Урок по теме: АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. в 7 классе по учебнику «Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс» под ред. Г. В. Дорофеева

Урок по теме: АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

в 7 классе по учебнику «Математика. Арифметика. Алгебра.

Анализ данных. 7 класс» под ред. Г. В. Дорофеева

ЦЕЛИ УРОКА: повторить алгоритм решения задач с помощью уравнений,

                             научить составлять уравнения с помощью текстовых задач,

                             закрепить навык решения линейного уравнения с одним

                             неизвестным.

ХОД УРОКА:

1.     Орг. момент.

2.     Проверка домашнего задания.

3.     Актуализация знаний

Составьте выражение по условию задачи (устно):

1.      Для класса купили х тетрадей по 2 руб. за тетрадь и у тетрадей по 3 руб. за

тетрадь. Сколько рублей заплатили за покупку?

2.      От куска материи длиной с(м) три раза отрезали по а(м). Сколько метров

материи осталось в куске?

3.      За 3 часа одна машинистка напечатала n страниц, а другая за 5 часов

Напечатала m страниц. Оказалось, что первая машинистка печатает

быстрее, чем вторая. На сколько страниц в час больше печатает первая

машинистка? (вычислите при n=24,  m=45)

4.     Изучение нового материала.

Мы уже решали текстовые задачи с помощью рассуждений и, конечно,

поняли, что к каждой задаче надо подбирать свой особый «ключик».

Алгебра предлагает нам новые возможности решения задач. С помощью

одного и того же общего приема можно решать самые разные задачи.

Решая задачу алгебраическим способом, надо сначала условие задачи,

написанное на русском языке, перевести его на математический язык.

Самое важное в таком переводе – введение переменной. В результате

перевода обычно получается равенство, с которым удобно работать дальше.

Эта работа составляет следующий этап решения – различными математичес-

кими приемами из полученного равенства находят ответ.

ПРИМЕР. В семье две пары детей-близнецов, родившихся с разницей в

                   три года. В 2010 г. всем вместе исполнится 50 лет. Сколько лет

                    каждому из них будет в 2008 году?

Арифметический способ:

В 2010 году сумма возрастов четверых детей – 50 лет. В 2008 году возраст

каждого на 2 года меньше, значит, их суммарный возраст меньше на:

2 · 4 = 8 (лет). Таким образом, в 2008 г. близнецам вместе 50 – 8 = 42 (года).

Если бы все они были в возрасте младших, то в 2008 г. им было бы вместе:

42 – 3 · 2 = 36 (лет). Значит, младшим в 2008 г. по: 36 : 4 = 9 (лет), а

старшим – по: 9 + 3 = 12 (лет).

Алгебраический способ:

Пусть младшим детям в 2008 г. будет по х лет, тогда старшим в этом году

будет по (х + 3) года. В 2010 году, т. е. через 2 года младшим будет по (х + 2)г.

а старшим – по (х + 5) лет.

По условию задачи их суммарный возраст в 2010 году составляет 50 лет.

Значит, выполняется равенство:

(х + 2) + (х + 2) + (х + 5) + (х + 5) = 50;

4х + 14 = 50;

4х = 50 – 14;

4х = 36;

х = 36 : 4;

х = 9.

Мы нашли неизвестное число, которое обозначили буквой х. Однако это еще не

ответ задачи. через х мы обозначили возраст младшей пары близнецов,

значит, им по 9 лет. Но еще требуется найти возраст старшей пары. Так как

им на 3 года больше, то им по 12 лет.

Ответ: 9 лет, 12 лет.

Также  буквой х можно было бы обозначить и  возраст старших близнецов.

Тогда получилось бы такое равенство: (х – 1) + (х – 1) + (х + 2) + (х + 2) = 50.

Ответ задачи в этом случае будет тот же. (проверьте это самостоятельно).

Как вы уже знаете, равенство, которое получается при переводе условия текстовой задачи на язык математики, называют уравнением. А сам перевод условия задачи на математический язык обычно называют составлением

уравнения по условию задачи.

5.     Закрепление изученного материала.

1)      На трех полках 50 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней,

и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на каждой полке?

Составьте 3 уравнения, обозначив последовательно буквой х число книг на каждой из полок. Какое уравнение легче было составить?

Решение:

а) Пусть на верхней полке было х книг, тогда на средней полке было

    (х - 4) книг, а на нижней полке (х - 4 – 2 = х-6) книг. Так как всего

    на трех полках 50 книг, получим уравнение:

    х + (х – 4) + (х – 6) = 50.

б) Пусть на средней полке было х книг, тогда на верхней полке было

     (х + 4) книг, а на нижней полке (х – 2) книг. Так как всего на трех

     полках 50 книг, получим уравнение:

    х + (х + 4) + (х – 2) = 50.

в) Пусть на нижней полке было х книг, тогда на средней полке было

    (х + 2) книг, а на верхней полке (х + 2 + 4 = х + 6) книг.

2)  Брат старше сестры на 4 года. Отец сказал сыну: «Мне 30 лет. Если

     через два года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры, то результат

     будет меньше моего возраста в два раза». Определите, сколько лет брату и

     сестре сейчас, и сколько будет каждому из них через два года?

     Решение:

     Пусть сестре сейчас х лет, тогда брату сейчас (х + 4) года. Через 2 года

     сестре будет (х + 2) года, а брату (х + 6) лет. Так как через 2 года вместе

     им будет (30 + 2) : 2 = 16 (лет), то составим и решим уравнение:

   (х + 2) + (х + 6) = 16;

   2х + 8 = 16;

   2х = 16 – 8;

   2х = 8;

   х = 8 : 2;

   х = 4.

   Значит, сейчас сестре 4 года, тогда брату – 4 + 4 = 8(лет). А через 2 года

   сестре будет 6 лет, тогда брату 10 лет. 

   Ответ: 4 года и 8 лет; 6 лет и 10 лет.

3)  (Старинная задача) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рублей, и я буду вдвое

богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10 рублей, и я стану

в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Решение:

Пусть Некто имел х рублей. Тогда у него стало бы (х + 100) рублей,

значит, у друга было  ((х + 100):2 + 100) рублей. Если бы Некто отдал

другу 10 рублей, то у него осталось бы (х – 10) руб., а у друга стало бы

((х + 100) : 2 + 100 + 10) рублей. Так как тогда бы друг стал богаче

в 6 раз, имеем уравнение:

(х + 100) : 2 + 100 + 10 = 6(х – 10);

(х + 100) : 2 + 110 = 6(х – 10); (·2)

х + 100 + 220 = 12(х – 10);

х + 320 = 12х – 120;

12х – х = 320 + 120;

11х = 440;

х = 440 : 11;

х = 40.

Значит, у Некто было 40 рублей, тогда у его друга было 170 рублей.

Ответ: 40 рублей, 170 рублей. 

6.     Итог урока.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как решать задачи арифметическим

способом и научились решать те же задачи с помощью алгебраического

способа. Узнали, что для решения одной задачи можно составить несколько уравнений.