Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по теме "Конус,определение, свойства,объём"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по теме "Конус,определение, свойства,объём"

библиотека
материалов

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии”. (АС. Пушкин)

ЦЕЛЬ УРОКА: Систематизация и углубление знаний по теме "Конус". Повысить интерес к геометрии, решая нестандартные задачи.

  • Образовательная:

    • отрабатывать знания основных понятий, определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию и уровню сложности.

  • Развивающая:

    • развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, классифицировать;

    • развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения.

  • Воспитательная:

    • воспитывать ответственность за результат своего труда.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель: добрый день, садитесь. Тема урока состоит из слова, которое зашифровано с помощью ребусов. Разгадайте его.

(Приложение1)

hello_html_58d71e4a.jpg

 Объявляется тема, цель урока.

II. Актуализация знаний учащихся класса.

  1. Дать определение конуса.

  2. Как можно получить эту фигуру?

  3. Чему равна Sб и Sn конуса?

  4. Что лежит в основании конуса и по какой формуле находится площадь круга?

  5. Что получится при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы?

  6. Назовите элементы конуса и покажите их на чертеже.

  7. Решить задачу по готовому рисунку.

hello_html_44dede1.png

SO-высота. Найти площадь боковой поверхности.

ТЕСТ

I вариант

II вариант

1 .Длина образующей конуса равна 2 V3 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Найдите площадь основания конуса.

а)8hello_html_3995c05c.png см2

б) 8hello_html_3995c05c.pnghello_html_5cf1ef35.png2 см2

в) 9hello_html_3995c05c.png см2

г) 6hello_html_3995c05c.pnghello_html_5cf1ef35.png 3 см?

1 .Высота конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь основания конуса.

a) 12hello_html_5cf1ef35.png2 см2

б) 136hello_html_3995c05c.png см2

в) 144hello_html_3995c05c.png см2

г) 624hello_html_5cf1ef35.png3см2

2. Диаметр основания конуса 16 см, длина его высоты 8 см. Найти длину образующей.

а) 8hello_html_5cf1ef35.png2 см;

б) 10hello_html_5cf1ef35.png2 см;

в) 2hello_html_5cf1ef35.png6 см;

г) 4 см.

2. Длина образующей конуса - 10 см, диаметр его основания - 12 см. Найти высоту конуса.

а) 2hello_html_5cf1ef35.png11 см;

б) hello_html_5cf1ef35.png41 см;

в) 16 см;

г) 8 см.

Проверить ответы учащихся по вариантам.

III. Презентация "Конусы в нашей жизни".

Вопросы к классу:

Установите связь между картиной Шишкина "Корабельная роща" и геометрическим телом, которое называется "конус".

hello_html_m7fb5a3f4.jpg

Ответ: Конус в переводе с греческого языка означает "сосновая шишка", а на картине Шишкина изображен сосновый лес.

Доклад учащегося: “Конусы в повседневной жизни”. (Приложение2)

IV. Рeшeниe задач на практическое применение.

Как вы сейчас узнали: конус очень часто можно встретить в нашей жизни. А теперь нам

предстоит решить задачи с практическим применением.

По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000

жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

Задача 1. "Молниеотвод". (Приложение3)

Вычислите высоту молниеотвода, если радиус "защищенного" круга 50 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса безопасности 60 (самостоятельная работа на местах с последующей проверкой).

Решение:

h= 50м : tg 60°hello_html_m7d2cc729.png29,4м

Ответ: 29,4м

Учитель: Итак, Вы уже знаете как найти элементы конуса, его поверхность, но сможете ли Вы применить их выходя на "вольный воздух". Ведь куча щебня по краям шоссейной дороги также представляет предмет заслуживающий внимания. Посмотрев на неё, мы можем задать себе вопросы:

  • Какую площадь занимает щебень?

  • Какова поверхность этой кучи щебня?

Задачи довольно сложные для человека, привыкшего преодолевать математические трудности только на бумаге или на классной доске. Ведь необходимо вычислить поверхность конуса, высота и радиус которого не доступны для непосредственного измерения. Вопросы к классу: Как найти радиус?

(измерить окружность основания и разделить на 6,28 = 2р );

Как найти образующую?

(определить две образующие: перекинув метровую ленту через вершину кучи);

Как найти высоту? (определить по теореме Пифагора).

Задача 2:

Пусть окружность конической кучи щебня 12 м. Длина двух образующих - 4,6 м.

Найти площадь поверхности кучи щебня.

Решение.

1 = 4,6/2 = 2,3 м

r = 12,1 /6,28hello_html_m7d2cc729.png 1,9 м

S = p · r  · l = 3,14 * 1,9*2,3 = 13,7м2

Ответ: 13,7 м2

Учитель: При взгляде на коническую кучу щебня или песка мне вспоминается старинная легенда восточных народов, рассказанная у А.С. Пушкина в "Скупом рыцаре". Послушайте её:

"Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу, -
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли…”

  • Какие ассоциации вызывают у Вас эти стихи? (Холм – конус).

  • Какой высоты мог быть этот холм?

  • На сколько километров может увеличиться панорама для наблюдения, поднявшегося с подножия холма к его вершине?

На все эти вопросы мы сможем ответить после изучения темы “Объем тел вращения”. Это “задача на будущее”.

IV. Самостоятельная работа.

hello_html_4c749aaa.jpg

VI. Подведем итог урока.

Итак, вы повторили, как находить элементы конуса, площадь поверхности, применили свои знания в "геометрии на воздухе". Надеюсь, что в дальнейшем теоретические знания, полученные на уроках геометрии, вы сможете успешно использовать в различных жизненных ситуациях.

Выставление оценок.

V. Домашнее задание. № 565, № 572.

Литература.

1.Л.С. Атанасян “Геометрия 10-11”.

2. П.И.Алтынов, Л.И.Звавич,А.И.Шляпочник и др. “2600 тестов и проверочных заданий по математике для школьников и поступающих в ВУЗы”.

3. Материалы сайта фестиваля педагогических идей “Открытый урок”.











Тела и фигуры вращения”

 hello_html_40e2b6cc.png

Вопросы к кроссворду №1

Погоризонтали.
1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки.
2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса.
3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса.
5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

Повертикали.
1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус.
3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения.
4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара.
5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра.
6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра.
7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду №2
По горизонтали.
1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси.
2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой.
3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса.
4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского.
5. Отрезок, соединяющий две точки окружности.

По вертикали.
1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси.
2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания.
3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.
4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра.
5. . Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра.
6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик.
7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

Ответы к кроссворду №1.
По горизонтали.
1. Круг. 2. Образующая. 3. Цилиндр. 4. Прямой. 5. тор.

По вертикали.
1. Конус. 2. Трапеция. 3. Купол. 4. Диаметр. 5. Шар. 6. Сфера. 7. Юла.

Ответы к кроссворду №2.
По горизонтали.
1. Параболоид. 2. Радиус. 3. Основание. 4. Труба. 5. Хорда.

По вертикали.
1. Гиперболоид. 2. Высота. 3. Тор. 4. Шар. 5. Сфера. 6. Юла. 7. Эллипсоид.



История изучения геометрического тела конус

Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических тел можно выводить из других свойств путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства.
Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических тел, которые берутся не¬посредственно из опыта. Утверждения, оставшиеся без доказательства свойств стали аксиомами. Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение.
Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до нашей эры геометрические сведения от египтян перешли к грекам. За период с VII по III век до нашей эры греческие  геометры   не  только  обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа  греческих   геометров за этот период     была     подытожено  Евклидом в его  знаменитом   труде «Начала».

hello_html_14c29524.jpg

ЕВКЛИД


(330-275гг. до н.э.)

 Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427—347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287—212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т. н. платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны — его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре». С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.
В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом.  Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треугольник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающимся катетом, называется  основанием конуса. Евклид рассматривает  только прямые конусы, т.е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию, лишь Аполлоний различает прямые и косые конусы, у которых ось образует с основанием угол, отличный от прямого.
 В  XII книге «Начал» Евклида содержится следующие теоремы.

  • Объем конуса равен одной трети объёма цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.

  • Отношение объёмов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.

  • Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.

hello_html_m4c1fa140.png

АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ


 (ок.260-ок.170гг до н. э.),

Аполлоний Пергский древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида дал полное изложение теории и основанных им трудов «Конические сечения» в восьми книгах. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа: параболу, эллипс, гиперболу.
У Евклида нет понятия конической поверхности, оно было введено Аполлонием в его “Конических сечениях”, при этом он имел в виду обе плоскости конуса. Вот что пишет Аполлоний Пергский: ”Если от какой-либо точки окружности круга, который не находится в одной плоскости с некоторой  точкой, проводить прямые, соединяющие эту точку с окружностью, и при неподвижности точки перемещать прямую по окружности, возвращая ее туда, откуда началось движение, то поверхность, описанную прямой и составленную из 2 поверхностей, лежащих в вершине друг против друга, из которых каждая бесконечно увеличивается, если бесконечно продолжать описывающую прямую, я называю конической поверхностью, неподвижную  же точку - её вершиной, а осью - прямую, проведённую через эту точку и центр круга».
Определение конической поверхности Аполлония воспроизведено в современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую линию, так называемую направляющую.

hello_html_7c6c2012.png

ЕВДОКС КНИДСКИЙ


(408 - З55 гг.до.н.э )

Евдокс Книдский древнегреческий математик и астроном, родился в Книде, на юго-западе Малой Азии. О его жизни известно немного. Евдокс учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.
Около 368 г. до н.э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Кроме математики и астрономии, Евдокс занимался врачеванием, философией и музыкой; был известен также как оратор и законовед. Неоднократно упоминается у античных авторов; сочинения самого Евдокса до нас не дошли. В честь Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе.
Строгое доказательство теорем, служащих для вывода формулы  объема конуса и изложенных в пяти предложениях 12 книги “Начал” Евклида, дал Евдокс Книдский. В первом из них методом исчерпывания доказывается, что объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего то же основание и ту же высоту. В следующем предложении тем же методом доказывается, что отношение объемов конусов с равными высотами равно отношению площадей их оснований. В третьем из упомянутых предложений доказывается, что объемы 2 подобных конусов, т. е. таких, у которых оси и диаметры оснований пропорциональны, относятся как кубы диаметров. Наконец, в последних 2 предложениях устанавливается, что отношение объемов 2 конусов, площади оснований которых равны, равно отношению высот. По определению Евклида, конус образуется от вращения прямоугольного треугольника, вокруг одного из катетов.

 

hello_html_10136af3.png

АРХИМЕД (лат. Archimedes)


(около 287 до н.э., Сиракузы,
Сицилия — 212 до н.э., там же),

Архимед древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и гидростатике (закон Архимеда) дал образцы применения математики в естествознании и технике. Архимеду принадлежит множество технических изобретений (архимедов винт, определение состава сплавов взвешиванием в воде, системы для поднятия больших тяжестей, военные метательные машины), завоевавших ему необычайную популярность среди современников.
Архимед получил образование у своего отца, астронома и математика Фидия, родственника сиракузского тирана Гиерона II, покровительствовавшего Архимеду. В юности провел несколько лет в культурном крупнейшем центре того времени Александрии Египетской, где познакомился с Эратосфеном. Затем до конца жизни жил в Сиракузах. Во время Второй Пунической войны (218-201), когда Сиракузы были осаждены войском римского полководца Марцелла, Архимед участвовал в обороне города, строил метательные орудия. Военные изобретения ученого (о них рассказывал Плутарх в жизнеописании полководца Марцелла) в течение двух лет помогали сдерживать осаду Сиракуз римлянами. Архимеду приписывается сожжение римского флота направленными через систему вогнутых зеркал солнечными лучами, но это недостоверные сведения. Гений Архимеда вызывал восхищение даже у римлян. Марцелл приказал сохранить ученому жизнь, но при взятии Сиракуз Архимед был убит.
В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы. В сочинении «О спиралях» исследует свойства кривой, получившей его имя (см. Архимедова спираль) и касательной к ней. В трактате «Измерение круга» Архимед предлагает метод определения числа pi, который использовался до конца 17 в., и указывает две удивительно точные границы числа hello_html_m2322f172.png: 37110hello_html_7e5832c3.pnghello_html_m2322f172.pnghello_html_7e5832c3.png371 .
До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них — «О шаре и цилиндре» (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3 — открытие, которым он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета (памятник через полтора века видел Цицерон). В этом же трактате сформулирована аксиома Архимеда (называемая иногда аксиомой Евдокса), играющая важную роль в современной математике.
В «Началах» Евклида мы находим определение только объёмов цилиндра и конуса, площадь же боковых поверхностей была найдена Архимедом. В 14-м предложении его произведения «О шаре и цилиндре» он доказал следующую теорему: «Поверхность всякого равнобедренного (т.е. прямого кругового) конуса, за вычетом основания, равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной (т.е. образующей) конуса и радиуса круга, являющегося основанием конуса».
Площадь S боковой поверхности дается таким образом (в современных символах) формулой S = Pi r l, где  l – длина образующей,  r – радиус основания конуса, Pi=hello_html_m2322f172.png .  «Равнобедренным» прямой круговой конус называется потому, что он имел в осевом сечении равнобедренный треугольник.









Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров450
Номер материала ДВ-320716
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх