Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике в 11 классе. Алгоритм решения задач с применением производной.

Урок по математике в 11 классе. Алгоритм решения задач с применением производной.

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_mb552aa.gifhello_html_mb552aa.gifhello_html_m4d86239d.gifhello_html_1d79a8b9.gifhello_html_m4b2291ba.gifhello_html_5cd86d29.gifhello_html_303612ed.gifhello_html_mb552aa.gifАлгоритмы решения задач с применением производной


В 11 классе с помощью производной мы находим мгновенную скорость и ускорение точки; строим касательную к графику функции; находим критические точки; промежутки возрастания, убывания и постоянства функции; точки экстремума; экстремумы функции; используем производную для исследования функции и построения ее графика; для решения «экстремальных задач»; для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

Почти все типы задач решаю с учащимися с помощью алгоритмов.


Критические точки


Определение. Критические точки – это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.


Алгоритм нахождения критических точек функции.

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти производную функции.

  3. Решить уравнение f '(х) = 0.

  4. Выяснить, являются ли корни уравнения f '(х) = 0 внутренними точками определения функции.

  5. Сделать вывод.


Учащиеся очень часто не обращают внимания на слова «внутренние точки области определения», поэтому при изучении данной темы, на уроке рассматриваю три функции, для которых находим критические точки.

Найти критические точки функций.

а) hello_html_435f62fd.gif б) hello_html_719d9947.gif в) hello_html_m5ef0c673.gif.


а) hello_html_m28b4881b.gif


Решение.

  1. Область определения функции

x ≠ 0 D (y) = (-∞; 0) (0; ∞).

  1. hello_html_4b7ac351.gif.

  2. Решим уравнение у'(х) = 0.

hello_html_7a49cd00.gif

  1. 4 D(у) и -4 D(у) и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими.у'(х) не существует при х = 0, но 0 D(у), значит х = 0 не является критической точкой.

Ответ: ± 4.

б) hello_html_719d9947.gif


Решение.

  1. Найдем область определения функции

100 – х2≥ 0

х2-100 ≤ 0

(х – 10)(х + 10) ≤ 0


hello_html_bbf3fa3.gif

D (y)=[-10; 10]

  1. hello_html_10ff0ac0.gifhello_html_56902630.gif

  2. hello_html_641cae40.gif

  3. 0D(у)и является внутренней точкой области определения.у'(х) не существует при х = ±10, -10hello_html_m2e28bbd1.gif D(у),и 10hello_html_m2e28bbd1.gif D(у), но они не являються внутренними точками области определения,значит не являются критическими.

Ответ: 0.


в) hello_html_1b81ef47.gif


Решение.

  1. Область определения функции

D (y) =R.

  1. hello_html_7390fbe1.gif

  2. hello_html_6d32326e.gif=0

Точек, в которых производная равна нулю, не существует.

Производная не существует при hello_html_10119612.gif, х + 8 = 0; х = -8.

-8D(у)и является внутренней точкой области определения, значит является критической.

Ответ: -8.


При построении графиков функций, очень важно находить промежутки возрастания, убывания функции (промежутки монотонности, а также точки экстремума и экстремумы функции.





Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.


  1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

  2. Найти производную функции.

  3. Найти критические точки: f '(х) = 0.

  4. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов. (Если на рассматриваемом интервале
    f '(х)> 0, то функция возрастает, а если f '(х)< 0, то функция убывает).


Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_m3b81002a.gif


Решение.

  1. Область определения

D (y) =R. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

  1. hello_html_m59ded19f.gif

  2. Найдем критические точки у'(х) = 0.

hello_html_454f8f9d.gifhello_html_1e459e56.gifhello_html_401f7ddd.gif

x1 = 3; x2 = -2.

  1. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.


hello_html_7d85d368.gif


у'(х) = х3х2 – 6х

у' (-3) = (-3)3 – (-3)2 – 6(-3) = -27 – 9 + 18 = -18 < 0.

у' (-1) = (-1)3 – (-1)2 – 6(-1) = -1 – 1 + 6 = 4 > 0.

у' (1) = 13 – 12 – 6 · 1 = -6 < 0.

у' (4) = 43 – 42 – 6 · 4 = 64 – 16 - 24 = 24 > 0.

Функция возрастает при х∊ (- ∞; -2] ∪ [0; 3].

Ответ; Функция возрастает при х∊ (- 2; 0] ∪ [3; ∞] и убывает при х∊ (-∞;-2] ∪ [0;3].


Найти промежутки монотонности функции hello_html_m32d2412.gif


Решение.

  1. Область определения

х + 2 ≠ 0

х ≠ -2

D (y) = (-∞; -2) (-2; ∞).

Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.



hello_html_mc092b9f.gifhello_html_71cc3965.gif

  1. Найдем критические точки у'(х) = 0.

hello_html_5fec4462.gif

2 D (y) и -6 D (y) и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими,у' (х) не существует при х = -2, но -2 D (y), значит не является критической.

  1. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.


hello_html_124fcb9c.gif

hello_html_m258a0dcb.gif


hello_html_m45ed1e19.gif

hello_html_m8a74d9b.gif

hello_html_m67ea72ea.gif

hello_html_m4ea0df9.gif

Функция возрастает при х∊ [-6; -2) ∪ (-2; 2 ].

Ответ: функция возрастает при х ∊ (-∞; -6] ∪ [2; ∞) и убывает при
х∊ [-6; -2) ∪ (-2; 2 ].


Необходимое условие экстремума


В точках экстремума, производная функции равна нулю или не существует. Но не в каждой точке х0, где f '(х0) = 0 или f '(х0) не существует. Но не в каждой точке х0, где f '(х0) =0 или f '(х0) не существует, будет экстремум.


Достаточное условие экстремума


Если функция f (х) непрерывна в точке х0 и производная f '(х) = меняет знак в точке х0, то х0 – точка экстремума функции f '(х).

Если в точке х0 знак f '(х) меняется с «+» на «-», то х0 – точка максимума.

Если в точке х0 знак f '(х) меняется с «-» на «+», то х0 – точка минимума.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. А значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.


Алгоритм нахождения точек экстремума и экстремумов функций


  1. Найти область определения.

  2. Найти производную функции

  3. Найти критические точки

  4. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.

  5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

точки максимума

=>точки экстремума

точки минимума

  1. Найти значения функции в точках экстремума – это экстремумы функции.

  2. Записать требуемый результат исследования функции.


Найти точки экстремума функцииhello_html_140da851.gif.


Решение

  1. Область определения

х2≠ 0

х ≠ 0.

D (y) = (-∞; 0) (0; ∞).

  1. hello_html_m4a7f3662.gif

  2. Найдем критические точки f '(х) = 0

hello_html_6267d4fd.gif

  1. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.


hello_html_m15c97c2b.gif

hello_html_m5d495cb5.gif

hello_html_m2d3cfe06.gif

hello_html_5af60200.gif

hello_html_6d83f3cd.gif

х = 2 – точка min, т.к. при переходе через точку х = 2, производная поменяла знак с «-» на «+»

Ответ: 2.





Найти точки экстремума функции f(x) = x2 · ex. Если их несколько, найти их сумму.


Решение.

  1. D(f) = R.

  2. f '(х) = (х2)'·ех + х2· (ех)' = 2х · ех + х2ех = х· ех(2 + х).

  3. Найдем критические точки f '(х) = 0.

х · ех (2 + х) = 0, ех ≠ 0.

х = 0 или 2 + х = 0

х = -2.

0 D(f)и -2 D(f)и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими

  1. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.


hello_html_m6e92b12c.gif


f '(х) = х· ех (2 + х)

hello_html_mdf36771.gif

hello_html_me8d2fe7.gif

hello_html_32b428d.gif

  1. x = -2 –точка мах

точки экстремума

х = 0 – точка min

-2 + 0 = -2.

Ответ: -2.


Найти точки экстремума функции hello_html_m7d95748f.gif. Если их несколько, найти их сумму.


Решение.

  1. Найдем область определения.

х ≠ 0

D(f) = (-∞; 0) (0; ∞).

  1. hello_html_m5c5507ca.gif

  2. Найдем критические точки f '(х) = 0.

hello_html_m2c694b8f.gif

  1. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.


hello_html_57ce0376.gif

hello_html_m7b748f60.gif

hello_html_6b4f72c8.gif

hello_html_512480c.gif

hello_html_5835d3cb.gif

  1. х = -1 – точка min – точка экстремума.

  2. hello_html_me8bde35.gif- экстремум функции.

Ответ: 3.


Уравнение касательной к графику функции


hello_html_2699d02b.gif


у = kx + b – прямая.


k = f'(х0) = tgα











Уравнение касательной имеет вид

y = f (x0) + f' (x0) · (xx0), где х0– абсцисса точки касания.


  1. f (x0)

  2. f ' (x)

  3. f' (x0)

Уравнение привести к виду y = kx + b


  1. Составить уравнение касательной к графику функции у = х2 – 2х в точке с абсциссой х0 = 3.

Решение.

Уравнение касательной имеет вид:

y = f (x0) + f ' (x0) · (x – x0).

f (x0) = f(3) = 32 – 2 · 3 = 9 – 6 = 3.

f '(x) = 2х – 2; f '(x0) = f '(3) = 2 · 3 – 2 = 4.

у = 3 + 4 (х – 3)

у = 3 + 4х – 12.

у = 4х – 9.

Ответ:у = 4х – 9.

  1. Дана кривая у = -х2 + 1. Найти точку ее графика, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.


Решение.

Так как касательная параллельная прямой у = 2х + 3, то их угловые коэффициенты равны, т.е.k = y'(х0) = 2.

y'(х) = -2 х.

Пусть х0 – абсцисса точки касания, тогда y'(х0) = -2 х0, поэтому -2 х0 = 2, х0 = -1,

аy0 = f(-1) = -(-1)2 + 1= 0.

Итак, (-1; 0) – искомая точка.

Ответ: (-1; 0).


  1. На параболе у = х2 – 2х – 8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х + у + 4 = 0.


Решение.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у = х22х – 8:у' = 2х – 2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х + у + 4 = 0: у = -4х – 4, k = -4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны 2х – 2 = -4, 2х = -2, х = -1.

Найдем ординату точки М:у (-1) = (-1)2 – 2 · (-1) -8 = 1 + 2 – 8 = -5.

М (-1; -5)

Ответ: М (-1; -5).


  1. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у = х2 – х – 12, образует с осью ОХ угол 45°.


Решение.

Найдем тангенс угла наклона касательной, проведенной в искомой точке, к оси ОХ:
tgα = y' (x) = 2x – 1, т.к. α = 45°, то tg 45° = 2x – 1,

1 = 2х – 1

2х = 2

х = 1.

Определим ординату искомой точки: у (1) = 12 – 1 – 12 = -12.

Искомая точка (1; -12).

Ответ: (1; -12).


  1. В какой точке кривойhello_html_2189d146.gif, касательная наклонена к оси абсцисс под углом 60°?


Решение.

Находим у'(х).

hello_html_64418435.gif

Т.к. по условию у'(х) = k = tg 60°, то

hello_html_m1c81af33.gif

Возведем обе части уравнения в степень hello_html_m1f059aac.gif, тогда hello_html_15c62ed5.gif

Найдем ординату точки касания:

hello_html_35d05890.gif. Итак, искомая точка hello_html_3e49790a.gif.

Ответ:hello_html_3e49790a.gif.


  1. Найти угол между прямой х = 3 и параболой у = х2.


Решение.

Углом между прямой и кривой называется угол между этой прямой и касательной к кривой в точке их пересечения.

hello_html_55a18e32.gif

ΔАВС прямоугольный (hello_html_26e95339.gif), тогда hello_html_m56d43dd6.gif, значит φ = 90° - α или hello_html_1db85803.gif. Найдем у' (х) = 2х. Т.к. tgα = y' (3) = 2 · 3 = 6, то α = arctg 6. Следовательно, hello_html_120dcc13.gif



Ответ: hello_html_6ec5d5cb.gif




  1. Найти, под каким углом ось ОХ пересекает параболу у = х2 + х.


Решение.

Найдем точки пересечения параболы у = х2 + х сосью ОХ. Для этого следует решить систему уравнений

hello_html_76a224e5.gif

x2 + x= 0

x (x + 1) = 0

x = 0 или x + 1 = 0, x= -1.

Значит парабола пересекает ось ОХ в точках
(-1; 0) и (0; 0).
hello_html_2090df9f.gif

у' = (х2 + х)' = 2х + 1

k1 = y' (-1) = 2 ·(-1) + 1 = -1 k2 = y' (0) = 2 · 0 + 1 = 1

k = tgα, tgα1 = -1 tgα2 = 1

α1 = 135° α2 = 45°



Ответ: 135°, 45°.



  1. Составить уравнение касательной к графику y = cosx в точке абсцисс

hello_html_35f85a4a.gif


Решение.

Уравнение касательной имеет вид

y = у(x0) + у '(x0) · (xx0).

а) hello_html_m4d39264e.gif

hello_html_594e9af9.gif

hello_html_288af603.gif

hello_html_15d9e36d.gif

hello_html_m60074c48.gif

hello_html_m6299656.gif- уравнение касательной в точке hello_html_m4d39264e.gif.

б) hello_html_m6d178c8e.gif

hello_html_m4b4c65d1.gif

hello_html_46e76e3d.gif

hello_html_m41d1081e.gif

hello_html_m7ac40436.gif.

hello_html_m4ae385be.gif- уравнение касательной в точке hello_html_m2780a6d8.gif.

Ответ: hello_html_m6299656.gif; у = 1


  1. Найти координаты точки пересечения касательных к графику функции f(x) = sin 3x в точках с абсциссами hello_html_m7e5ee3b2.gif.


Решение.

Напишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой hello_html_m6e51d9b3.gif

y = f (x1) + f '(x1) · (xx1).

hello_html_m5b2a87fd.gif

hello_html_m7036a303.gif

hello_html_m65d4c243.gif

hello_html_m7d7dd46a.gif

hello_html_m4a6534fb.gif

hello_html_mc5e33d3.gif

hello_html_1323ff86.gifуравнение касательной в точке с абсциссой hello_html_m6e51d9b3.gif.

Напишем уравнение касательной в точке с абсциссой hello_html_5bda8853.gif.

y = f (x2) + f '(x2) · (xx2).

hello_html_m1fbaaba5.gif

hello_html_46241547.gif

hello_html_274e4f3b.gif

hello_html_m538bf57a.gif

hello_html_m3d75da18.gif

hello_html_m692471fb.gifуравнение касательной в точке с абсциссой hello_html_5bda8853.gif.

Чтобы найти координаты точки пересечения касательных, решим систему уравнений

hello_html_m1c516775.gif

hello_html_25251063.gif

hello_html_md6c1f61.gif

hello_html_6fdf3cbb.gif

hello_html_m385070a8.gif

hello_html_75164c9e.gif

hello_html_m520c6d79.gif

hello_html_m2c89f36.gif

hello_html_m146b38c6.gif

hello_html_m331ac5e3.gifточка пересечения касательных.

hello_html_m6c2be858.gif:hello_html_m331ac5e3.gif.


  1. Найти площадь треугольника, ограниченного координатными осями и касательной к графику функции hello_html_1047b3a1.gif в точке с абсциссой х0 = 1.


Решение.

Напишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = 1.

y = f (x0) + f '(x0) · (xx0).

hello_html_34e2c9b1.gif

hello_html_46709c73.gif

hello_html_2731f80a.gif

hello_html_m5bb5be49.gif

y = -2 – 5 (x – 1)

y = -2 – 5x + 5

y = -5x + 3 – уравнение касательной.

Найдем координаты точек пересечения касательной с осями координат

На оси ОХ у = 0hello_html_m67de5591.gif

0 = -5х + 3

5х = 3

hello_html_7017e0f1.gif

На оси ОYx = 0

y = -50 + 3

y = 3 (0; 3)

АО = 3; ОВ = hello_html_3b88a430.gif

hello_html_13a1a6e.gif

Ответ: 0,9.


  1. Найти уравнения касательных к графику функции f(x)=6xx2 в точках с абсциссами х1 = 1 и х2 = 4 и площадь треугольника, ограниченного этими касательными и осью ОУ.


Решение.

Графиком функции f(x)=6xx2 является парабола, ветви которой направлены вниз.

hello_html_5d23bf88.gifhello_html_m1c6cfc52.gifhello_html_3f905341.png

Нули функции

6хх2 = 0

х (6 – х) =0

х = 0 х = 6












Напишем уравнение касательной к графику функции f(x)=6xx2 в точке с абсциссой х1 = 1

y = f (x1) + f '(x1) · (xx1).

hello_html_2bed5bb9.gifhello_html_23951558.gifhello_html_m90ccddf.gif

y = 5 + 4(x – 1)

y = 5 + 4x – 4

y = 4x + 1

Данная касательная пересекает ось OY в точке А

х = 0, у = 4 0 + 1 = 1, А (0; 1).

Напишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х2 = 4.

y = f (x2) + f '(x2) · (xx2).

hello_html_m722d6761.gifhello_html_37f6a02e.gif

у = 8 – 2 (х – 4)

у = 8 – 2х + 8

у = -2х + 16.

Данная касательная пересекает ось OYв точке В

х = 0, у = 16, В (0; 16).

ТочкаС – точка пересечения касательных.

СК АВ, СК – высота ΔАВС.

hello_html_m9a3758f.gif

Найдем абсциссу точки пересечения касательных

hello_html_7da67ce7.gif

4x + 1 = -2x + 16

4x + 2x = 16 – 1

6x = 15

hello_html_m5e34cb6f.gif

hello_html_m768a9f5f.gif

hello_html_m1cf9aec7.gif

Ответ: 18,75


Решение экстремальных задач


Алгоритм решения текстовых задач на определение наименьшего и наибольшего значения с помощью производной

  1. Ввести переменную х.

  2. Определить промежуток изменения х, исходя из реального условия задачи.

  3. Составить формулу для функции от х, наименьшее или наибольшее значение которой требуется определить.

  4. Найти производную функции.

  5. Вычислить критические точки функции.

  6. Выбрать те критические точки, которые принадлежат промежутку для х.

  7. Вычислить значения функции в критических точках, лежащих внутри промежутка и на его концах.

  8. Установить вид экстремума в критических точках внутри промежутка с помощью достаточного условия экстремума.

  9. Из всех полученных чисел выбрать наибольшее или наименьшее.

  10. Записать ответ.

Задача 1. Вычислить длину сторон прямоугольника, периметр которого 48 см., имеющего наибольшую площадь.


Решение.

В С

Р = 2 (АВ + АD)

48 = 2(AB + AD)

AB + AD = 24


А D

Пусть АВ = х см, тогда АD = (24 – х) см.

Исходя из условия задачи х ϵ (0; 24).

Составим функцию площади прямоугольника, наибольшее значение которой необходимо найти.

S (x) = x∙(24 – x)

S (x) = 24xx2

Найдем критические точки функции S (x) = 24xx2

S΄ (x) = (24xx2)΄ = 24 – 2х

S΄ (x) = 0

24 – 2х = 0

2х = 24

х = 12 ϵ (0; 24)

Определим вид экстремума в критической точке х = 12


hello_html_75e366bf.gif

S΄ (x) = 24 – 2х

S΄ (1) = 24 – 2 1 = 22 > 0

S΄ (13) = 24 – 2 13 = 24 – 26 = -2 < 0.

х = 12 – точка мах

S (0) = 0 ∙(24 – 0) = 0

S (24) = 24 ∙(24 – 24) = 0

S (12) = 12 ∙(24 – 12) = 12 ∙12 = 144.

Наибольшее значение площади прямоугольника при х = 12 см., значит

АВ = CD = 12 (см), а

AD = BC = 24 – 12 = 12 (см)

т.е. АВСD – квадрат со стороной 12 см.

Ответ: квадрат со стороной 12 см.


Задача 2. Забором длиной требуется огородить наибольшую по площади прямоугольную площадку, примыкающую к реке. Каковы должны быть размеры прямоугольника, если со стороны реки забор не установлен.


Решение.


АВ + AD + CD = ℓ.hello_html_57a94703.gif

Пусть АВ = CD = х см, тогда АD = ℓ - 2х.

Исходя из условия задачи хϵ (0; ℓ).

Составим формулу площади прямоугольника, наибольшее значение которой нужно найти.

S (x) = x (ℓ - 2х).

S (x) = ℓx– 2х2.

S΄(x) = (ℓx– 2х2)΄=ℓ - 4х.

Найдем критические точки функции S΄(x) = 0.

- 4х = 0

4х = ℓ

hello_html_55b0406d.gif

Установим вид экстремума в критической точке hello_html_2c5dc8ed.gif


hello_html_m612e49ba.gif

S΄(x) = ℓ - 4х

hello_html_17bd8af3.gif

hello_html_m66f331bc.gif

hello_html_2c5dc8ed.gifточка мах.

S (0) = 0 (hello_html_m776f4b9a.gif

S () = ( - 2) = -2.

hello_html_m63644ed.gif

Наибольшую площадь прямоугольная площадка имеет при hello_html_2c5dc8ed.gif, значит АВ = СD = hello_html_m15cd8a1e.gif, а hello_html_4fe84e25.gif.

Ответ:hello_html_de5eddc.gif


Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке


Если функция f (x) непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает свое наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции,

непрерывной на отрезке

  1. Найти область определения функции и проверить принадлежит ли отрезок области определения.

  2. Найти производную f΄(x).

  3. Найти критические точки.

  4. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

  5. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

  6. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.


Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

hello_html_m26ec95f5.gif


Решение.

  1. Область определения

hello_html_m779a4fce.gifhello_html_7efb634a.gifhello_html_2be770e9.gif

  1. hello_html_9a39c34.gif

  2. Найдем критические точки y΄(x) = 0.

hello_html_m756c55d5.gif

  1. hello_html_m2a0349fb.gif

  2. Вычислим значения функции в критической точке х = -2 и на концах отрезка [-3;0]

hello_html_3035c7d6.gif

hello_html_62e54b00.gif

hello_html_m7b06340.gif

  1. max y(x) = y (-2) = -4

[-3; 0 ]

miny(x) = y (0) = -8

[-3; 0 ]

Ответ: -4; -8.


Применение производной при решении уравнений,

неравенств, доказательстве тождеств.


При этом будем использовать следующие свойства функций:

  1. Если непрерывная функция f(x) возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня.

  2. Если f΄(x) = 0 на некотором промежутке, то f(x) =const на этом промежутке.


Пример 1. Докажите, что уравнение hello_html_60f028b9.gif не имеет корней.


Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_m25fa3925.gif/

Область определения функции х – 2 ≥ 0, х ≥ 2.

hello_html_391d7907.gifhello_html_58fb4734.gif

hello_html_m3b215bc5.gif

Следовательно, f (x) ≥ f (2) = 3 и уравнение f (x) = 2 решений не имеет.


Пример 2. Докажите неравенство hello_html_m437cfef1.gif.


Доказательство.

Перепишем данное неравенство в виде

hello_html_23947241.gif

hello_html_73e9f930.gif

hello_html_m1d319a98.gif

hello_html_m1dfc9eaa.gif

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_m4efd6109.gifна (- ∞; ∞)

hello_html_m59ddee63.gif

Найдем критические точки f΄(x) = 0.

hello_html_4d2f292f.gif

(x – 1)(x + 1) = 0

x = 1 x = -1


hello_html_569b53bc.gif

hello_html_52adeb21.gif

hello_html_m7fc18814.gif

hello_html_m7c3282cb.gif

x = 1 – точка мах.

hello_html_m29cfe3a8.gif, тогда в силу нечетности функции hello_html_m5d081fb.gif

Значит hello_html_m5e32154.gif, что и требовалось доказать.

Исследование функции с помощью производной

и построение графика функции.


Схема исследования функции с помощью производной.

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

  3. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

  4. Найти производную функции.

  5. Найти критические точки.

  6. Найти промежутки возрастания и убывания функции.

  7. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

  8. Найти асимптоты графика функции.

  9. Построить график функции.


Пример. Исследуйте функцию и постройте ее график у = 3х5 – 5х3


Решение.

  1. D (y) = R, функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

  2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

На оси ОХ у = 0

3х5 – 5х3 = 0

х3 (3х2 – 5) = 0

х3 = 0 или 3х2 – 5 = 0

3х2 = 5

hello_html_m62665e1c.gif

х = 0 hello_html_7ffffecf.gif

(0; 0), hello_html_7301e62a.gif – точки пересечения с осью ОХ.

На оси ОУ х = 0

у(0) = 3 05 - 5 03 = 0, (0; 0)

  1. Непериодична.

D (y) = R – симметрична относительно нуля.

у (-х) = 3 ∙ (-х)5 - 5 ∙ (-х)3 = -3х5 + 5х3 = -(3х5 + 5х3) = -у (х), значит функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

  1. у΄(х) = (3х5 – 5х3)΄ = 3 5х4 – 5 3х2 = 15х4 – 15х2 = 15х2(х2– 1).

5) Найдем критические точки: у' (х) = 0

15х2 (х2 – 1) = 0

х2 = 0 или х2 – 1 = 0

х = 0 (х – 1)(х + 1) = 0

х = 1 х = -1

0 D(y), -1 D(y), 1 D(y) и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими.

6) Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.


hello_html_m3822caa.gif


у'(х) = 15х2 (х2 – 1)

у'(-2) = 15(-2)2 ((-2)2 – 1) = 15 · 4 · 3 >0

hello_html_m3c3f8376.gif

hello_html_m69272825.gif

hello_html_62c19563.gif

Функция возрастает при х∊ (-∞; -1] [1; ∞) и убывает при х∊[-1; 0][0; 1] = [-1; 1]

  1. x = -1 – точка мах

точки экстремума

х = 1 – точка min

умах = у(-1) = 3 · (-1)5 - 5·(-1)3 = -3 + 5 = 2

умin = у(1) = 3 · 15 - 5·13 = 3 5 = -2

  1. Найдем асимптоты

а) вертикальных асимптот нет

б) горизонтальные

hello_html_55057fad.gif

горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные hello_html_m16d0dc0d.gifгде

hello_html_m6d577c01.gif

hello_html_m5d2f139c.gif

Наклонных асимптот нет.



Автор
Дата добавления 26.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров316
Номер материала ДВ-486796
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх