Урок по математике в 10 классе по теме "Тригонометрические уравнения"

• 1 слайд

  Динамическая пауза
  

• 2 слайд

Урок по математике в 10 классе.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний, комбинированный.

Методы обучения: практикум по решению задач, игровая проверка знаний.

Цели урока:

1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; восполнить знание учащихся, которые пропустили материал. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения всех видов  тригонометрических уравнений
2. Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы  сравнения, обобщения, выделения главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуре, формировать общетрудовые умения. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности. 

Оборудование урока: 

1.   Компьютер, проектор, экран, учебник, тетради;

2.   Чистые листы для самостоятельной работы;

3.   Таблицы по тригонометрии:

         а) значения тригонометрических функций;

б) решение тригонометрических уравнений  (частные случаи);

         в) основные формулы тригонометрии

Ход урока

Математика – царица наук,
а арифметика – царица математики.
К. Гаусс

1. Организационный момент

Долгожданный дан звонок,
Начинается урок.
Тут затеи и задачи,
Игры, шутки, -
Всё для вас
Пожелаю вам удачи-
За работу, в добрый час!
Давайте улыбнёмся друг другу и с хорошим настроением начнём наш урок.

2. Разгадайте анаграмму и определите, какое слово лишнее. Что связывает оставшиеся слова между собой?
          зачада                    варунение
           гукр                     извенестная

Как вы думаете, какова  тема нашего урока? 

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения   тригонометрических уравнений. Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

 Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделал неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по - другому? А что будет, если… А быть может, вот так…  А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах?

 И сегодня на уроке мы с вами узнаем какие имена имеет дед мороз в разных странах, а главная интрига – это ответ на вопрос: когда же у Деда Мороза день рождения?

Уверены все люди на планете,
Что дня рожденья у Мороза нету!
Это глупое заблужденье -
Есть у каждого День Рожденья!

3. Игра «Вопрос-ответ»

Я называю ученика и адресую ему вопрос, если учащийся правильно отвечает на вопрос, то он называет следующего отвечающего, если отвечающий затрудняется ответить на вопрос, то он передает его другому ученику, назвав его имя:

№	Вопросы для учащихся	Предполагаемые ответы
1	Дать определение числовой окружности?	Окружность радиусом равным 1 с центром в начале координат называется единичной окружностью.
2	В каких единицах измеряются углы	Градусах  и радианах
3	Какие уравнения называют тригонометрическими?	Уравнения, в которых переменная  стоит под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
4	Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений?	sinх=а; cosх=а;  tgx=a; ctgx=a
5	Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение?	Тригонометрические уравнения имеют множество корней в силу периодичности тригонометрических функций.
6	Что значит решить тригонометрическое уравнение?	Найти множество корней или убедиться, что корней нет.
7	Как решаются простейшие тригонометрические уравнения.	Для решения простейшего тригонометрического уравнения рисуем числовую окружность

4. Установи соответствие: слайд 2

 

                                                         

5. Перед вами уравнения:

В течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу  (в таблицу занести число под которым стоит уравнение):

Простейшее тригонометрическое	Замена переменной	Разложение на множители	Однородные уравнения
2, 5, 7, 8, 9, 11, 13	3, 4	1, 12	6, 10

1) 2sinxcos 5x – cos 5x =0;

2) sin (π+x)=0

3)3tg ² x  + 2tg  x  -1=0

4) 2 cos² x + 9cos x +14=0;                          

5) sin 2х = -1   

6)2sinx – 3cosx = 0

7)  cos 3x = 0;

8) cos (х – π/4) = ½;

 9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.

10) 3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0                  

11)√3tg2x + 1 = 0

12) 3cos²x – sinx – 1 =0

13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

Мы познакомимся с французским Дедом Морозом. (слайд 4)

Пьер Ноэль

Этот Дед Мороз – французский. В переводе его имя значит «рождественский отец». Говорят, к каждому дому он подъезжает на ослике, и везет с собой плетеную корзинку, полную рождественских и новогодних подарков

6. Решение  уравнений (два ученика у доски)

                                     а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx  ≠ 0

2sinx	–	3cosx	=	0
cosx		cosx		cosx

                                          2tgx – 3 = 0

                                           2tgx = 3

                                            tgx = 1,5

                                         Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z

                                     б) 3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0

3sin2x	–	4sinxcosx	+	cos2x	= 0
cos2x		cos2x		cos2x

                                               3tg²x – 4tgx + 1 = 0

пусть  tgx = y

                             3y² – 4y + 1 = 0

D = 16 – 4·3·1 = 4

y_1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3

tgx = 1                                  или                tgx = 1/3              

x = π/4 + πn, n € Z  x = arctg(1/3) + πk, k € Z

Ответ: π/4 + πn, n € Z;    arctg(1/3) + πk, k € Z

А сейчас мы вспомним какое имя имеет Дед Мороз из США

Санта Клаус почитается в Соединенных Штатах Америки, в Канаде и Австралии. Разъезжает Санта по небу на санях, запряженных северными оленями, со свитой эльфов и подарками. Подарки детишкам Санта Клаус раскладывает под елку, а так же в услужливо развешанные над камином носки. В дом Санта попадает через дымоход.

Живет он в Лапландии.

7. Динамическая пауза (слайд 8) (Танцевальные движения)

8. Тригонометрия – это не просто набор цифр и формул.

Украдкой время с тонким мастерством

Волшебный праздник создает для глаз

И в то же время в беге круговом

Уносит все, что радовало нас.

                                           У. Шекспир (слайд7)

(слайд 11). Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло солнца и луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов, фазы Луны и движение нашей планеты.

(слайд 12) Большое значение имеет техника, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. 

(слайд 13-14)В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными, например колебания тока в электрической цепи. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям, которые можно описать по закону синуса или косинуса.

Слайд 15 – радуга

Слайд 16 – рыбы

Слайд 17 -  северное сияние

Слайд 18. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки.

(слайд 19-26)Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

И мы готовы познакомиться с Дедом Морозом из Финляндии. (слайд 27)

Йоулупукки

Это ни кто иной, как наш старый - добрый знакомый, Дед Мороз, В Финляндии его прозвали так странно из-за того, что этот приветливый дедок разъезжает на небольшой повозке, в которую впряжен козел… В переводе с Финского Йоулупукки значит

«рождественский козел».

9.   Постройте (с помощью программы Excel)  график функций:

у= |sin x|

Взаимопроверка (меняемся тетрадями). (слайд 29)

И мы готовы познакомиться с Дедом Морозом из Норвегии. (слайд 29)

Ниссе

Таков аналог Деда Мороза в Норвегии и Дании. Это не один персонаж, а велико множество. Ниссе – норвежские домовые. Маленькие, с крохотными бородками и в красных вязаных колпачках. Тех, кто приходит в новогодние праздники, называют Рождественскими Ниссе.

10.  Уравнения с параметром.

Решение уравнений с параметром (учитель) 

Притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному дверному замку. Кто откроет тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку.»

Найти сумму всех целых значений параметра а, при которых уравнение

 sin² x  – 2cosx – 2 – a = 0  имеет решение.

Решение:

sin² x  – 2cosx – 2 – a = 0

(1 - сos²x) – 2cosx – 2 – a = 0

 - сos²x – 2cosx – 1  = a

сos²x +2cosx +1  = -a

(cosx + 1)² = -а

Т.к.              -1 ≤cosx≤1

              0 ≤ cosx + 1≤2

                  0 ≤ (cosx + 1)² ≤4

                         0≤ -а≤ 4

                         -4≤а≤0

Найдем  сумму всех целых значений параметра а:

(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -10.

Ответ: -10.

Дед мороз из Чехии

Дед Микулаш. Дед  Микулаш разносит подарки деткам из Чехии, в его свите есть ангел и чертенок. Ангел дарит детям подарки и сладости, а чертенок дает непослушным малышам угольки и картофель.

11. Уравнения на экзамене ЕГЭ по математике.

Решите уравнение 10^sinx = 2^sinx · 5^-cosx. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [, ]

День рождения Деда Мороза (слайды 33-34 )

В Вологодской области с 1998 года действует государственный туристический проект «Великий Устюг — родина Деда Мороза». В рамках этого проекта с 2005 года также отмечается «официальный» день рождения Деда Мороза: 18 ноября

8. Рефлексия. Слайд35

Сегодня я узнал…..

Было трудно…..

Я научился……………

Меня заинтересовало………….

Мне захотелось………

Меня удивило…………………

Теперь я могу………….

 Оценки выставьте себе сами в оценочный лист.

По приметам очень важным:
Борода и красный нос,
Мы сегодня поздравляем:
С Днём рожденья, Дед Мороз.

С днем рожденья, чародей,
Любитель всяческих затей,
Волшебник, сказочник, проказник!
Придём на твой веселый праздник.

Потому тебе здоровья
Пожелаем от души,
Чтобы так же ты с подарком
К детям в Новый год спешил.

Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. .Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

Я надеюсь,  что сегодняшний урок прошёл для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

Приложение 1

Простейшее тригонометрическое	Замена переменной	Разложение на множители	Однородные уравнения

Приложение 2

Оценочный лист

№	Задание	Успешность
1	Игра «Передай другому»
2	Распределение  уравнений по известным вам методам решения
3	Решение однородных уравнений
4	Построение графика функции y = |sinx|
5	Решение уравнения с параметром а
6	Решение уравнения из материалов ЕГЭ
Оценка:

• 1 слайд

  Разгадайте анаграмму и определите, какое слово лишнее. Что связывает оставшиеся слова между собой?
  
  зачада варунение
  гукр извенестная
  
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  Решение тригонометрических уравнений.
  

• 3 слайд

  Установите соответствие
  

• 4 слайд

  В течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести число под которым стоит уравнение):
  1) 2sinxcos 5x – cos 5x =0;
  2) sin (π+x)=0
  3)3tg 2 x + 2tg x -1=0
  4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0;
  5) sin 2х = -1
  6)2sinx – 3cosx = 0
  7) cos 3x = 0;
  8) cos (х – π/4) = ½;
  9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.
  10) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0
  11)√3tg2x + 1 = 0
  12) 5 sin x+3 sin2x=0
  13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0
  

• 5 слайд

  Пьер Ноэль (Пер Ноэль)
  Этот Дед Мороз – французский. В переводе его имя значит «рождественский отец». Говорят, к каждому дому он подъезжает на ослике, и везет с собой плетеную корзинку, полную рождественских и новогодних подарков.
  

• 6 слайд

  Решение уравнений
  
  а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx ≠ 0; б) 3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0
  2sinx –3cosx = 0
  сosx cosx cosx
  2tgx – 3 = 0
  2tgx = 3
  tgx = 1,5
  x = arctg1,5 + πn, n € Z
  
  Ответ: arctg1,5 + πn, n € Z
  
  3sin²x –4sinxcosx +cos²x = 0
  сos²x cos²x cos²x cos²x
  3tg²x – 4tgx + 1 = 0
  пусть tgx = y
  3y² – 4y + 1 = 0
  D = 16 – 4·3·1 = 4
  y1,2 = (4 ± 2)/6; у1= 1; у2 =1/3;
  tgx = 1, x = π/4 + πn, n € Z
  tgx = 1/3, x = arctg(1/3) + πk, k € Z
  
  Ответ: π/4 + πn, n € Z;
  arctg(1/3) + πk, k € Z
  

• 7 слайд

  
  Ответ: arctg1,5 + πn, n € Z
  
  Ответ: π/4 + πn, n € Z;
  arctg(1/3) + πk, k € Z
  x = ± 3π/4 + 6 πк, к
   Z
  Ответ: ± 3π/4 + 6 πк, к  Z
  Ответ: π/4 + 2πn, n € Z
  
  Соединенные Штаты Америки
  Санта Клаус
  
  Швеция
  Клаус
  
  

• 8 слайд

  Санта Клаус
  Санта Клаус почитается в Соединенных Штатах Америки, в Канаде и Австралии. Разъезжает Санта по небу на санях, запряженных северными оленями, со свитой эльфов и подарками.
  Подарки детишкам Санта Клаус раскладывает под елку, а так же в услужливо развешанные над камином носки. В дом Санта попадает через дымоход.
  Живет он в Лапландии.
  
  

• 9 слайд

  Динамическая пауза
  

• 10 слайд

  Тригонометрия
  это не просто набор цифр и формул
  

• 11 слайд

  Биоритмы и мы
  Украдкой время с тонким мастерством
  Волшебный праздник создает для глаз
  И в то же время в беге круговом
  Уносит все, что радовало нас.
  У. Шекспир
  

• 12 слайд

  Биоритмы - это равномерные чередования во времени каких-либо состояний организма
  

• 13 слайд

  Применение тригонометрии в астрономии
  По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.
  

• 14 слайд

  На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.
  
  Можно рассчитать полет снаряда, зная проекции векторов на оси Х и У соответственно , они равны
  υx = υo cos α
  υy = υo sin α
  Применение в физике
  

• 15 слайд

  Применение тригонометрии в жизни
  
  Применение в электротехнике
  

• 16 слайд

  Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
  
  sin α / sin β = n1 / n2
  
  n1 - показатель преломления первой среды
   n2 - показатель преломления второй среды
  α-угол падения,
  β-угол преломления света
  
  

• 17 слайд

  Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
  При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
  

• 18 слайд

  Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром. Так возникает северное сияние
  
  

• 19 слайд

  Даже в музыке есть своя геометрия
  

• 20 слайд

  Тригонометрия в архитектуре
  

• 21 слайд

  Антонио Гауди - испанский архитектор, большинство причудливо-фантастических работ которого возведено в Барселоне
  Поверхности Гауди
  

• 22 слайд

• 23 слайд

  Дом Мила
  Барселона 1910г
  

• 24 слайд

  Храм Святого Семейства
  Temple Expiatori de la Sagrada Família
  
  

• 25 слайд

• 26 слайд

  Стул Гауди
  

• 27 слайд

  
  Ресторан в Лос-Манантиалесе
  Ф.Кандела, 1958г
  [adcos(t) + ddt , bdsin(t), cdt + edt2]
  
  

• 28 слайд

  Йоулупукки
  
  Это ни кто иной, как наш старый - добрый знакомый, Дед Мороз, В Финляндии его прозвали так странно из-за того, что этот приветливый дедок разъезжает на небольшой повозке, в которую впряжен козел… В переводе с Финского Йоулупукки значит
  «рождественский козел».
  

• 29 слайд

  Постройте график функции
  y = |sinx|
  

• 30 слайд

  Ниссе
  
  Таков аналог Деда Мороза в Норвегии и Дании. Это не один персонаж, а велико множество. Ниссе – норвежские домовые. Маленькие, с крохотными бородками и в красных вязаных колпачках. Тех, кто приходит в новогодние праздники, называют Рождественскими Ниссе.
  

• 31 слайд

  Найдите сумму всех целых значений параметра а, при которых уравнение
  sin2x – 2cosx – 2 – a = 0
  имеет решение.
  Дед Микулаш
  Дед Кыш-Бабай.
  Дед Кристмас
  Ответ: 10
  Ответ: 11
  Ответ: - 10
  

• 32 слайд

  Дед Микулаш разносит подарки деткам из Чехии, в его свите есть ангел и чертенок. Ангел дарит детям подарки и сладости, а чертенок дает непослушным малышам угольки и картофель.
  Дед Микулаш
  
  

• 33 слайд

  С 1: Решите уравнение
  10sinx = 2sinx · 5-cosx.
  Ответ: - π/4+πn, n ϵ Z
  Ответ: π/2+2πn, n ϵ Z
  Ответ: π+2πn, n ϵ Z
  31 декабря
  18 ноября
  1 января
  

• 34 слайд

  Нет такого малыша в России, который не знал бы, кто он такой – этот Дед Мороз. По славянским преданьям, живет Дед Мороз со своей внучкой Снегурочкой в глухой лесной чащобе, целый год занимается подарками и читает письма от детей, а потом за одну новогоднюю ночь разносит всем детям желанные игрушки или сладости. Символом новогодних праздников он стал примерно 100-150 лет назад.
  
  Дед Мороз
  

• 35 слайд

  В Вологодской области с 1998 года действует государственный туристический проект «Великий Устюг — родина Деда Мороза». В рамках этого проекта с 2005 года также отмечается «официальный» день рождения Деда Мороза: 18 ноября
  Адрес, по которому можно написать письмо Деду Морозу: 162340 Россия, Вологодская обл.,
  г. Великий Устюг, Деду Морозу.
  

• 36 слайд

  По приметам очень важным:
  Борода и красный нос,
  Мы сегодня поздравляем:
  С Днём рожденья, Дед Мороз!
  С днем рожденья, чародей,
  Любитель всяческих затей,
  Волшебник, сказочник, проказник!
  Придём на твой веселый праздник.
  Потому тебе здоровья
  Пожелаем от души,
  Чтобы так же ты с подарком
  К детям в Новый год спешил.
  

• 37 слайд

  Продолжи предложение
  Сегодня я узнал…..
  Было трудно…..
  Я научился……………
  Меня заинтересовало………….
  Мне захотелось………
  Меня удивило…………………
  Теперь я могу………….
  

• 38 слайд

  «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.»
  А. Эйнштейн.
  

• 39 слайд

  Спасибо за
  урок!
  Автор: Петрунина А. В., учитель математики МБОУ-СОШ с. Новосельское Аркадакского района Саратовской области
  

Краткое описание документа:

Данный урок является уроком обобщения и систематизации знаний по математике в 10 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений".

Заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Перед учениками стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Мы поговорим об одном из фундаментов алгебры – уравнениях.

Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделал неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по - другому? А что будет, если… А быть может, вот так… А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах?

На уроке мы узнаем какие имена имеет Дед Мороз в разных странах, а главная интрига – это ответ на вопрос: когда же у Деда Мороза день рождения?

Урок сопровождается презентацией.