Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)

Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)


Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Оборудование: проектор, экран.

Тип урока: урок – усвоение новой темы.

Ход урока

I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.

Вопросы

1. Определение арифметической прогрессии. (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии (hello_html_47e94d91.gifhello_html_m10a97e0a.gif)

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

(hello_html_m64497c23.gif или hello_html_m54b196b1.gif)

4. Определение геометрической прогрессии. (Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число).

5. Формула n-го члена геометрической прогрессии (hello_html_3d977aa1.gif hello_html_22d13c68.gif)

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. (hello_html_6e695298.gif)

7. Какие формулы вы еще знаете?

(hello_html_7d3b2446.gif, где hello_html_5f46c201.gif; hello_html_m30cdb8a7.gif; hello_html_684b74a0.gif; hello_html_7aa81e63.gif, hello_html_m55198ac8.gif)

5. Для геометрической прогрессии hello_html_m1ecaf8ee.gif найдите пятый член. hello_html_26b6feba.gif

6. Для геометрической прогрессии hello_html_m1ecaf8ee.gif найдите n-й член. hello_html_6fd17df0.gif

7. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b4. (4)

8. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b1 и q. hello_html_m7b2d0190.gif

9. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5. (62)


III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).

hello_html_41ee882f.png

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов hello_html_m47560a13.pngобразующих геометрическую прогрессию со знаменателем hello_html_3ca53247.png.

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

hello_html_4848420d.png

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

hello_html_395d6be.png

Например, последовательность площадей квадратов:

hello_html_m49d29921.pnghello_html_6f6c0cd5.png. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.


Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

hello_html_m95e7ca1.pnghello_html_385ac34b.gif при hello_html_2bdc004d.gif.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

hello_html_m5bc53402.png

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. hello_html_m7db4b54.gif.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

hello_html_64d254ee.gif; hello_html_5f75dfc6.gif.

Решение:

hello_html_64d254ee.gif. Найдем q.

hello_html_m1cec129e.gif; hello_html_1d561e72.gif; hello_html_3a50332.gif; hello_html_58aebc9e.gif.

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.


Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: hello_html_70a518e7.png

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.  hello_html_m5901010e.png

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.hello_html_2b051a54.png

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна hello_html_49b3a16a.png.

Если n неограниченно возрастает, то hello_html_9b0754d.png

или hello_html_m20f44863.gif. Поэтому hello_html_43d8b6a2.gif, т.е. hello_html_4900547c.gif.


Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .

Например, для прогрессии hello_html_m7efa25d3.gif,

имеем hello_html_4412568c.gif

hello_html_79384f6a.gif Так как hello_html_m300284cc.gif

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле hello_html_248e97c8.gif.

III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).№4.38

IV. Подведение итогов.

С какой последовательностью сегодня познакомились?

Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.


V. Домашнее задание.

1. Читать п. 4.5. № 4.38




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 24.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров16
Номер материала ДБ-387809
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх