Урок по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

 Урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».  

Цели урока:

Образовательные:  

·         Обобщить, систематизировать и расширить ранее полученные знания  и умения,  учащихся  при решении задач по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

·         Разобрать  типичные задания, встречающихся в сборниках  для  подготовки к ОГЭ.

·         Проверить степень усвоения материала.

Воспитательные: 

• актуализировать навыки аккуратности при решении задач; 
• развитие математической речи;
• воспитывать ответственность;
• развить интерес учащихся к предмету.

Развивающая:  

• расширить и углубить  развитие познавательных процессов личности; 
• развивать навыки самоконтроля, взаимоконтроля, умение работать индивидуально;
• развитие памяти, внимания, мышления, математической речи.

Формы работы:

• фронтальная;
• индивидуальная;
• групповая.

Оборудование:

• экран;
• мультимедийный проектор;
• компьютер;

Ход урока:

1. Организационный момент.   Учитель. На сегодняшнем уроке нам необходимо будет  вспомнить понятие прогрессии и закрепить свои теоретические знания в процессе решения задач. Термин «прогрессия» происходит от латинского progression, что означает «движение вперед», был введен римским автором Боэцием в 6 в.н.э. и получил дальнейшее развитие в трудах Фибоначчи, Гаусса и других ученых. Известный лозунг “Прогрессия – движение вперед”. Я думаю, что девизом  нашего урока могут послужить данные слова. 
2. Повторение.  (опрос- тест)  

Арифметическая прогрессия – это последовательность….

1	2	3
каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену  умноженному на  одно и то же число.	Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом.	Каждый член которой,  равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом.

Геометрическая прогрессия – это последовательность….

1	2	3
Отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену  умноженному на  одно и то же число.	каждый член которой,  равен предыдущему члену  умноженному на  одно и то же число.	каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену  умноженному на  одно и то же число.

Формула для нахождения разности арифметической прогрессии

1	2	3

Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии . 

1	2	3

Формула  n – ого члена арифметической  прогрессии

1	2	3

Формула  n – ого члена геометрической  прогрессии

1	2	3

Формула суммы n – первых членов  арифметической прогрессии.

1	2	3

Формула суммы n – первых членов  геометрической прогрессии.

1	2	3

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них геометрическая прогрессия. Найдите ее.

1	2	3	4

Арифметическая прогрессия  задана условием: , Найдите

1	2	3	4
5	45	9	6

 Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии . Найдите член прогрессии обозначенной х

1	2	3	4
7		1	2

Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, а по вертикальной – соответствующий член последовательности.

На рисунке изображены точками первые пять членов  арифметической прогрессии. Найдите первый член прогрессии и разность прогрессии.

3. Устная работа с классом.  

Вычислите:

1) Арифметическая прогрессия (а_n) задана условиями: а₁=3, а_n+1=a_n+4. Найдите а_10.(ответ: 39)

2) Арифметическая прогрессия (а_n) задана условиями: а₁=5, а_n+1=a_n-3. Найдите а₈.(ответ:  - 16)

3) Геометрическая   прогрессия (а_n) задана условиями: а₁=4, а_n+1=2 a_n. Найдите а_4. (ответ: 32)

4) Геометрическая   прогрессия (а_n) задана условиями: а₁=128, а_n+1=1/2 a_n. Найдите а₆. (ответ: 4)

А теперь откройте  сборники по подготовке к ОГЭ. Вариант 5 ,задание №6 ( В это же время самостоятельно решают по сборникам  задание №6 вариантов 7,8,10,11).

Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: -57;- 44;- 31;.. Найдите первый положительный член данной прогрессии.

Решение: а_n = а₁ + d(n -1). 

d= a₂ – a₁ = -44 – (-57) = 13,

 а₁ + d(n -1)> 0, 

-57 +13(n-1)> 0,

 13(n-1)> 57, 

(n-1)>

n>  5 ,

 n= 6

Ответ: 6)

Выполнение заданий из открытого банка заданий.  

1.Руслану необходимо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же число  количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач решил Руслан в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.  (Ответ:57)

2. Дана арифметическая прогрессия (а_n): 4, 7, 10, … . Найдите сумму первых десяти её членов. (Ответ: 175)

3. "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

Решение:

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

 4.Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

     Ответ: 10 дней

 5.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея  через 10 месяцев?

Ответ: 8750 рублей.

А сейчас я предлагаю решить тесты, за  компьютером  и на местах( 5 человек на компьютеры). С классом тест на доске (1 человек).

 Задание на дом. Сборники ОГЭ, задание №6  вариантов 11 – 13

Творческое: найти задачи, связанные с арифметической и геометрической  прогрессией из различных областей: физики, медицины и т.д.

Задания из открытого банка заданий.  

1.Руслану необходимо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же число  количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач решил Руслан в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней. 

2.  Дана арифметическая прогрессия (а_n): 4, 7, 10, … . Найдите сумму первых десяти её членов.

3. "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

4. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

5.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея  через 10 месяцев?

6. Про арифметическую прогрессию (аn)  известно, что а₇ = 8, а₈ = 12. Найдите  разность арифметической прогрессии.

7. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии 4; 8; …

8. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день.

9.В сборнике по подготовке к экзамену-240 задач. Ученик планирует начать их   решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая  каждый день на две задачи больше, чем в предыдущий день. Сколько задач ученик запланировал решить 12 мая.

10. В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?

11.Какое из чисел не является членом арифметической прогрессии  4; 8; 12; 16;…

а) 60,  б) 64, в) 66, г) 68.

12. Последовательность задана формулой с_n = n²+1. Какое из указанных чисел является членом этой последовательности.

 а) 4;  б) 6;  в) 5; г) 3.

13. В 1 день после нарушения автомобилистом правил дорожного движения штраф составляет 200 рублей, а в каждый последующий день он увеличивается на 10 рублей по сравнению с предыдущим, Какой штраф придется заплатить  на 30 день после нарушения правил дорожного движения.

14. В арифметической прогрессии (a_n), найдите  a_7,  если a₃ + a₁₁ =20.