Инфоурок Математика КонспектыУрок по математике "Ускоренные вычесления"

Урок по математике "Ускоренные вычесления"

Скачать материал

Ускоренные вычисления

Алгебра, которую мы изучаем в школе, позволяет найти удобные алгоритмы для быстрого выполнения арифметических вычислений, например для быстрого умножения чисел или возведения чисел в квадрат.

Мы сейчас приведем несколько таких алгоритмов. Сделаем предварительно два замечания.

При устных вычислениях удобно пользоваться “телефонным способом чтения чисел”: каждое число разбивается на грани по 1–2 цифры (иногда 3) в каждой, и каждая грань читается как отдельное число. Например: 5328 можно читать так: пятьдесят три двадцать восемь; 14253 можно читать так: один сорок два пятьдесят три.

Для облегчения формулировки многих алгоритмов ускоренных вычислений полезно воспользоваться выражением “к данному числу (а) приписать двумя цифрами (аналогично – тремя и т. д.) другое данное число b”.

Это выражение означает: “умножить число а на 100 (соответственно – на 1000 и т. д.) и к тому, что получится, прибавить число b”. Например, приписать к числу 38 двумя цифрами число 9 означает: написать число 3809; А приписать к тому же числу 38 двумя цифрами число 142 означает: написать число 3800 + 142, то есть число 3942. Запись удобно расположить следующим образом:

3842 = 3942.

В качестве примера рассмотрим алгоритм, который позволяет перемножить в уме два двузначных числа, близкие к 100.

Если спросить шестиклассника, какие двузначные числа труднее всего перемножить, то он, вероятно, скажет: “Числа, близкие к 100, например: 98·97”. На самом же деле такие двузначные числа очень легко умножить даже в уме. Назовите каких-либо 2 числа, близких к 100. Пусть назвали 94 и 97.

Пишем: 94·97= 9118 (девяносто один – восемнадцать).

              6    3

 Как мы произвели умножение? Узнаем, каков недостаток первого сомножителя (94) до 100. Это будет 6. Недостаток второго сомножителя (97) до 100 равен 3. Затем из одного сомножителя (94) вычитаем недостаток (3) второго сомножителя до 100; получаем 91. Приписываем к результату произведения 3·6, то есть 18.

Здесь мы пользуемся таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

  • найди недостатки сомножителей до сотни;
  • вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
  • к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Возьмем другие примеры.

                   1                                                                                                                                                 1

92·85=7720=7820;                                                                              88·89=7732=7832.
8  15                                                                                                12 11

А почему можно так умножать числа? Ответ на этот вопрос дает алгебра.

Пусть нужно перемножить двузначные числа х и у, близкие к 100. Число х мы запишем так: х = 100 – а, где а – недостаток числа х до 100.

Второй сомножитель у запишем так: у = 100 – b. Тогда

х·у = (100 – а)(100 – b) = (100 – а)· 100 – 100b + ab = (100 – а – b)· 100 + аb = (х – b)· 100 + а·b.

Итак, в произведении всего х b сотен и, кроме того, еще а·b единиц. Отсюда и вытекает наш алгоритм. (Заметим, что он особенно удобен, если а и b меньше 25.)

Как возвести в квадрат число, близкое к 50? Покажем теперь, как в уме возвести в квадрат двузначное число, близкое к 50. Назовите любое число, близкое к 50, но большее, чем 50 (скажем, число 58). Записываем ответ: 582 = 3364.

Еще пример (называете, скажем, 63): 632 = 3969.

Как же мы так быстро произвели вычисления?

Мы пользовались определенным алгоритмом. Найти его нам поможет алгебра.

Пусть нужно возвести в квадрат число х, близкое к 50, но большее 50. Число это запишем так: х = 50+а, где а–избыток числа х над 50.

Например: 58 = 50 + 8, х = 58, а = 8;

63 = 50+ 13, х = 63, а = 13.

Итак, х = 50 + а, а = х – 50. х2 = (50 + а)2 = 2500 + 100а + а2 = (25 + а)·100 + а2 = (25 + х – 50)·100 + а2 = (х – 25)·100 + а2.

Отсюда следует алгоритм: если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

  • вычти из этого числа 25,
  • припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры.

1) 582 = 3364.

Объяснение. 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.

2) 642 = 4096.

Объяснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 142 = 196,

              1

642 =3996 = 4096.

Вы теперь легко сами придумаете алгоритм для возведения в
квадрат числа, которое близко к 50, но меньше, чем 50.

Проверьте себя на примере: 432 =1849.

Пользуясь алгеброй, придумайте алгоритм для быстрого
умножения двух трехзначных чисел, близких к 1000. Проиллюстрируйте его на примере: 997·936.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок по математике "Ускоренные вычесления""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 6 месяцев

Ректор

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 349 материалов в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 12.04.2016 532
    • DOCX 24.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Денисова Анна Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Денисова Анна Анатольевна
    Денисова Анна Анатольевна
    • На сайте: 7 лет и 11 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 4442
    • Всего материалов: 9

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

HR-менеджер

Специалист по управлению персоналом (HR- менеджер)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика")

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 15 регионов

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 19 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 31 человек из 18 регионов

Мини-курс

Психологическая экспертиза в юридической сфере: теоретические аспекты

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Политическое проектирование и международные отношения"

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Подростковые проблемы: индивидуальный подход

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 269 человек из 65 регионов