Решение логарифмических уравнений.
Цель урока: формирование понятия логарифмического уравнения, изучение способов решения логарифмических уравнений.
Задачи:
Формировать понятие логарифмического уравнения, научить решать логарифмические уравнения различными методами.
Развивать логическое мышление, вычислительные навыки.
Воспитывать добросовестное отношение к учебе.
Тип урока: урок типовых задач.
План урока:
Приветствие. Постановка цели урока.
Повторение.
Изучение нового материала.
Закрепление.
Домашнее задание.
Итоги.
Ход урока:
Повторение.
Перечислите свойства функций по заданным графикам:
Ответ: свойства функции : область определения – множество всех положительных чисел; множество значений – множество всех действительных чисел; функция возрастающая, т.к. .
Свойства функции : область определения – множество всех положительных чисел; множество значений – множество всех действительных чисел; функция возрастающая, т.к. .
Свойства функции : область определения – множество всех положительных чисел; множество значений – множество всех действительных чисел; функция возрастающая, т.к. .
Свойства функции : область определения – множество всех положительных чисел; множество значений – множество всех действительных чисел; функция убывающая, т.к. .
Перестрелка: поиграем в морской бой. Называете число по горизонтали, букву по вертикали, кто первый даст правильный ответ, получает 1 балл.
1
2
3
4
5
A
log416
log5125
log232
log39
B
log25125
log279
log816
log8127
C
log82
log162
log273
log1255
D
log66
log55
lg10
log77
log99
E
lg0,01
lg0,1
lg0,001
lg1000
lg
Ответ:
1
2
3
4
5
A
2
3
3
5
2
B
1,5
1,5
2/3
4/3
3/4
C
1/3
1/2
1/4
1/3
1/3
D
1
1
1
1
1
E
–2
–1
–3
3
–3
Изучение нового материала.
Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.
Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что является таким решением.
Методы
1. По определению логарифма.
Так решаются простейшие уравнения вида:
Решить уравнение:
По определению логарифма:
Решение:
Ответ: х = 2.
В этом задании , так как , поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие в этом задании выписывать не надо.
2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).
Решить уравнение: .
Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).
При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражения положительны.
Решение 1. ОДЗ:
Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1. Решаем его: х = -2. Это решение не входит в ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.
Можно решить это уравнение иначе – переходом к равносильной системе:
Уравнение
(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).
Решение 2. Уравнение равносильно системе:
Эта система решений не имеет.
Есть еще один вариант решения – переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.
Решение 3.
.
Сделаем проверку: Ответ: корней нет.
Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).
Вы имеете право решать любым способом.
3. Введение новой переменной.
.
Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x). Ваши предложения? (Ввести новую переменную)
Решение. ОДЗ: х > 0.
Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:.
Вернемся к замене: или .
Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
Ответ: 27; .
4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
Решить уравнение:..
Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:.
Применим свойство логарифма степени:
Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4, , (D > 0) корни по теореме Виета: и .
Вернемся к замене, получим: .
Ответ: 0,0001; 10.
5. Приведение к одному основанию.
Решите уравнение:
Решение: ОДЗ: х > 0. Перейдем к основанию 3:
или
Ответ: 9.
Закрепление:
Определить каким методом решается уравнение, и решить его:
-
-
-
-
Решение:
;
Ответ: х = 25, х = .
.
Ответ: .
-
Проверка: а) не имеет смысла, - посторонний корень.
b) .
Ответ: х = 2.
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.
применим свойство логарифма:
.
Замена: .
-
-
Проверка: ,
Ответ: .
. Так как , то разделив обе части уравнения на это число, получим, , откуда х = 2.
Ответ: х = 2.
Домашнее задание: (стр 259: №507-508(в,г); 511-512 (в,г); 514-516 (в,г)).
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.