МбОУ Каминская
СОШ
|
"Решение
уравнений и систем уравнений"
|
Урок
по математике в 9-м классе
|
|
Резник Ольга Федоровна учитель математики 1 квалификационной
категории
|
17.10.2014
|
Цель урока:
Обобщение знаний учащихся, умений и навыков по решению уравнений
различного вида и систем уравнений разными способами. Закрепить навыки решения уравнений, способствовать выработке умений при
решении задач.
Образовательные:
закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы;
отработка способов решения уравнений и систем уравнений, выработка умения
выбрать нужный, рациональный способ решения.
Развивающие:
развитие логического мышления, памяти, внимания, умений
сравнивать и обобщать.
Воспитательные:
воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, развивать:
интерес предмету.
Ход урока:
I. Вступление.
1. Вступление учителя:
“Математика
в своей сущности достаточно таинственна и романтична и обладает особой
красотой, но не каждому, к сожалению, суждено видеть эту красоту.
Проведем
сегодняшний урок в открытой форме. И надо постараться провести его так, чтобы
как математик Харди, который однажды произнес, и его слова остались
бессмертными: “В мире нет места для некрасивой математики”.
2. Устный опрос
Учитель:
решение систем уравнений 2ой степени сводится к решению квадратных уравнений.
Вспомним методы решения квадратных уравнений.
К таким методам относятся:
Разложение
на множители;
Введение
новой переменной;
Графический
способ.
Разложение
на множители:
Вынесение
общего множителя за скобки;
Использование
формул сокращенного умножения;
Способ
группировки.
Вспомним способы решения систем уравнений.
Способ
сложения;
Способ
подстановки.
3.
Историческая справка
Посмотрите
на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое
многообразие?
Безусловно,
человечество “додумалось” до всего не сразу и в одночасье. Для этого
потребовались долгие годы и даже столетия.
Обратимся
к историческому путеводителю.
Первые
упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными
относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и
Древнего Египта.
Первое
тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится
творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при
помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в
Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время
знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское
государство Киевская Русь.
Все
это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого
подхода к их решению.
И
только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик
Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для
неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем
самым заложил основы буквенной алгебры
4. Математический диктант
1.
Укажите
коэффициенты a,b и с
квадратного уравнения
а) ,
б) ,
в) .
2. Сколько корней имеет квадратное
уравнение
а) ,
б) ,
в) ?
3. Запишите формулу корней
квадратного уравнения.
Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в
уравнении 2а для выполнения задания? (Нет, потому что свободный член этого
уравнения отрицателен, при а >0, следовательно, дискриминант положителен).
Обратите
внимание на уравнения 1в и 2б. чем они отличаются от остальных уравнений?
(Старший коэффициент в каждом из этих уравнений равен 1). Такие уравнения имеют
свое название. Какое?
5. Разминка (двое решают у
доски)
1.
Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из
них на 8 больше другого. Ответ: (-13;-21),(21;13)
2.
Длина прямоугольника больше его ширины на 6 см. Найдите стороны
прямоугольника, если площадь его равна 112 см2.
Ответ: (8;14)
6. Решить
графически уравнение:
a) ;
б).
7. Каким
способом лучше решать систему?
а)
б)
8. Игра “Домино”.
Решить
4 системы уравнения и для каждого системы подобрать карточку с соответственными
корнями этой системы. Сложить цепочку.
Ребята решают
в парах.
1 вариант..
2 вариант.
Перевернуть
карточки. Должно получиться слово, если все сделано правильно. По порядку
читаются слова.
На каждой
карточке на обратной стороне написано слово из четверостишия. В результате
получается фраза:
Не всегда
уравненья
Разрешают сомненья,
Но итогом сомненья
Может быть озаренье.
А.Н.Колмогоров
9. Исследовательская работа “Трудная задача”.
1.
Картина Богданова-Бельского “Трудная задача” известна многим, но мало кто из
видевших эту картину вникал в содержание той “трудной задачи”, которая на ней
изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат
вычисления:
(102 + 112 + 122 + 132
+ 142)/365.
Задача
в самом деле, нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя,
который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А.
Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру,
чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал
в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств
чисел.
Числа
10, 11, 12, 13, 14 обладают любопытной особенностью:
102 + 112 + 122 = 132
+ 142
Так
как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что
воспроизведенное на картине выражение равно 2.
Алгебра
дает нам средство поставить вопрос об одной особенности ряда чисел более
широко: единственный ли этот ряд из пяти последовательных чисел, сумма
квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?
2.
Решение: Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2
= (x + 3)2 + (x + 4)2
Удобнее,
однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел, тогда
уравнение будет иметь более простой вид
(x - 1)2 + x2 + (x + 1)2
= (x + 2)2 + (x + 3)2
x1 = 11; x2 = -1.
Существует,
значит, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского
10,11,12,13,14;
и
ряд
-2,-1,0,1,2.
Так
как
(-2)2+ (-1)2+ 02 = 12+
22.
10. Решение
старинных задач “Математические жемчужины”.
Что
есть лучшего? Сравнив прошедшее. Свести его с настоящим.
(Козьма Прутков)
Эта
задача пришла
к нам из далекого-далекого прошлого.
Жизнь
Диофанта.
История
сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта.
Все, что известно о нем, подчеркнуто из надписи на его гробнице – надписи,
составленной в форме математической задачи.
Вот
эта надпись.
На родном языке
|
На языке алгебры
|
Путешественник! Здесь прах погребен
Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.
|
x
|
Часть шестую его представляло
прекрасное детство.
|
x/6
|
Двенадцатая часть протекла еще
жизни – покрылся пухом тогда подбородок.
|
x/12
|
Седьмую в бездетном браке провел
Диофант.
|
x/7
|
Прошло пятилетие; он был осчасливен
рождением прекрасного первенца сына.
|
5
|
Коему рок половину лишь жизни
прекрасной и светлой дал на земле по сравнению с отцом.
|
x/2
|
И в печали глубокой старец земного
удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
|
x
= x/6 + x/12 + x/7 + x/2 + 5 + 4
|
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
смерть воспринял Диофант?
|
Учащиеся,
заполнив правый столбец таблицы, решая уравнения, находят, что x = 84,
узнают следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на
38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года
11. Итоги урока, выставление оценок
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.