Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике "Основное своЙство дроби"

Урок по математике "Основное своЙство дроби"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


 Основное свойство дроби

Представьте себе такую ситуацию.

За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по hello_html_32cf444e.png яблока.

А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по hello_html_32cf444e.png.

При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по hello_html_3a62c1c4.png.

Но это одно и то же.

 hello_html_662d71f4.png. Эти дроби эквивалентны.

Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.

В математике это формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной.

Это свойство иногда называют «основным свойством дроби».

hello_html_1e2fab69.png

 



Примеры эквивалентных дробей

1. Путь от города до деревни – 7 км.

Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя три столбика, три километра, мы понимаем, что прошли hello_html_m1bf5f0d1.png пути.

Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 20 штук на каждый километр. То есть всего 140 на всем пути. Три километра – hello_html_64494553.png столбов. То есть мы прошли 60 из 140 столбов, hello_html_1cd28cd8.png.

hello_html_1120155c.png

2. Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь hello_html_m32fefcea.png отметим точку с координатой 3 по осиhello_html_m18c85cd8.png и 4 по оси hello_html_m3fb4f02a.png. Проведем прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби hello_html_1f6130c2.png.

Они являются эквивалентными:  hello_html_4b35a949.png (см. Рис. 1)

hello_html_m7219dd11.jpg

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

3. На рисунке 2 два дома. Первый – высотой 6 метров и шириной 4, а второй – высотой 12 метров и шириной 8. Размеры разные, но дома по форме похожи. У них одинаковые пропорции, одинаковое отношение высоты к ширине.

hello_html_m295afa2.png

hello_html_34302bef.jpg

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

 Сокращение дроби

hello_html_443dcea7.png

Дробь hello_html_m52d38988.png можно было получить из hello_html_1c57d177.png умножением числителя и знаменателя на 4:

hello_html_m30c32999.png

или из hello_html_4c7976b7.png умножением на 2:

hello_html_m2ce370a.png

Но точно так же можно и вернуться назад.

У дроби hello_html_m52d38988.png можно числитель и знаменатель разделить на 2, получить hello_html_4c7976b7.png:

hello_html_m625d288d.png

Или числитель и знаменатель разделить на 4, получить hello_html_1c57d177.png:

hello_html_m1a88577e.png

Вот такой переход от одной дроби к другой с помощью деления числителя и знаменателя на одно и то же число называетсясокращением дроби.

У дроби hello_html_m41854526.png можно разделить числитель и знаменатель на 100. Получим hello_html_43836eff.png.

Это эквивалентная запись, но она короче. Мы сократили запись. Сократили дробь:

hello_html_42451755.png

 Сократимые и несократимые дроби

Посмотрим еще раз на цепочку эквивалентных дробей.

hello_html_m2da32baa.png

Дробь hello_html_m52d38988.png можно сократить на 2 и получить hello_html_4c7976b7.png или сократить на 4 и получить hello_html_1c57d177.png.

Дробь hello_html_m3a501dbc.png нам не получится сократить до hello_html_m52d38988.png или hello_html_4c7976b7.png, зато легко сократить на 5 и получить hello_html_1c57d177.png.

Только одну дробь из представленных мы не можем сократить: hello_html_1c57d177.png.

Такая дробь называется несократимой. Ее нельзя сократить.

Остальные сократимые. Их можно сократить.

 Пример 1

Рассмотрим дробь hello_html_49a32db7.png.

Чтобы понять, можно ли ее сократить, нужно узнать, существует ли число, на которое делится и числитель, и знаменатель, есть ли общий делитель.

42 делится на 2, но 273 на 2 не делится.

42 делится на 3 (сумма цифр 6 делится на 3), и 273 делится на три (сумма цифр 12).

Значит, мы можем поделить числитель и знаменатель на 3, сократить дробь на 3.

hello_html_371eacdd.png

Можно ли сократить полученную дробь дальше?

14 делится на 2 и на 7.

91 не делится на 2, но на 7 делится.

Значит, дробь можно сократить на 7.

hello_html_m69013124.png

Для чисел 2 и 13 нам уже не найти общего делителя.

Дробь hello_html_m6b8baf89.png несократима.

Не всегда легко, глядя на дробь, понять, можно ее сократить или нет.

Что нам может помочь в этом?

Чтобы сократить дробь, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя.

Но делители числа и его множители – это одно и то же.

hello_html_2f0f1d96.png

2 и 5 – это множители, но на них можно разделить. Поэтому они же и делители.

То есть разложение на множители – это и разложение на делители.

Вернемся к нашему примеру.

Если бы числитель и знаменатель были разложены на множители, мы бы сразу поняли, как сократить дробь.

Общие множители (делители) – 3 и 7. На них и сокращаем.

hello_html_m682f8e06.png

 Пример 2

Сократить дробь, разложив на множители числитель и знаменатель.

hello_html_m256e301.png

Разложим 60 на множители:

hello_html_1b79ebab.png

Разложим 126 на множители:

hello_html_m2bdf023b.png

Сократим на общие множители, на 2 и на 3. Больше общих множителей (делителей) нет. Перемножим оставшиеся множители:

hello_html_256a2243.png

 Задача

В школе 4 первых класса, и в каждом учится 27 учеников.

Есть 12 коробок мандаринов, в каждой по 45 штук. Сколько каждому первокласснику достанется мандаринов, если их поделить поровну?

Понятно, что надо количество мандаринов разделить на количество первоклассников.

Найдем и то и другое.

hello_html_m5e2f2476.png первоклассников.

hello_html_m42db3e9.png мандаринов.

Осталось разделить.

hello_html_4d26914f.png мандаринов на первоклассника.

Но можно было и упростить себе задачу, ведь у нас уже было разложение на множители:

hello_html_6747dfa0.png

Не будем сразу считать, сколько мандаринов и сколько учеников. Сначала сократим нашу дробь. 12 и 4 делятся на 4. 3 и 27 делятся на 3.

Это решение оказалось проще.

 Задание 1

Сейчас самостоятельно сократите следующие дроби:

hello_html_60c1593f.png

hello_html_6912e708.png

hello_html_7cce136c.png

Проверка:

hello_html_401e8bdf.png

hello_html_70ff26f0.png

hello_html_260f801a.png

 Задача 2

Докажите, что дробь несократима:

hello_html_m2aede8ea.png

Проверка:

разложим на простые множители числитель и знаменатель:

hello_html_m498164f2.png

Общих множителей (общих делителей) нет. Значит, сократить невозможно. Дробь несократима.

Такие числа, как 220 и 273, не имеющие общих делителей, кроме 1, мы называем взаимно простыми.

То есть можно сказать про несократимую дробь следующее: дробь несократима, если ее числитель и знаменатель – взаимно простые числа.

 Заключение

Подведем итог.

  1. Сократить дробь – означает разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (не равное нулю). В результате получаем равную (эквивалентную) дробь, но с меньшими числителем и знаменателем.

  2. Чтобы сократить дробь, нужно последовательно проверять, на что делятся числитель и знаменатель. Если находятся общий делитель, то на него и сокращать.

  3. Если разложить числитель и знаменатель на множители, то это упростит сокращение.

 

Всегда ли нужно сокращать?

Фраза: «Цена выросла на 20 %» буквально означает «цена выросла на hello_html_m73de5e26.png», так как hello_html_m6f5f841.png.

Дробь можно сократить. Получится hello_html_244af2c1.png.

hello_html_6a95cd.png

Мы могли бы сказать: «цена выросла на hello_html_244af2c1.png».

Это, конечно, то же самое. Но общая договоренность – говорить в процентах. Поэтому удобнее оставить эту величину в процентах, не сокращая дробь.

Сокращение – это инструмент. Но мы не обязаны его применять, если не считаем, что так станет проще.

 



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 20.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров20
Номер материала ДБ-370860
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх