Урок по теме "Арифметическая прогрессия"

Урок – лекция по теме « Арифметическая прогрессия» (9класс)

Цели: знакомство учащихся с лекционным методом, как методом самообразования, привитие навыков написания конспекта лекции( выделить главное, быстро записывать, используя сокращения, кратко излагать мысли), в ходе лекции быстро ориентироваться, сотрудничать с лектором, быстро отвечать ему.

Познакомиться с особым видом последовательностей арифметическими прогрессиями  заданных рекуррентным способом.

 Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: мультимедиа-проектор, таблица «Последовательности».

Ход урока.

1.      Орг. момент.

- Добрый день! Как ваше настроение на начало урока?

- Сегодня  у нас с вами необычный урок: Урок – лекция.

2. Постановка цели и задач урока.

- Как вы понимаете что значит урок –лекция?

- Вы должны будете: выделить главное, быстро записывать, используя сокращения, кратко излагать мысли.

- Запишем план лекции.

1) Исторический материал.

Упоминание об арифметической прогрессии было найдено в древнейшей задаче, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Этот папирус был найден Риндом в конце 19 века. В нем говорилось, что  он в свою очередь переписан с другого, еще более древнего  математического сочинения, относящегося примерно к третьему тысячелетию до н.э.

Задача. Сто мер хлеба, разделить между пятью людьми так, чтобы второй  получил на столько же больше первого на сколько третий получит больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

- Мы не будем знакомиться с ее решением, лишь подчеркнем то, что здесь речь идет о последовательности, где каждый следующий член связан с предыдущим некоторым условием, а именно каждый следующий больше предыдущего на одно и тоже число.

- Имеет ли смысл здесь вспомнить слово recurro?

2)  Определение арифметической прогрессии (рекуррентная формула, разность арифметической прогрессии, примеры)

Итак, арифметическая прогрессия – это последовательность, которую можно задать рекуррентной формулой – следующий член через предыдущий.

- Запишите определение, используя сокращения.

Определение: Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

a_n+1 = a_n + d – рекуррентная формула

d – называют разностью ариф.прогрессии.

- Как ее можно найти?

d = a_n+1 - a_n

Пример 1.  Определите является ли ариф.прогрессией следующая последовательность, найдите ее разность.

2000,2004,2008,2012,2016,2020,2024,…

А составлена она по следующей жизненной ситуации:

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно  суткам, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам. Для учета этой погрешности к каждому четвертому году добавляются сутки и год называется високосным( это когда в феврале есть 29 число).

- Итак, вернемся к вопросу…? Работаем по определению.

Примеры: Посмотрите на таблицу. Здесь последовательности заданы рекуррентным способом.

- Какие из них являются арифметическими?

3) Занимательная задача, вывод формулы n – го члена.

Задача о поливе огорода.

Она очень поучительная, особенно для людей , которые  хотят заняться фермерством, по ней видно какой великий труд нужно проделывать. Итак, представим, что мы решили заняться фермерством и вырастить например капусту.

Задача.  В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. поливая грядки, огородник приносит ведра с водой  их колодца, расположенного в 14 м от края огорода и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки, только одной грядки. Начертим рисунок и запишем вопрос.        К

                                                      а₁        а₂        а₃                                          а₂₉     а₃₀

                                           16м

Какой  длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород?

Путь начинается и кончается у колодца.

Решение: Сначала убедимся что последовательность: а_1, а_2,а_3,……., а₃₀ будет арифметической. Члены будут обозначать путь, пройденный для поливки  одной грядки.

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Ариф. Ли эта прогрессия?

- А какой путь ему нужно пройти, чтобы полить 30-ю грядку?

Нельзя ли узнать побыстрее, чем узнаём мы?

Вернёмся к нашей лестнице. Как бы сразу «прыгнуть» с первой ступеньки на последнюю? Сообразим быстрее!

a₁

a₂₌ a₁₊d
a₃₌a₂₊d=a₁+d+d=a₁+2d

a₄=a₃+d=a₁+2d+d=a₁+3d

a₅=a₁=4d

Уже можно заметить закономерность между номером члена и количеством d

a_n=a₁₊(n-1)d

Получилось что?

Формула энного члена

а₃₀₌65+29*5=65+145=210 (метров)

Мы ещё не ответили на главный вопрос задачи и вернемся к нему, но сначала следующий пункт нашего плана.

4) Задача К.Ф.Гаусса

Всем известна история из детства этого великого математика, которого в своё время назвали королем математики. Может быть кто-то напомнит нам эту историю?

1+2+3+…+98+99+100

(1+100)*50= 101*50=5050

Решим её в общем виде.

5) Решение задачи Гаусса в общем виде. (или формула суммы n первых членов)

S_n=a₁+a₂+a_3+…a_n-2+a_n-1+a_n

S_n= a_n+ a_n-1+ a_n-2…+ a₃₊+a₂+a₁

2S_n = (a_{1 +} a_n)+( a_{2 +} a_n-1)+( a_{3 +} a_n-2)+…+( a_{n +} a₁)

Докажем равенство этих пар друг другу.

S_n =

Образная лестница не помешает и здесь.

 

2S = AB*AD = AB(AE+ED) = n*(a_n + a₁)

Вот вам и геометрический вывод  формулы.

Возвратимся к задаче  о поливке огорода.

S₃₀ =  275*15 =4125(м) = 4 км 125 м

Итог урока.

Итак, вы прослушали лекцию. Дома вы должны проработать ваши записи, т.е. сначала попробовать подготовиться по своей записи, затем п. 4.2 (выучить определение ариф.прогрессии).

На следующем уроке будет урок решения задач по теме лекции.
 

Краткое описание документа:

Лекция — это метод сообщения новых знаний; ее отличает высокая целенаправленность и большая информативность.

Урок-лекция – это, прежде всего, урок приобщения школьников к творческой деятельности на учебном материале. Это урок совместного размышления учителя и учеников.

На этом уроке я знакомлю учащихся с лекционным методом, как методом самообразования. Привить навыки написания конспекта лекции. В ходе лекции дети должны быстро ориентироваться, сотрудничать с лектором.