Урок по математике на тему «Свойства степени с целым показателем»

Свойства степени с целым показателем

 Цель: изучение свойства степени с целым показателем и их использование при решении задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

 II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

 III. Изучение нового материала (основные понятия)

Наводящими вопросами (путем фронтального опроса) подведите учащихся к изучению этой темы. Для этого:

1. Попросите сформулировать свойства степени с натуральным показателем (вспомнить материал 7-го класса).

2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).

Пример 1

  (свойство 1).

 (свойство 4).

На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.

3. Предложите учащимся доказать, например, свойства 1 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.

Пример 2

Докажем свойство 1, т. е.   (где m и n — целые отрицательные числа, а — любое число (а ≠ 0)).

По определению степени с целым отрицательным показателем запишем  Числа (-m) и (-n) являются уже натуральными. Поэтому по свойству степеней с натуральными показателями получаем:  На заключительном этапе вновь было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.

 Пример 3

Докажем свойство 4, т. е.   (где n — целое отрицательное число, а и b — любые числа (а ≠ 0, b ≠ 0).

По определению степени с целым отрицательным показателем запишем  Число (-n) будет уже натуральным. По свойству степеней с натуральными показателями имеем:   В конце снова было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.

Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.

 Пример

Преобразуем выражения: 

а) Учтем, что при умножении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Получаем: 

б) При делении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. Имеем: 

в) При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Получаем: 

г) При возведении в степень дроби возводят в эту степень ее числитель и знаменатель и результаты делят. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Имеем: 

Упомянутые свойства степеней используются и при решении более сложных задач.

 V. Задание на уроке

№ 926 (а, г, д); 932 (а, в); 935 (д); 937; 939 (б); 940; 945 (а, г); 947 (а, в).

 VI. Задание на дом

№ 926 (б, в, е); 932 (б, г); 935 (е); 936; 939 (д); 941; 945 (б, в); 947 (б, г).

 VII. Подведение итогов урока