Открытый урок в 8 классе по теме «Квадратные уравнения».

«В поисках формулы красоты»

 "Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой, отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства"

Б. Рассел

         Цели урока:

Образовательные:

- формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле

        Развивающие:

- развитие логического мышления, памяти, внимания;

-развитие обще-учебных умений, умения сравнивать и обобщать;

-развитие познавательной активности, творчества и самостоятельности

учащихся.

        Воспитательные:

-воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

-продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к математике

Задачи урока:

-Развить и углубить математические способности при решении квадратных

    уравнений;

   -вызвать интерес и чувство взаимопомощи при проведении дидактических

игр.

        - найти число золотого сечения с помощью квадратного уравнения;

- показать практическую значимость данной темы.

Тип урока: совершенствование знаний, умений и навыков.

Оборудование: доска, тесты, проектор.

План урока:

1.     Мотивация учебной деятельности

2.     Актуализация опорных знаний

                  1) устный счёт

2) дидактическая игра « Кто быстрее сядет в ракету?»

3) самостоятельная  работа ( индивидуальные карточки, самопроверка

4.Открытие формулы красоты.

           1) практическое применение квадратных уравнений

5. Рефлексия.

Ход урока.

I. Мотивация учебной деятельности.

Эта тема очень важна для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при изучении следующих тем:
решение задач на составление квадратных уравнений;
разложение квадратного трехчлена на множители, квадратная функция и её график; неравенства второй степени с одной переменной;
тригонометрические уравнения и неравенства; применение производной к исследованию функции;
интеграл, площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства.    

 Ребята, а как вы думаете можно ли с помощью математики измерить красоту? Есть ли такие инструменты для измерения красоты?  Да, математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.

Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.  Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии. Математика – это инструмент для решения различных задач. И тот, кто в совершенстве владеет этим инструментом – тому под силу справиться с любой проблемой. И сегодня на уроке мы с вами попробуем внести свой вклад в поиски ответа на один вопрос, который волнует умы человечества на протяжении многих веков. Но перед тем, как отправиться в путь в поисках истины, необходимо проверить готовность своего инструмента.

2.Актуализация опорных знаний.                                                                       Решить уравнение: Х²=4;   х²-9=0;  х²+16=0; х²=3;  х²=а;  (х-2)² =0;  (х-3)(х+3)=0;  х²+2х=0;  5х²=0;  х² =-7.  

1)Дидактическая игра: «Кто быстрее сядет в ракету?»    Класс делится на две команды. Каждой команде предлагается серия заданий. Работа в командах.  Задания дифференцированные. Полученные ответы записывают на ступеньки ракеты, начиная с первой. Побеждает та команда, которая быстрее сядет в ракету.

Задания 1 команде:

1) Решить уравнение:  х ²-8х+7=0;

2)Определите число корней квадратного уравнения: 3х²-х+2=9;

3)Решить неполное квадратное уравнение: 4х²-36=0;

4)При каком значении b уравнение имеет один корень?:  16х²+bх+1=0

( задание из итоговой аттестации ЕГЭ в 9 классе).

Задания 2 команде:

 1)Решить квадратное уравнение: х²-6х-16=0;

 2) Определите число корней квадратного уравнения:   4х²-3х+5=0

 3)  Решите неполное квадратное уравнение:  5х²=75;

 4)  При каком значении b уравнение имеет один корень?   25х²+bх+1=0

 ( задание из итоговой аттестации ЕГЭ в 9 классе).

Со скоростью ракеты полетели навстречу к знаниям и проверим наши умения по квадратным уравнениям.

2) самостоятельная индивидуальная работа по карточкам.

У каждого из вас на партах есть листы с заданиями. Все необходимые записи и вычисления будете проводить на этих листочках.

1) Вспомните, как называются коэффициенты квадратного уравнения и поставьте соответствие между коэффициентами и их названиями.

2) Заполните таблицу коэффициентов квадратных уравнений.

3) Восстановите формулу корней квадратного уравнения. (А если коэффициенты обозначены другими буквами?)

4) Решите самостоятельно квадратное уравнение и укажите вариант правильного ответа.

5) Найдите неизвестный член пропорции. Для этого вспомните, что такое пропорция и каким свойством она обладает?

(самопроверка , правильные ответы на интерактивной доске)

Теперь я вижу, что вы обладаете достаточным запасом знаний и вполне готовы решать поставленные перед вами задачи. Итак, в путь в поисках формулы красоты, в поисках истины.

3. Открытие формулы красоты  (постановка и решение проблемы).

(Презентация 1)

1 слайд.   Все в мире связано в единое начало:

В движенье волн - шекспировский сонет,

В симметрии цветка - основы мирозданья,

А в пенье птиц - симфония планет.

2 слайд. Сейчас перед вами предстанет ряд объектов, а вы попробуете ответить на вопрос: «Что между ними общего?» (Можно ли считать их красивыми?)

3 слайд. Можно ли сравнивать красоту бабочки с красотой Галактики, или красоту улитки с красотой человеческого тела? Существуют ли единые критерии красоты? Можно ли вывести формулу красоты? Этот вопрос волновал умы человечества на протяжении многих веков.

4 слайд. Чтобы увидеть определённые закономерности в строении совершенно разных животных и растений, надо быть очень наблюдательным человеком. Именно таким человеком был немецкий математик и астроном, живший в 16-17 вв. Иоганн Кеплер, автор многих смелых гипотез. Рассматривая расположение листьев некоторых растений (орешник, дуб, вишня), он обнаружил, что отношения расстояний между соседними листьями одно и тоже.

5 слайд. Из всех отношений только одно отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение целой части к большей равно отношению  большей части к меньшей.       

6 слайд. Такое пропорциональное деление отрезка на неравные части называется «Золотым сечением». Эта пропорция была известна ещё в древности. Но сам термин «Золотое сечение» или «Божественная пропорция» ввёл Леонардо да Винчи (конец 15 — начало 16 вв.).

Давайте переведём эту фразу на математический язык. Для этого примем длину всего отрезка за 100% или 1, через неизвестное х обозначим длину его большей части. Тогда длина меньшей части  будет равна 1-x.

 Получили уравнение

.

1)    Решим полученное уравнение и найдём длину большей части х.

( на интерактивной доске)

Вычислите х с помощью микрокалькулятора. Итак, х ≈ 0, 618.

(один ученик решает у доски).

2) Найдите коэффициент пропорциональности -  отношение 1/х.

Что можно заметить? (Это единственная пара взаимно обратных чисел, разница между которыми равна 1.)

Этот коэффициент пропорциональности принято обозначать греческой заглавной буквой Φ, а обратное к нему число 0,618 строчной буквой φ в честь греческого скульптора Фидия, жившего в 5 в. до н. э. и применявшего золотую пропорцию в своём творчестве.

 Как вы думаете, где в природе или в искусстве встречается золотая пропорция? (ответы, предположения детей)

   (Презентация 2)

Слайд 1. А теперь давайте посмотрим, как природа – тайный математик – использует золотую пропорцию в своих творениях.

Слайд 2. Золотое сечение присутствует и в строении растений, и в строении животных. Неудивительно, что и стрекоза и бабочка выглядят столь совершенными, ведь они созданы по законам золотой пропорции.

 Слайд 3. Надо заметить, человек способен интуитивно чувствовать пропорции сечения. Ничего удивительного, ведь золотая пропорция у нас всегда перед глазами, в виде самих себя. Золотая пропорция присутствует и в строении тела и руки, и в чертах лица человека. Кстати, как вы думаете, кто сложен более пропорционально – мужчины или женщины? На самом деле мужчины, а женщины, чтобы достичь золотой пропорции, одевают каблуки.

 Слайд 4. Если в строении человека так много присутствует золотой пропорции, может именно поэтому картина Леонардо да Винчи Монна Лиза считается эталоном красоты? Однако исследователи обнаружили так же  в композиции рисунка присутствие золотых треугольников. Это равнобедренный треугольник, стороны которого находятся в пропорции золотого сечения.

Ребята,  проверьте, пожалуйста, формулу красоты по данному чертежу.  Можете  проверить на длине руки, пальцев или всего роста человека. Это по вашему желанию.

4. Рефлексия.

Итак, сегодня мы с вами прикоснулись к одной из тайн природы – тайне строения всех встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, но спланированных по определенной математической формуле. Что это за формула? (Формула золотого сечения, золотая пропорция).

Слайд 5.  А знание каких разделов математики помогло вам решить  уравнение и найти число золотого сечения? (Квадратные уравнения, пропорция, квадратные корни). Значит, чтобы решать различные практические задачи, необходима хорошая математическая база. А знание формулы золотого сечения пригодится и мальчикам, и девочкам.

Как выдумаете, где может вам пригодиться формула золотого сечения7

 Слайд 6. Мальчики, в будущем мужчины. Как гласит народная мудрость, каждый мужчина должен посадить дерево, воспитать сына и построить дом. И когда будете строить свой дом, вспомните, что наиболее красивые здания и памятники архитектуры построены по принципу золотого сечения

 Слайд 7. Девочки.  Не только в будущем, но и сейчас уже большие модницы. Помните, что одежда будет смотреться наиболее гармонично, если в её конструкции присутствует золотая пропорция.

 Слайд 8. Так, может быть, именно эту формулу можно считать формулой красоты? Понятие красоты довольно субъективно. То, что нравится одному, не обязательно нравится другому. Но золотая пропорция обнаруживается везде, где соблюдены принципы гармонии - взаимное соответствие всех черт и пропорций, которое создает законченный и целостный образ. Значит, формулу золотого сечения можно считать формулой гармонии, к чему и стремится природа.

А наш урок подошёл к концу. Спасибо за хорошую работу и желаю вам жить в гармонии и согласии с окружающим миром.

Домашнее задание: Повторить разные способы решения квадратных уравнений, составить задачу на применение формулы красоты.