Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок по математике на тему:"Комплексные числа"

Урок по математике на тему:"Комплексные числа"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ »








МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ


«МАТЕМАТИКА»


ТЕМА: «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА – РАСШИРЕННОЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА».








Для специальностей:

«Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям), «Программирование в компьютерных системах» среднего профессионального образования

( на базе основной общеобразовательной школы)








Нижний Новгород


2014



Одобрена МК математических и Составлена в соответствии с

естественнонаучных дисциплин рабочей программой

Председатель:_______________ дисциплины «Математика»

Н.Н. Борышнева

























Составитель: ______________Н.П. Боброва

преродаватель ГБПОУ «НГКа»










СОДЕРЖАНИЕ


Введение_______________________________________________ 4

Понятие о комплексных числах____________________________6

Действия с комплексными числами_________________________ 9

Решение квадратных уравнений____________________________ 12

Решение уравнений в комплексной форме____________________13

Геометрическая интерпретация комплексного числа___________ 14

Работа по группам________________________________________16

Заключение______________________________________________17

Презентация_____________________________________________ 19




























ВВЕДЕНИЕ



Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель методической разработки - знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решением уравнений с комплексным переменным.

Методическая разработка «Комплексные числа – расширенное понятие числа» соответствует государственным требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям гуманитарного и технического профиля, изучающих математику в объеме 290 часов на базе общеобразовательной школы.

Тема метод. разработки соответствует рабочей программе по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса и состоит из теоретического материала и упражнений, выполняемых студентами с помощью преподавателя и самостоятельно, закрепляющих изученный материал.

В работе раскрываются основные теоретические вопросы, которые студент должен изучить и понять за два занятия (4 часа), правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, их геометрическую интерпретацию; практические задания, которые студенты выполняют как с помощью преподавателя, так и самостоятельно индивидуально и в группах.

В результате изучения данной темы студент должен:


знать:


определение комплексного числа, заданного в алгебраической форме, его геометрический смысл;

правила действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме;

уметь:


производить действия над комплексными числами и изображать их в геометрической форме;

решать квадратные уравнения с мнимыми корнями и уравнения в комплексной форме.


















ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль

Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы hello_html_3ec335b8.gif В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения hello_html_m416162d5.gif, а если оно имело 3 действительных корня (например, hello_html_m7908dbef.gif),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.



Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений hello_html_1177a49.gif не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 , у = 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат ( радиус-вектором). При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.



ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ


  • Комплексными числами называют выражения вида: a + bi, где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица, такая, что hello_html_m2038571.gif, а – действительная часть к. ч., b – мнимая часть к. ч.

Решение квадратного уравнения, например, хhello_html_m186bf6db.gif – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х = 4 +3i ; х = 4 -3i (hello_html_513890b.gif).

Заметим, что для строгого определения к.ч. надо для этих чисел ввести понятие равенства и операций сложения и умножения.

Два к.ч. a + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. а = с и b = d.

Например, hello_html_703f0a78.gif

Устно: Назвать действительную и мнимую часть к.ч.

1) 6 + 5i; 2) 0,5 + 0,3i; 3) √2 - √3i; 4) 1/5 – 1/7i; 5) -1/4 + √5i; 6) –П – 6i.


Задания студенты выполняют самостоятельно, решения записываются ими на доске:


I. Записать к.ч., у которого действительная и мнимая части равны

соответственно:

  1. 3 и 4; 2) -0,5 и 3; 3) hello_html_4a3d5f1e.gif


II. Указать, какие из данных к. ч. равны:

1) hello_html_m5ac8300e.gif

hello_html_m72509867.gif


III. Найти знач. х, при котором действ. часть к. ч. равна 0:

1) (x+3)+4i; 2) (x-5)+2i; 3) (2x+4)+i; 4) (3x-9)+5i


IV. Найти знач. х, при котором мнимая часть к. ч. равна 0:

  1. 2+(x-2)i; 2) -4+(x+3)I; 3) -1+(2x-1)i; 4)1+(3x+1)i.


V. Найти действительные числа х и у, если:

1) 6x+3yi=4+2i; 2) x-3yi=-5-√2i; 3) x-(4-y)i=-1/2+3/2i; 4) x-(x+y)i=3+2i;


Над к.ч. производятся такие же действия, как и над действительными числами.


Действия сложения и умножения над к.ч. производятся так же, как и над многочленами:


  • Суммой двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число(a+c)+(b+d)i, т.е. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (1)


I. Найти сумму к.ч.:


1) (3+i )+ (2+3i); Решение: (3+i)+(2+3i)=(3+2)+(i+3i)=5+4i;


2) (3-5i)+(2+i); 3) (1+3i)+(-3+i); 4) (-4+3i)+(4-3i);

5) (1+i)+(-1-i); 6) (1/2-1/3i)+(1/2-2/3i); 7) (-1,2-1/5i)+(-2,8-3/5i).


Решения на доске выполняют студенты.


  • Произведением двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (ас-bd)+(ad+bc)i, т.е.

( a+bi) ( c+di)= (ас-bd)+(ad+bc)i. (2)



II. Найти произведение к.ч.:


1) (3+i)(2+3i); Решение: (3+i)(2+3i)=6+9i+2i+hello_html_7a23497d.gif=6+11i-3=3+11i;


2) (3-5i)(2+i); 3) (1+3i)(-3+i); 4) (-4+3i)(4-3i);


5) (1+i)(-1-i); 6) (1/2-1/3i)(1/2-2/3i); 7) (-1,2-1/5i)(-2.8-3/5i.).




Задания 1 и 2 на доске выполняет с объяснениями преподаватель, студенты записывают решение в тетрадях.


Рассматривая вычитание и деление к.ч. как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления к.ч.:


  • Вычитание и деление комплексных чисел:



hello_html_m3f0f808a.gif


Числа z = a+bi и hello_html_m47d4966e.gif = a-bi называются сопряженными.


III. Найти разность к.ч.:


1) (2+3i) - (3+i); Решение: (2+3i) - (3+i)=(2-3)+(3i-i)=-1+2i ;


2) (3-5i) – (2+i); 3) (1+3i) – (-3+i); 4) (4+3i) – (4-3i);


5) (4+i) – (-5+i); 6) (7+2i) – (3+3i); 7) (√3+√2i) – (2√3 - 3√2i).

Самостоятельно, преподаватель – консультант.



IV. Найти частное двух к.ч.:

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m5e0b3715.gif

Задания 1 и 2 выполняет с объяснениями преподаватель на доске, студенты записывают решение в тетрадях.


1) Решение: умножаем числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю hello_html_77a8cf0c.gif



V. Вычислите:


1) hello_html_76afe3b9.gif


1) Решение: hello_html_56b022f.gif


Задания выполняет преподаватель, студенты комментируют решение..



Решение квадратных уравнений:


Задача 1. Найти комплексные корни уравнения zhello_html_m186bf6db.gif = a, если:



1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.



1) zhello_html_m186bf6db.gif= -1. Так как ihello_html_m186bf6db.gif = -1, то это уравнение можно записать в виде zhello_html_m186bf6db.gif = ihello_html_m186bf6db.gif , или zhello_html_m186bf6db.gif - ihello_html_m186bf6db.gif = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем: (z-i) (z+i) = 0, zhello_html_39d5e12f.gif = i, zhello_html_1c19a181.gif = -i. Ответ: zhello_html_m70c2e61c.gif = hello_html_5e2cdac5.gif i.



2) zhello_html_m186bf6db.gif = -25. Учитывая, что ihello_html_m186bf6db.gif = -1, преобразуем это уравнение: zhello_html_m186bf6db.gif = (-1)25,

zhello_html_m186bf6db.gif =52 ihello_html_m186bf6db.gif, zhello_html_m186bf6db.gif- 52i = 0, (z-5i) (z+5i) = 0, откуда: zhello_html_39d5e12f.gif = 5i, zhello_html_1c19a181.gif = -5i. Ответ: zhello_html_m70c2e61c.gif = hello_html_5e2cdac5.gif5 i.



3) zhello_html_m186bf6db.gif = -3, zhello_html_m186bf6db.gif = 3 ihello_html_m186bf6db.gif, zhello_html_m186bf6db.gif -3 ihello_html_m186bf6db.gif= 0, (z -hello_html_m3ae7a274.gif i) (z + hello_html_m3ae7a274.gifi) = 0, zhello_html_39d5e12f.gif = hello_html_m3ae7a274.gif i, zhello_html_1c19a181.gif = - hello_html_m3ae7a274.gif i. Ответ: zhello_html_m70c2e61c.gif = hello_html_5e2cdac5.gifhello_html_m3ae7a274.gif i.

Вообще уравнение zhello_html_m186bf6db.gif = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: zhello_html_m70c2e61c.gif = hello_html_5e2cdac5.gifhello_html_m1a13ac8b.gif i.

Задача 2. Решить квадратное уравнение: хhello_html_m186bf6db.gif – 8х + 25 = 0, hello_html_513890b.gif, хhello_html_39d5e12f.gif = 4 +3i ; хhello_html_1c19a181.gif = 4 -3i

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: хhello_html_39d5e12f.gif = 4 +3i и хhello_html_1c19a181.gif = 4 -3i .

Найдем сумму и произведение этих корней: хhello_html_39d5e12f.gif+ хhello_html_1c19a181.gif=8, хhello_html_39d5e12f.gif хhello_html_1c19a181.gif=16 -9 ihello_html_m186bf6db.gif=16+9=25

Число 8 - это 2-й коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 25 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета.



Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корни zhello_html_39d5e12f.gif=-1-2i, zhello_html_1c19a181.gif - является числом, сопряженным с первым корнем, то есть zhello_html_1c19a181.gif= -1+2i. По теореме Виета находим

Р = -( zhello_html_39d5e12f.gif + zhello_html_1c19a181.gif) = 2, q = zhello_html_39d5e12f.gifzhello_html_1c19a181.gif= 5. Ответ: zhello_html_m186bf6db.gif-2z+5=0

Решение уравнений в комплексной форме:


1) z(2+i) = 3- i ; 2) z(1-2i) = 2+5i ; 3) z(1+i) – i = 4; 4) z(1-i) +3 =i.


1) Решение: z(2+i) = 3- i,

hello_html_2942d483.gif


Уравнения решают студенты на доске и в тетрадях, преподаватель консультирует.






  • Геометрическая интерпретация комплексного числа.



Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой.

К.ч. a+bi можно рассматривать как пару действительных чисел

(а;b) . Поэтому естественно к.ч. изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

К.ч. z = a+bi изображается точками плоскости с координатами (а;b),

и эта точка обозначается той же буквой z.




















hello_html_32066892.gifhello_html_mc7d530b.gifhello_html_3695eb01.gifhello_html_2c0b6ec9.gif

а

b





У




















z=a+bi

.










































0



Х









































Такое соответствие между к.ч. и точками плоскости взаимно однозначно: каждому к.ч. a+bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а;b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а;b) соответствует одно к.ч. a+bi .

Поэтому слова «к.ч.» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы.

При такой интерпретации действительные числа а, т.е. к.ч. a+0i изображаются точками с координатами (а; 0), т.е. точками оси абсцисс.

Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0+bi изображаются точками с координатами (0;b), т.е. точками оси ординат, которая называется мнимой осью.

При этом точка с координатами (0;b) обозначается bi. Например, точка (0;1) обозначается i , точка (0;-1) это точка -i.

Плоскость, на которой изображаются к.ч., называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки z и – z симметричны относительно точки О (начала координат), а точки hello_html_5fc43658.gif симметричны относительно действительной оси.

Можно так же говорить о векторе hello_html_m62ad4916.gif, которому соответствует к.ч.


(а;b)= a+bi


Постройте прямоугольную систему координат с точками А, В, С, М, Т с доски. Найти координаты радиус-векторов и соответствующие им к.ч.
















hello_html_m1858e131.gifhello_html_m2c5d3252.gif

У

Х

О

1

2

3

4

11111

3

4

1

2

3

1

2

3

hello_html_5723d593.gifhello_html_m2b7b5016.gifhello_html_400b6525.gifhello_html_20395863.gifhello_html_m306b4c68.gifhello_html_9ccbd0a.gifhello_html_38274841.gifhello_html_m32eeb702.gifhello_html_mabe87bc.gifhello_html_62396a2.gifhello_html_6e09a20c.gifhello_html_5b436803.gifhello_html_m47261fc4.gifhello_html_1b78f51c.gifhello_html_m1d6b71de.gif

А

С

М

Т


















В





























2

















































































Точка А соответствует радиус-вектору ОА (2; 3), к.ч. z =2 + 3i

Точка В соответствует радиус-вектору ОВ (2; -3), к.ч. z = 2 – 3i

Точка С соответствует радиус-вектору ОС (-2; -2), к.ч. z =-2-2i

Точка М соответствует радиус-вектору ОМ (1; -1), к.ч. z = 1 - i

Точка Т соответствует радиус-вектору ОТ (4; -3), к.ч. z = 4 – 3i

студенты выходят по одному.



Работа в группах по 6 человек, задания на 25 минут из учебника Ю. М.Колягина, стр.109


Гр.1: №259(1), 260(1), 261(5) Гр.3: №259(3), 260(3), 261(7)

Гр.2: №259(2), 260(2), 261(6) Гр.4: №259(4), 260(4), 261(8)

Всем группам составить по 3 к.ч. и им противоположные к.ч., изобразить их на комплексной плоскости.


Критерии оценивания работ как обычно:

а) верное решение; б) скорость; в) оформление общей работы и ее представление; г) дисциплина.




На дом может быть предложено: составить и изобразить 2 к.ч., им противоположные и обратные к.ч. Ю.М. Колягин с. 109, №260 (1-4); 264 (1-4).














Заключение.


Современный специалист, независимо от профессиональной области чтобы быть конкурентоспособным должен владеть достаточно большим объемом знаний и навыков, в том числе и математических.

Целью учебно-методической разработки «Комплексные числа – расширенное понятие числа» является получение более полного представления о числовом множестве.

В разработке предложен теоретический и практический материал. В теоретической части даны достаточно подробные сведения, необходимые для получения основных сведений об изучаемой теме и так же исторический материал. В практической части – задания, в которых приведены подробные инструкции по их выполнению, различные виды и формы самостоятельной и творческой работы как аудиторной, так и внеаудиторной.

Методическая разработка может быть рекомендована для обучения студентов специальностей: «Программное обеспечение в компьютерных сетях», «Экономика и бухгалтерский учёт» (повышенный уровень) при подготовке к экзаменам, разработке курсовых проектов, для самостоятельной работы студентов. Также рекомендуется преподавателям, ведущим дисциплину «Физика», а также дисциплину «Численные методы».



















Литература


1. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике». – М., «Высшая школа», 2006г.

2. Ю.М. Колягин «Алгебра и начала анализа» учебник 11 кл. – М., «Мнемозина» 2009г.

3. Н.М. Матвеев «Курс математики для техникумов», ч. 1. – М., «Наука»

4. Рабочая программа, 2011

5. Энциклопедия «Математика». – М., «Энциклопедия», 2003г.



























ПРЕЗЕНТАЦИЯ




hello_html_m613f05f0.gif






hello_html_190f13d6.gif












hello_html_m38e17cff.gif







hello_html_m6d022e9c.gif






hello_html_m70458b8.gif








hello_html_1104fc65.gif






hello_html_m48465a90.gif







hello_html_77454819.gif








hello_html_48d401ba.gif








hello_html_533db0dd.gif






hello_html_m73fb9c5a.gif








hello_html_m2fdd9899.gif







hello_html_m3ff8fde1.gif








Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 27.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров225
Номер материала ДВ-386577
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх