий через электролит, меняется по линейному закону q=t³ + 0,5t²-3 (Кл)

Какова сила тока в цепи в момент времени t=3c?

А теперь подведем итоги  первых этапов урока, ответив на вопросы:

Что дают нам знания о производной?

Какие задачи можно решать, используя физический и геометрический смысл производной?

VI.   Выполнение тестовых заданий  (формирование самообразовательной компетентности)

 Вам предлагается самостоятельная работа, при верном решении которой мы получим ключ к дальнейшим действиям. В бланк ответов (один на два варианта) вы заносите буквы, соответствующие полученным решениям; первый вариант - с цифры “1” по “6”, а второй вариант - с “7” по “12

                                          Тест. Вариант 1

1. Точка движется по закону S(t)=2t³+3t.

Чему равна скорость точки в момент времени t= 1c ?

А) 5     М) 12          И) 9                  Г) 13      В)  10

2. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции

g(x)=4x² - х в точке Х₀=1

А) 8                  С) 7               В) 3       Н) 10       К)  4

3. Найти ускорение  точки, движущейся  прямолинейно по закону S(t)=3t³ - 4,5t² при t=2c

С) 27            Б) 30            В) 81             Г) 54        Ш)  34

4. Найти производную функции f(x) =tg2x-4

А)  cos2x-4x        E)   sin2x          O)  2 -4         Л)

5. Заряд, протекающий через электролит, меняется по линейному закону q=2t + 0,02t³ (Кл)

Какова сила тока в цепи в момент времени t=5c?

А) 2,0        Б) 1,5       Е) 3,5                 Г) 4,0      Д) 3

6. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х² - Зх + 5 в точке х=-1

А) у=2х + 4     Б) у=5х-4     В) у=-5х       Д) у= 4-5х

                                        Тест. Вариант 2

7. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= - t³+3 t²-5.Найти момент времени t, когда ускорение точки равно 0.

А) 2           М) 4           К) 8            0) 6     В)  5

8. Найти производную  функции:  у=3 tgx

Г) 3                B)        А ) cos²x             С) 3cos²x       Д) -3

9. Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, меняется с

течением времени по закону q(t)=0,2t + 3t² + 1

Найти мгновенное значение силы тока в момент времени t=2c

Ф)19      А)12,2      В)13               И)21     К) 7,8

10. Найти производную функции   у= 

Н)        А) 2х²-12х        С)       Д)  -1        Е) 

11. Две материальные точки движутся по законам: X₁(t)=2,5t²-6t+l; X₂(t) =0,5t² + 2t - 3

В какой момент времени их скорости равны?

Р)10          Б) 4             И) 2                   Ю) 7        К) 8

12. Составьте уравнение касательной к графику функции у=2 – х² в точке

Х₀=3

А) у =2х +5 Е) у = -6х +11 В) у = -Зх - 6      Г) нет ответа

Итак, если вы абсолютно правильно решили все задания, то мы читаем слово

 “ исследование”, а оно, как никакое другое соответствует теме нашего сегодняшнего урока.

Умение исследовать поведение функции очень важно и при решении физических задач, особенно тех, которые традиционными способами решаются сложно и громоздко.

VII. Оценка деятельности на уроке

Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук. Прав был Лобачевский когда говорил, что “Нет  ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям  действительного мира ”