Урок по теме: "Координаты середины отрезка в пространстве"

Урок  по теме: «Координаты середины отрезка в пространстве».

Цель: вывести  и закрепить формулы координат середины отрезка; содействовать формированию навыков и умений учащихся  применять их при решении задач;

- способствовать развитию логического мышления  обучающихся;

- способствовать воспитанию эстетических норм чертежа.

Ход урока

1. Организационный момент

Итак, друзья, внимание,

Ведь прозвенел звонок.

Садитесь поудобнее,

Начнем скорей урок.

2. Мотивационный материал

Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Аль - Бируни: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».     Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

3 Сообщение темы и целей урока.

4. Актуализация знаний. Проверка д/з.

Математический диктант.    

 Вариант 1

1.     Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве?                                     (три)

2.     Как называется первое из чисел, задающих положение точки в пространстве?                                (абсцисса)

3.      Как называется третье из чисел, задающих положение точки в пространстве?                               (аппликата)

4.      Запишите обозначение  точки Р,  если её абсцисса равна 0, а ордината 5, аппликата 0. Где лежит точка Р?      (Р (0; 5; 0), на оси ординат)

5.     Чему равна ордината точки А (- 1; - 4; 1)?               (- 4)

Вариант 2

1.     Как называются числа, задающие положение точки в пространстве?     (абсцисса и ордината, аппликата)

2.     Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве? (три)

3.     Как называется второе из чисел, задающих положение точки на координатной плоскости?                   (ордината)

4.      Запишите обозначение точки С, если её абсцисса равна 6, а ордината 0, аппликата 0. Где лежит точка С?               (С (6; 0; 0), на оси абсцисс)

5.     Чему равна аппликата точки М(-2; - 3; 0)?                      (0)

Сообщение: Рене Декарт (1596 – 1650 г.).

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным. Тем самым он установил связь между алгеброй и геометрией и был основоположником аналитической геометрии. Поэтому прямоугольную систему координат иногда называют «декартовой системой координат».

У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и и широко использовалась.

z                                             - Что представляет собой   система координат в           

   А_z           A_yz                     пространстве?

                                              Система координат в пространстве представляет                                                                                           

A_xz              A                             собой три взаимно перпендикулярные прямые

                                              х, y, z, пересекающиеся в одной точке.

                                                                       О – начало отсчета_,     

  О               А_у  у                  x, y, z – координатные оси,

     A_x             A_xy                             xy, yz, xy – координатные плоскости.

        x                                                    Координатные плоскости делят все пространство                 

                                              на 8 октантов.

            - Как  определяются  координаты точки А ?

Через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz. Она пересекает ось x  в точке А_x . Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА_х . Аналогично определяются и другие координаты. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x; y; z). (Название координаты z найти самостоятельно).

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

А_х (х;0;0)             А_хy  (х;y;0)           О (0;0;0) Где находятся данные точки?

А_y (0;y;0)             А_yz  (0;y;z)

А_z (0;0;z)              А_хz  (х;0;z)

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

               z 

            В₁              С₁                                   Ответы:

   А₁                  D₁                              А (4;0;0)              А₁ (4;0;4)                                                           

                                                        В (0;0;0)               В₁ (0;0;4)

         В                   С      y                 С (0;4;0)               С₁ (0;4;4)

                                                         D (4;4;0)              D₁ (4;4;4)

      А                D

х

Задача 2: Даны точки:  А(4; 2; 0),  В(0; 10; -8). Найдите длину отрезка АВ  

5. Изучение нового материала

Пусть отрезок АВ имеет концы А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) и пусть М(х₀; у₀) — середина отрезка АВ (рис. 133), тогда MD — средняя линия трапеции с основаниями х₁ и х₂, МС — средняя линия трапеции с основаниями у₁ и у₂. По свойству средней линии трапеции имеем:

, .  

Задача на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

(Проверку работ осуществить на боковых досках).

Аналогичные формулы для координат  середины отрезка применяют в пространстве.

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Пусть А(х₁; у_1; z₁) и В(х₂; у₂; z₂) и пусть С(х; у; z) Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:

, , . 

 

6.     Решение упражнений по теме.

Задача №1. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

                    Найдите координаты  середины отрезка АВ.

Решение:

 Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

Формулы для нахождения координат конца отрезка В(х₂; у₂; z₂)  по известным    координатам середины С(х; у; z)                                                                и другого конца отрезка А(х₁; у_1; z₁):

х₂ =2х-х₁;  у₂ =2у-у₁;    z₂ =2z-z₁

Задача №2.  Дано:  С– середина отрезка АВ,  С(2; 6; -4), А(4; 2; 0). Найдите координаты точки В, длину отрезка АВ   (Ответ. В(0; 10; -8))

Эти формулы вы должны научиться применять в разных задачах, связанных с серединой отрезка. Давайте вспомним, где встречается понятие “середина”.

Это:    1. Медиана треугольника (делит сторону пополам)

2. Средняя линия треугольника и средняя линия трапеции (соединяет середины сторон)

3. Точка пересечения диагоналей параллелограмма (делит диагонали пополам)

4. Центр окружности (середина диаметра)

Задача №3.

(решаем на три варианта)

В треугольнике АВС А(3;-1;1), В(-5;3;1), С(1;5;3). Найти координаты точки М, если:

• 1 вариант АМ₁ – медиана.  М₁ (-2;4;2)
• 2 вариант ВМ₂ – медиана.  М₂ (2;-2;2)
• 3 вариант СМ₃ – медиана.  М₃  (-1;1;1)

Проверка оперативная.

 Задача №4.  Докажите, что четырехугольник АВСD является  параллелограммом, если  координаты вершин  А(2;1;3),  В(1;0;7),                 С(-2;1;5),  D(-1;2;1)   (Середина О(0;1;4))

Задача №5. В трапеции АВСD проведена средняя линия MN. Найти координаты точек А и N, если В(-6;-2; 2), С(-1;-4;2), D(13;2;4),                      М(-4;3;4)

  MN средняя линия трапеции АВСD  АМ = МВ и DN = NC

Ответ: А(-2;8;6),  N(6;-1;3)

7. Динамическая пауза.

Быстро встали, улыбнулись.

- Выше-выше потянулись.

- Ну-ка, плечи распрямите,

- Вправо, влево повернитесь,

- Рук коленями коснитесь.

- Сели, встали. Сели, встали

- И на месте побежали.

8. Самостоятельная работа.

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

а) А (– 6; 2;0), В (-4; 4; -8);

б) А (– 5; – 4; 6), В (– 1; 2; 0).

2. Проверьте, является ли точка М (4; 2) серединой отрезка АВ, если:

а) А (3; – 1, 4) В (5; 5; -6);

б) А (3; 6; 7) В (– 5; – 2; 1).

3. Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4; – 2; 12), В (1; 3; -8).

9. Д/з. Итоги урока. Рефлексия.

П25, № 12, № 14; Вопросы: 1, 3

- Что нового узнали на уроке?    - Чему научились?

“Волшебная лестница знаний”

Попробуйте определить, насколько хорошо вы усвоили новое знание по “Волшебной лестнице знаний”:

Вы выбираете:

- красный цвет, если испытываете затруднение;

- жёлтый цвет, если усвоили новое знание, но затрудняетесь применить его на практике; - зелёный цвет, если усвоили новое знание и научились применять его на практике.

Фамилия Имя__________________________________________________

 Самостоятельная работа. Вариант 1

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

 А (– 6; 2;0), В (-4; 4; -8) _______________________________________

____________________________________________________________Ответ:_________

2. Проверьте, является ли точка М (4; 2) серединой отрезка АВ, если:

 А (3; – 1, 4) В (5; 5; -6) _______________________________________

____________________________________________________________ Ответ:__________

3. Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4; – 2; 12), В (1; 3; -8).

______________________________________________________________ Ответ:_________

Фамилия Имя _____________________________________________________________

Самостоятельная работа. Вариант 2

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

 А (– 5; – 4; 6), В (– 1; 2; 0). ________________________________________

______________________________________________________________Ответ:_________

 Проверьте, является ли точка М (4; 2) серединой отрезка АВ, если:

 А (3; 6; 7) В (– 5; – 2; 1). _________________________________________

_____________________________________________________________ Ответ:_________

3. Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4; – 2; 12), В (1; 3; -8).

______________________________________________________________ Ответ:_________

Фамилия Имя _____________________________________________________________

Самостоятельная работа. Вариант 1

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если:

 А (– 6; 2;0), В (-4; 4; -8) _______________________________________

_____________________________________________________________ Ответ:_________

2. Проверьте, является ли точка М (4; 2) серединой отрезка АВ, если:

 А (3; – 1, 4) В (5; 5; -6) _______________________________________

_____________________________________________________________ Ответ:_________

3. Определите координаты центра окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если А (4; – 2; 12), В (1; 3; -8).

______________________________________________________________ Ответ:_________

Математический диктант.      Вариант 1

1.     Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве?                                    

2.     Как называется первое из чисел, задающих положение точки в пространстве?                               

3.      Как называется третье из чисел, задающих положение точки в пространстве?                                

4.     Запишите обозначение  точки Р,  если её абсцисса равна 0, а ордината 5, аппликата 0. Где лежит точка Р?      

5.     Чему равна ордината точки А (- 1; - 4; 1)?              

Математический диктант.              Вариант 2

1.     Как называются числа, задающие положение точки в пространстве?

2.     Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве?

3.     Как называется второе из чисел, задающих положение точки на координатной плоскости?  

4.     Запишите обозначение точки С, если её абсцисса равна 6, а ордината 0, аппликата 0. Где лежит точка С?

5.     Чему равна аппликата точки М(-2; - 3; 0)?                      

Математический диктант.      Вариант 1

1.     Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве?  

2.     Как называется первое из чисел, задающих положение точки в пространстве?                              

3.      Как называется третье из чисел, задающих положение точки в пространстве?                                

4.     Запишите обозначение  точки Р,  если её абсцисса равна 0, а ордината 5, аппликата 0. Где лежит точка Р?      

5.     Чему равна ордината точки А (- 1; - 4; 1)?              

Математический диктант.              Вариант 2

1.     Как называются числа, задающие положение точки в пространстве?

2.     Сколько чисел надо указать, чтобы задать положение точки в пространстве?

3.     Как называется второе из чисел, задающих положение точки на координатной плоскости?  

4.     Запишите обозначение точки С, если её абсцисса равна 6, а ордината 0, аппликата 0. Где лежит точка С?

5.     Чему равна аппликата точки М(-2; - 3; 0)?